Техническая механика

Расчет неразрезных  балок с равными пролетами  по таблицам при равномерно распределенной и симметрично расположенных в пролете сосредоточенных нагрузок.

Тема 3.11. Подпорные  стены. Общие понятия. Расчетные предпосылки теории предельного равновесия. Аналитическое определение активного давления (распора) и пассивного давления (отпора) сыпучего тела на подпорную стену для случая вертикальной гладкой грани стены и горизонтальной поверхности сыпучего тела. Распределение давления сыпучего тела по высоте подпорной стены. Эпюра интенсивности бокового давления. Влияние временной равномерно распределенной нагрузки, расположенной на горизонтальной поверхности сыпучего тела в пределах призмы обрушения. Давление водонасыщенного грунта на гладкую вертикальную плоскость стены. Проверка прочности и устойчивости (против опрокидывания и скольжения) массивных подпорных стен. Определение давления на грунт под подошвой фундамента стены. Эпюра реактивного давления грунта основания. Понятие о выборе поперечного профиля подпорных стен.

ЛИТЕРАТУРА

Мухин Н. В., Шишман Б. Л., Першин А. Н. Статика сооружений. М„ 1980.

Мухин Н. В. Статика сооружений в примерах. М.,  1979.

Улитин Н. С., Першин А. Н„ Лауенбург Л, В. Сборник задач по технической механике. М., 1978.

 

 

 

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ  УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ                                        КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Раздел1 Теоретическая механика

Номер задачи каждого  раздела соответствует  четности последней цифры шифра, а исходные данные – последним двум цифрам

 

Задача 1.1. Определить опорные реакции фермы и силы в стержнях 4,5,6 способом сечений. Данные своего варианта взять из таблицы 1 и схемы на рис.1

 

Задача 1.2. Определить опорные реакции балок. Данные для задачи взять из таблицы 2 и схемы на рис. 2 согласно своему варианту

 

Рис.1

 

 

 

 

 

 

Схема на рисунке 1	Вариант	F1	F2	h1	h2	l	Схема на рисунке 1	Вариант	F1	F2	h1	h2	l
		кН		м					кН		м
1	00	18	20	4	-	4	V	05	30	15	1,0	2,5	2,5
	11	20	25	2,5	-	3		15	25	15	1,5	2,5	3,0
	21	20	15	3	-	2,5		25	15	30	1,2	2,0	3,5
	31	25	18	3,5	-	2,5		35	15	25	0,8	2,0	4,0
	49	30	30	2,5	-	2		44	18	30	0,5	2,5	3,0
	58	15	35	3	-	2		54	40	15	1,5	2,0	3,5
	63	18	25	3,5	-	3		67	30	25	1,2	2,5	3,0
	71	40	15	4	-	2,5		73	15	35	1,0	3,0	2,0
	81	30	20	3,0	-	3,0		83	25	35	0,8	2,5	3,0
	91	25	35	3,5	-	2,5		95	20	15	0,5	3,0	2,0
II	01	15	20	0,5	2	2,0	VI	04	30	15	1,2	2,0	2,5
	10	20	25	0,7	2	2,0		14	25	15	1,5	2,5	3,0
	20	20	15	1,0	2	2,0		24	15	30	0,5	2,0	2,0
	30	25	18	1,2	2	2,5		34	15	25	0,8	2,5	2,0
	39	30	30	0,5	2,5	2,5		43	18	30	1,0	3,0	2,5
	59	15	35	0,7	2,5	3,0		55	40	15	1,0	2,0	4,0
	61	18	25	1,0	2,5	3,5		65	30	25	1,2	2,5	3,5
	74	40	15	1,2	2,5	3,5		76	15	35	1,5	2,5	3,5
	84	30	20	0,5	3,0	3,5		86	25	35	0,5	3,0	2,0
	90	25	35	0,7	3,0	3,0		94	20	15	0,8	3,0	2,5
III	02	20	20	0,5	2,5	2,5	VII	07	20	4	1,2	2,5	3,0
	12	15	35	0,7	2,5	2,5		17	25	15	1,0	2,5	2,0
	23	40	15	1,0	2	2,0		27	15	35	0,7	3,0	2,5
	33	20	15	1,2	2,0	2,0		37	30	15	0,5	3,5	3,0
	42	30	25	1,5	2,5	3,0		46	30	20	1,5	3,0	3,5
	56	18	30	1,2	2,5	3,0		52	20	30	1,0	2,5	3,0
	62	10	25	1,0	2,5	2,5		66	15	30	1,2	2,0	2,5
	70	15	30	0,7	2,0	2,5		72	35	15	0,5	1,5	3,0
	80	25	30	0,5	2,0	2,0		82	15	25	1,5	1,5	4,0
	93	10	30	1,0	2,5	2,0		97	40	20	1,0	2,0	2,0
IV	03	20	20	2,0	-	2,5	VIII	06	20	40	2,5	-	3,5
	13	15	35	2,5	-	2,0		16	25	15	2,0	-	2,0
	22	40	15	3,0	-	3,5		26	15	35	3,0	-	2,5
	32	20	15	4,0	-	2,5		36	30	15	3,5	-	2,0
	41	30	25	4,0	-	3,5		45	30	20	4,0	-	3,0
	57	18	30	3,5	-	2,0		53	20	30	4,0	-	2,5
	60	10	25	3,0	-	2,5		64	15	30	3,5	-	2,0
	77	15	30	2,5	-	4,5		79	35	15	3,0	-	2,5
	87	25	30	2,0	-	3,0		89	15	25	2,5	-	3,0
	92	10	30	4,0	-	3,0		96	40	20	2,0	-	3,5
Схема на рисунке 1	Вариант	F1	F2	h1	h2	l	Схема на рисунке 1	Вариант	F1	F2	h1	h2	l
		кН		м					кН		м
IX	09	20	35	1,5	3,0	3,5	X	08	20	35	0,5	3,0	3,5
	19	15	35	1,2	2,5	3,0		18	15	35	0,8	2,5	3,0
	29	40	15	1,0	2,0	3,0		28	40	15	1,0	2,5	3,5
	38	20	15	0,8	2,5	25		40	20	15	1,2	3,0	3,0
	50	25	30	1,5	2,0	2,5		51	25	30	0,5	3,0	2,5
	68	15	20	1,2	2,0	3,0		69	15	20	0,8	2,0	2,5
	75	15	40	1,0	2,5	3,0		78	15	40	1,0	3,0	3,0
	85	35	15	0,8	3,0	3,5		88	35	15	1,2	2,5	3,5
	99	35	20	0,5	2,5	2,5		98	35	20	1,5	2,5	4,0

 

 

Таблица 2

 

Схема на рис.2	Вариант	а1	а2	а3	F,кН	gкН/м	М, кН*м	Схема на рис.2	Вариант	а1	а2	а3	F,кН	gкН/м	М, кН*м
		м								м
I	00	0,7	0,8	-	80	15	10	V	05	0,7	1,5	-	65	18	25
	11	0,5	1,0	-	120	10	20		15	1,0	2,0	-	40	25	40
	21	0,5	1,3	-	50	25	30		25	0,8	1,2	-	35	10	20
	31	0,8	1,2	-	40	30	35		35	0,6	1,8	-	50	8	15
	49	0,6	1,0	-	60	18	40		44	0,5	2,3	-	80	12	25
	58	1,0	0,4	-	75	10	25		54	0,9	1,6	-	25	15	35
	63	0,6	0,8	-	100	12	15		67	0,4	2,1	-	55	20	18
	71	0,5	1,0	-	125	10	10		73	0,8	2,2	-	40	18	20
	81	0,8	0,7	-	80	20	25		83	0,7	1,5	-	30	10	15
	91	0,7	1,1	-	60	15	40		95	0,4	1,6	-	20	12	10
II	01	1,5	0,7	0,8	15	10	40	VI	04	1,5	0,7	0,8	60	15	35
	10	2,0	0,5	1,0	35	25	18		14	2,0	0,5	1,0	25	8	25
	20	1,2	0,5	1,3	80	15	20		24	1,2	0,5	1,3	40	10	15
	30	1,0	1,2	0,8	25	12	15		34	1,0	1,2	0,8	30	20	15
	39	1,4	0,6	1,0	40	8	20		43	1,4	0,6	1,0	10	25	40
	59	1,6	1,0	0,4	60	25	10		55	1,6	1,0	0,4	15	20	40
	61	1,8	0,8	0,6	50	18	25		65	1,8	0,8	0,6	35	18	20
	74	1,5	0,5	1,0	100	15	18		76	1,5	1,0	0,5	55	12	20
	84	2,0	0,8	0,7	60	10	25		86	2,0	0,8	0,7	60	10	15
	90	1,2	1,1	0,7	30	14	10		94	1,2	1,1	0,7	80	15	35
III	02	1,5	0,7	-	20	15	20	VII	07	0,8	1,5	0,7	35	12	20
	12	0,5	2,0	-	35	10	40		17	1,0	2,0	0,5	80	18	35
	23	0,5	1,2	-	15	20	35		27	1,3	1,2	0,5	120	15	10
	33	0,8	1,0	-	40	12	30		37	1,2	1,0	0,8	60	30	25
	42	0,6	1,4	-	60	20	18		46	1,0	1,4	0,6	50	25	15
	56	1,0	1,6	-	100	18	20		52	0,4	1,6	1,0	40	10	25
	62	0,6	1,8	-	35	12	25		66	0,8	1,8	0,6	55	15	40
	70	0,5	1,5	-	25	10	30		72	1,0	1,5	0,5	70	18	35
	80	0,8	2,0	-	70	18	15		82	0,7	2,0	0,8	100	12	15
	93	0,7	1,2	-	120	15	25		97	1,1	1,2	0,7	50	25	10
IV	03	0,7	1,5	0,8	25	15	30	VIII	06	1,1	0,4	0,5	25	15	30
	13	0,5	2,0	1,0	40	10	25		16	0,7	1,7	0,8	40	10	15
	22	0,5	1,2	1,3	60	18	20		26	1,2	1,2	0,6	60	18	25
	32	0,8	1,0	1,2	75	10	15		36	0,6	1,0	1,0	80	12	15
	41	0,6	1,4	1,0	100	12	30		45	0,5	1,3	1,2	100	10	35
	57	1,0	1,6	0,4	50	25	18		53	0,5	0,9	1,1	120	15	18
	60	0,6	1,8	0,8	45	20	18		64	1,6	1,0	0,4	80	20	30
	77	0,5	1,5	1,0	80	10	40		79	1,0	1,2	0,5	60	10	25
	87	0,8	2,0	0,7	35	15	20		89	0,8	0,7	0,7	50	25	20
	92	0,7	1,2	1,1	55	20	25		96	0,4	1,4	0,9	40	18	15
1Х	09	0,8	0,7	1,5	25	18	40	Х	08	0,5	0,9	-	80	15	25
	19	1,0	0,5	2,0	40	15	25		18	0,6	1,0	-	60	18	15
	29	1,3	0,5	1,2	55	10	35		28	0,4	0,8	-	120	10	40
	38	1,2	0,8	1,0	100	12	20		40	0,4	0,8	-	50	14	30
	48	1,0	0,6	1,4	80	15	40		47	0,5	0,9	-	40	10	25
	50	0,4	1,0	1,6	60	20	15		51	0,6	1,0	-	30	15	20
	68	0,8	0,6	1,8	55	25	30		69	0,5	0,9	-	25	18	15
	75	1,0	0,5	1,5	35	18	15		78	0,6	0,9	-	55	20	25
	85	0,7	0,8	2,0	25	20	35		88	0,6	0,9	-	60	18	40
	99	1,1	0,7	1,2	50	15	30		98	0,6	1,0	-	80	14	30

 

Указания  к решению задач 1.1

К решению этой задачи можно приступать после проработки тем «Пара сил» и «Плоская система произвольно расположенных сил». 

В задаче 1 требуется определить опорные реакции фермы и силы в стержнях 4, 5, 6 способом сквозного сечения. Ферма имеет две опоры (см. рис. 1). Опора А — шарнирно-подвижная, препятствует лишь поступательному перемещению тела по нормали к опорной плоскости и, следовательно, накладывает на него одну связь. Реакция такой опоры перпендикулярна опорной плоскости (рис.3а),

Опора В—шарнирно-неподвижная (рис.3 б) накладывает на тело две связи и препятствует поступательным перемещениям вдоль обеих координатных осей. Опорная реакция содержит   составляющие.   

Для решения задачи необходимо мысленно освободиться от опор, заменив их действие на ферму реакциями (рис.4 ). Принято обозначать реакции

                 Рис. 3      Рис. 4

 

 

 

 

 

направленные по горизонтали  — Н направленные вертикально  —V. Вместо опоры А прикладываем реакцию Н_А вместо опоры В прикладываем горизонтальную Н_В и вертикальную Vb составляющие реакции. В результате получаем систему произвольно расположенных сил: F_1, F_2, На, Н_В, Vb.

Необходимо твердо усвоить  условия равновесия плоской системы  произвольно расположенных сил и уметь составлять для такой системы уравнения равновесия в трех формах:

 

Σ Ү_i = 0  или Σ X_i = 0;  Σ M_A = 0;  Σ М_B = 0;

Σ Хi = 0; Σ Ү_i = 0; Σ М_о = 0;

Σ M_A = 0;  Σ М_B = 0; Σ М_о = 0;

 

а для плоской системы  параллельных сил — в двух формах:

Σ M_A = 0;  Σ М_B = 0;

Σ Ү_i = 0; Σ М_о = 0.

Для нашей задачи наиболее удобна система уравнений

Σ Ү_i = 0 Σ M_A = 0;  Σ М_B = 0.

Составим эти уравнения, расположив ось у вдоль стержня  7:

Σ Ү_i = Vb - F_2, - F₁= 0

При составлении уравнений  моментов необходимо помнить, что моментом силы относительно точки называется произведение модуля этой силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы. Момент силы; считается положительным если сила производит вращение по ходу: часовой стрелки и отрицательным, если — против часовой стрелки. Если линия действия седы, проходит через точку, относительно которой силы равен нулю:

 

Σ M_A= F_2, а₁ +  F₁l – H_Bh₁=0

Σ M_B= H_Ah₁ +  F₂a₁+– F₁ l=0

Из первого уравнения  находим

V_B = F₂ +F₁ = 10+10 = 20 кН.

 

Из второго

Из третьего

 

Реакции Н_А и Нв численно равны и противоположны по направлению, что удовлетворяет уравнению ΣХ_i = Н_А+ Н_В= -24+24=0. В качестве проверки найденных реакций можно составить уравнение относительно какой-либо другой точки, например Е:

 

Реакции определены правильно  — их значения удовлетворяют уравняю.

Для определения сил  в стержнях 4,5,6 проведем сквозное сечение /—/ (рис.4), разделяющее ферму на две части. Отбросим мысленно правую часть фермы, а левую изобразим; отдельно (рис.5). Эта часть фермы находится в равновесии под действием, произвольной плоской системы шести сил: трех известных Н_А, Н_В, V_В и трех искомых реакций R₄ R₅ R₆. Для определения реакций R₄ R₅ R₆ воспользуемся тремя уравнениями моментов, выбрав моментные точки  так, чтобы в каждое из трех уравнений вошла одна 
неизвестная сила. Такими точками являются пересечения двух стержней, так как моменты сил, линии действия которых проходят через такую точку, равняются нулю. Для данной системы сил (рис.5 а) в качестве моментных точек целесообразно выбрать: 

точку В — в ней пересекаются линии сил R₅ R₄;  можно определить силу R₆   

точку Е — в ней пересекаются линий сил R₅ и R₆; можно определить силу. R₄ (рис.5б); 

точку С, в которой  пересекаются линии сил R₆ и R₄ можно определить силу R₅ (рис 5 в).

Составим уравнение  моментов всех сил, приложенных к  рассматриваемой части фермы относительно точки В. Для удобства разложим силу R₆ на составляющие: горизонтальную R₆ cos 7° и вертикальную R₆ cos 83 ° и возьмем момент каждой из них в отдельности.

 Так как линия  действия вертикальной составляющей проходит через точку В, ее момент равен нулю и в уравнение войдет момент только от горизонтальной составляющей реакции (рис. 5 а).

Σ М_B = - Н_Аh₁ + R₆ cos 7°*h_1. =0;

24*2,5+ R₆ *0,99-2,5 = 0.

 Отсюда R₆=24,2 кН.

Определяем R₄, составляющие которой R₄ сos 37° — горизонтальная и R₄, cos 53° — вертикальная (рис. 3, б). Составляющие искомой реакции не обязательно показывать на рисунке, достаточно их мысленно представить и не забывать включать в уравнение.

Σ М_Е = Н_А .*0,5h₂ - H_B(h₁ +0,5 h₂) +V_Ba₁+R₄ cos 53° a₁ -R₄ cos37° (h₁+0,5h₂) =0.

24*0,25-24*2,5 + 20*2 +2R₄*0,60 -2,75R₄ *0,80 = 0. 

Отсюда R₄= -20 кН. 

Для определения силы R₅ составляем уравнение моментов всех сил относительно точки С (рис. 5 в).

Горизонтальная составляющая R₅ cos 54°.

Вертикальная составляющая R₅ cos 36°.

Σ M_C = Н_А h₂ - H_B (h₁ + h₂ + R₅ cos 36°* l R₅ cos 54° (h₁ +h₂) + V_Bl = 0

24*0,5-24-3,0 + R₅* 0,81 *4,0 - R₅*0,59*3,0 + 20*4,0 = 0.

Отсюда R₅ = - 13,5 кН.

Чтобы убедиться в правильности вычисленных реакций, спроецируем все силы на ось х (или ось у);

 

Σ Х_i = -  Н_А + Н_B + R₆ cos 7° + R₅cos 54° + R₄ cos 37° =

= -24+ 24+ 24,2*0,99 -13,5*0,588 – 20*0,809 =

=-24 + 24 + 24 - 8,10 - 16 ≈ 0.

Следовательно, реакции определены верно. Можно было отбросить левую часть фермы относительно сечения 1-1 и рассмотреть равновесие оставшейся правой части аналогичным образом. Учащимся предоставляется право самостоятельного выбора.

В итоге: стержень 4 сжат силой N₄ = R₄ = 20 кН, стержень 5 сжат силой N₅ = R₅ = 13,5 кН, стержень 6 растянут силой N₆ = R₆ = 24,2 кН.

 

В задаче 1.2 требуется определить значения опорных реакции балок двухопорной или жестко защемленной.

а) Двухопорная  балка (рис.6 а). Обозначим шарнирно-неподвижную опору А, шарнирно-подвижную В. В предыдущей задач мы встречались с такого рода опорами. Изобразим расчетную схем, балки (рис.6 б) Освобождаем балку от связей, заменяя их действие на балку опорными вертикальными реакциями Va. и Vb, поскольку в данной задаче, кроме сосредоточенного момента, внешние нагрузки только вертикальные. Для удобства расчета равномерно распределенную нагрузку заменяем равнодействующей F_q которая равна  произведению интенсивности.q (кН/м) на длину участка ее приложения, т.е. F_q = ql= 10-3 = 30 кН. Линия действия равнодействующей проходит через середину участка, занятого равномерно распределенной нагрузкой.

На расчетной схеме  балки (рис. 6 б) должны быть проставлены расстояния от сил до каждой из опор. Особое внимание обратит на расположение распределенной нагрузки на балках с консолями, чтобы избежать ошибок, часто возникающих при определении плеч силы F_q. Значение сосредоточенного момента в любое уравнении равновесия входит с тем знаком, который ему приписывается с учетом направления действия.

Для двухопорных балочных систем при определении опорных реакций самыми рациональными являются уравнения моментов относительно опор А и В. Составляем эти уравнения: