Автор работы: Пользователь скрыл имя, 18 Февраля 2013 в 23:37, дипломная работа
В теории управления эти методы, как правило, являются вспомогательными.
Например, в теории адаптивных систем широко применяется процедура градиентного метода. В теории нейронных сетей при настройке нейронных моделей часто используются метод наискорейшего спуска, метод Ньютона, квазиньютоновские методы и метод сопряженных градиентов. Кроме этого, безусловная оптимизация используется при решении задач связанных с оптимизацией химико-технологических систем при оперативном управлении в АСУТП.
Целевая функция для рассматриваемого варианта выглядит следующим образом:
F(x1,x2)=4x12+0.77x22+x1+x2
2.1.1 Исследование простого
градиентного метода
Исследуем влияние изменения величины шага на скорость сходимости (путь) при поиске минимума простым градиентным методом, формула (2), сначала в системе координат без преобразования, а затем в преобразованной.
Для этого в программе MATLAB, открыв папку Кв_форма, в ней Гр_метод, будем менять численное значение шага. Результаты исследования свести в таблицу и построить графики зависимости величины шага от скорости сходимости. Сделать выводы по обоим случаям. Сравнить результаты, полученные в преобразованных координатах и без преобразования.
а) Влияние постоянной величины шага на процесс сходимости.
Результаты для рассматриваемого варианта приведены в таблице 2. Зависимость сходимости от величины шага показана на рисунках 2 и 3.
Таблица 2 - Результаты исследования простого градиентного метода без преобразования
Задаваемая величина шага, α |
0.06 |
0.08 |
0.1 |
0.13 |
0.14 |
0.15 |
0.155 |
0.16 |
0.2 |
Количество шагов по первой координате n1 |
18 |
12 |
7 |
4 |
6 |
7 |
8 |
9 |
23 |
Количество шагов по второй координате n2 |
>150 |
118 |
93 |
70 |
64 |
60 |
57 |
55 |
43 |
Исследовав зависимость скорости сходимости от изменения шага, можно достаточно четко определить величину оптимального шага.
Для рассмотренного случая величина шага равная 0,2 является критической, т.к. после 0,2 значение первой координаты начинает стремительно расти и процесс поиска минимума становится неустойчивым.
Оптимальный шаг по первой координате 0,13. Этот вывод можно сделать исходя из данных представленных на рисунке 2. Сходимость метода с этим шагом представлена на рисунке 4.
Рисунок 4 - Сходимость метода с шагом 0,13
Но так как при шаге 0,13 скорости сходимости по второй координате намного ниже, чем по первой, выберем в качестве оптимального шага тот, при котором разница между величинами сходимости по обеим координатам наименьшая. Этим шагом является 0,2.
Сходимость метода при шаге 0, 2 показана на рисунке 5.
Рисунок 5 - Сходимость метода с шагом 0,2
В тоже время величина оптимального шага, вычисленного по формуле (12) составляет m = 0.4193
б) Влияние постоянной величины шага на процесс сходимости в преобразованной системе координат.
Результаты для рассматриваемого варианта приведены в таблице 3. Зависимость сходимости от величины шага показана на рисунке 6.
Таблица 3 - Результаты исследования простого градиентного метода с преобразованием координат
Задаваемая величина шага, а |
0.08 |
0.1 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.85 |
0.9 |
1 |
Количество шагов по первой координате, n1 |
>150 |
145 |
20 |
17 |
14 |
13 |
15 |
27 |
Количество шагов по второй координате, n2 |
>150 |
>150 |
25 |
20 |
17 |
16 |
14 |
24 |
Оптимальный шаг в этом случае может быть выбран из интервала [0,6 ; 1]. Этот вывод можно сделать исходя из данных представленных на рисунке 6.
В качестве оптимального шага в этом случае возьмем 0,9, так как при нем разница между величинами сходимости по обеим координатам минимальна. Процесс сходимости для шага 0,9 представлен на рисунке 7.
Рисунок 7 - Сходимость метода для шага 0,9
В тоже время величина оптимального шага, вычисленного по формуле (12) составляет m = 1.7426
2.1.2. Исследование метода наискорейшего спуска
Исследование влияния координат на процесс сходимости.
В пакете MATLAB открыть папку Кв_форма, затем Метод_наиск_спуска, открыв в ней свой вариант, сначала исследовать сходимость в системе координат без преобразования, затем в преобразованной. Вставить рисунки показывающие процесс сходимости. Сделать выводы по результатам сходимости в разных системах координат.
а) Без преобразования координат процесс сошелся за:
9 шагов по первой координате.
14 шагов по второй координате.
Наглядно сходимость метода показана на рисунке 8.
Рисунок 8- Сходимость метода наискорейшего спуска в системе координат без преобразования
Собственные числа матрицы Гессе
zh =0.7700
4.0000
Величина оптимального шага
m = 0.4193
Изменение величины шага при поиске минимума показано в таблице 4, наглядно оно представлено на рисунке 9. Значения координат в процессе поиска минимума сведены в таблицы 5 и 6.
Таблица 4- Изменение величины шага в процессе поиска минимума
1) 0.1280 |
2) 0.5782 |
3) 0.1280 |
4) 0.5782 |
5) 0.1280 |
6) 0.5782 |
7) 0.1280 |
8) 0.5782 |
9) 0.1280 |
10) 0.5782 |
11) 0.1280 |
12) 0.5782 |
13) 0.1280 |
14) 0.5782 |
15) 0.1280 |
16) 0.5782 |
17) 0.1280 |
18) 0.5782 |
19) 0.1280 |
20) 0.5782 |
21) 0.1280 |
22) 0.5782 |
23) 0.1280 |
24) 0.5782 |
25) 0.1280 |
26) 0.5782 |
27) 0.1280 |
28) 0.5782 |
29) 0.1280 |
30) 0.5814 |
31) 0.1273 |
32) 0.5208 |
33) 0.1312 |
34) 0.6494 |
– |
– |
Рисунок 9 - Изменение величины шага при поиске минимума
Минимальные значения аргумента
xmin = -0.1250
-0.6494
Таблица 5 - Значения первой координаты x(1) в процессе поиска минимума
1) -4.0000 |
2) -0.0310 |
3) -0.4659 |
4) -0.1167 |
5) -0.1550 |
6) -0.1243 |
7) -0.1276 |
8) -0.1249 |
9) -0.1252 |
10) -0.1250 |
11) -0.1250 |
12) -0.1250 |
13) -0.1250 |
14) -0.1250 |
15) -0.1250 |
16) -0.1250 |
17) -0.1250 |
18) -0.1250 |
19) -0.1250 |
20) -0.1250 |
Таблица 6 - Значения второй координаты x(2) в процессе поиска минимума
1) 2.8500 |
2) 2.1600 |
3) -0.3415 |
4) -0.4022 |
5) -0.6223 |
6) -0.6276 |
7) -0.6470 |
8) -0.6474 |
9) -0.6491 |
10) -0.6492 |
11) -0.6493 |
12) -0.6493 |
13) -0.6493 |
14) -0.6493 |
15) -0.6494 |
16) -0.6494 |
17) -0.6494 |
18) -0.6494 |
19) -0.6494 |
20) -0.6494 |
б) В преобразованной системе координат процесс сошелся за:
13 шагов по первой координате
14 шагов по второй координате
Наглядно сходимость метода показана на рисунке 10.
Рисунок 10 - Сходимость метода наискорейшего спуска в преобразованной системе координат
a =0.7800 0.1370
0.1370 0.3677
b =1.0500
0.4000
Собственные числа матрицы Гессе
zh =0.3263
0.8214
Величина оптимального шага
m =1.7426
Изменение величины шага при поиске минимума показано в таблице 7, наглядно оно представлено на рисунке 11. Значения координат в процессе поиска минимума сведены в таблицы 8 и 9.
Таблица 7 - Изменение величины шага в процессе поиска минимума
1) 0.7539 |
2) 1.0320 |
3) 0.7539 |
4) 1.0320 |
5) 0.7539 |
6) 1.0320 |
7) 0.7539 |
8) 1.0320 |
9) 0.7539 |
10) 1.0320 |
11) 0.7539 |
12) 1.0320 |
13) 0.7539 |
14) 1.0320 |
15) 0.7539 |
16) 1.0320 |
17) 0.7539 |
18) 1.0320 |
19) 0.7539 |
20) 1.0320 |
21) 0.7539 |
22) 1.0320 |
23) 0.7539 |
24) 1.0320 |
25) 0.7539 |
26) 1.0320 |
27) 0.7539 |
28) 1.0320 |
29) 0.7539 |
30) 1.0320 |
31) 0.7539 |
32) 1.0320 |
33) 0.7539 |
34) 1.0320 |
35) 0.7540 |
36) 1.0340 |
37) 0.7532 |
38) 1.0275 |
39) 0.7535 |
40) 1.0546 |
41) 0.7824 |
42) 1.3598 |
43) 0.6410 |
– |
– |
Рисунок 11 - Изменение величины шага при поиске минимума
Минимальные значения аргумента
xmin =-0.6180
-0.3137
Таблица 8 - Значения первой координаты x(1) в процессе поиска минимума
1) -4.0000 |
2) -0.6760 |
3) -1.1788 |
4) -0.6276 |
5) -0.7110 |
6) -0.6196 |
7) -0.6334 |
8) -0.6182 |
9) -0.6205 |
10) -0.6180 |
11) -0.6184 |
12) -0.6180 |
13) -0.6181 |
14) -0.6180 |
15) -0.6180 |
16) -0.6180 |
17) -0.6180 |
18) -0.6180 |
19) -0.6180 |
20) -0.6180 |
Информация о работе Исследование простого градиентного метода