Основные понятия и формулы по "Гидравлике"

Как известно, капельные  жидкости являются малосжимаемыми средами, поэтому для широкого круга теоретических и прикладных задач пренебрежение сжимаемостью является вполне допустимой идеализацией и мало влияет на вид получаемых решений и степень совпадения теоретических результатов с данными измерений. Но все же существуют случаи движения жидкостей, которые нельзя достаточно достоверно описать, если не учесть сжимаемость.

 

ГИДРОСТАТИКА

 

4. Уравнение Эйлера.

 

Выделим в жидкости некоторый  объем. Полная сила, действующая на выделенный объем жидкости, равна интегралу

       (12)

от давления, взятому по поверхности  рассматриваемого объема. Преобразуя его в интеграл по объему, имеем:

     (13)

Отсюда видно, что на каждый элемент объема dV жидкости действует со стороны окружающей его жидкости сила . Другими словами, можно сказать, что на единицу объема жидкости действует сила -grad р.

Мы можем теперь написать уравнение  движения элемента объема жидкости, приравняв силу -grad p произведению массы единицы объема жидкости на ее ускорение :

.      (14)

Стоящая здесь производная определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определенной передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Эту производную надо выразить через величины, относящиеся к неподвижным в пространстве точкам. Для этого заметим, что изменение вскорости данной частицы жидкости в течение времени dt складывается из двух частей: из изменения скорости в данной точке пространства в течение времени dt и из разности скоростей (в один и тот же момент времени) в двух точках, разделенных расстоянием dr, пройденным рассматриваемой частицей жидкости в течение времени dt. Первая из этих частей равна

       (15)

где теперь производная  берется при постоянных х, у, z, т.е. в заданной точке пространства. Вторая часть изменения скорости равна

    (16)

Таким образом,

(17)

или, разделив обе стороны  равенства на dt,

.      (18)

Подставляя полученное соотношение  в (14), находим:

.     (19)

Это и есть искомое уравнение  движения жидкости, установленное впервые Л. Эйлером в 1775 г. Оно называется уравнением Эйлера является одним из основных уравнений гидродинамики.

Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую единицу ее объема действует еще сила , где g есть ускорение силы тяжести. Эта сила должна быть прибавлена к правой стороне уравнения (14), так что (19) приобретает вид

.     (20)

При выводе уравнений движения мы совершенно не учитывал процессов диссипации энергии, которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными ее участками. Поэтому все излагаемое здесь относится только к таким движениям жидкостей и газов, при которых несущественны процессы теплопроводности и вязкости; о таком движении говорят как о движении идеальной жидкости.

Отсутствие теплообмена между  отдельными участками жидкости (а  также, конечно, и между жидкостью  и соприкасающимися с нею окружающими телами) означает, что движение происходит адиабатически, причем адиабатически в каждом из участков жидкости. Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать как адиабатическое.

При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остается постоянной при перемещении последнего в пространстве. Обозначая посредством энтропию, отнесенную к единице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность движения уравнением

,       (21)

где полная производная  по времени означает, как и в (14), изменение энтропии заданного перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно написать в виде

.      (22)

Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости. С помощью его можно написать в виде «уравнения непрерывности» для энтропии

.     (23)

Произведение psv представляет собой «плотность потока энтропии».

Надо иметь в виду, что обычно уравнение адиабатичности принимает гораздо более простую форму. Если, как это обычно имеет место, в некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках объема жидкости, то она останется везде одинаковой и неизменной со временем и при дальнейшем движении жидкости. В этих случаях можно, следовательно, писать уравнение адиабатичности просто в виде

s = const.       (24)

что мы и будем обычно делать в дальнейшем. Такое движение называют изэнтропическим.

Изэнтропичностью движения можно воспользоваться для того, чтобы представить уравнение движения (19) в несколько ином виде. Для этого воспользуемся известным термодинамическим соотношением

,      (25)

где w – тепловая функция единицы массы жидкости, – удельный объем, а Т – температура. Поскольку s = const, мы имеем просто

,      (26)

и поэтому  . Уравнение (19) можно, следовательно, написать в виде

.     (27)

Полезно заметить еще одну форму уравнения Эйлера, в котором оно содержит скорость. Воспользовавшись известной формулой векторного анализа

,    (28)

можно написать (29) в виде

.   (29)

Если применить к обеим строкам  этого уравнения операцию rot, то мы получим уравнение

,     (30)

содержащее только скорость.

К уравнениям движения надо добавить граничные условия, которые  должны выполняться на ограничивающих жидкость стенках. Для идеальной  жидкости это условие должно выражать собой просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твердую поверхность. Это значит, что на неподвижных стенках должна обращаться в нуль нормальная к поверхности стенки компонента скорости жидкости:

       (31)

(в общем же случае  движущейся поверхности  должно быть равно соответствующей компоненте скорости поверхности).

На границе между двумя несмешивающимися жидкостями должны выполняться условие  равенства давлений и условие равенства нормальных к поверхности раздела компонент скорости обеих жидкостей (причем каждая из этих скоростей равна скорости нормального перемещения самой поверхности раздела).

Как уже было указано, состояние движущейся жидкости определяется пятью величинами: тремя компонентами скорости и, например, давлением р и плотностью . Соответственно этому полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для идеальной жидкости этими уравнениями являются уравнения Эйлера, уравнение непрерывности и уравнение, выражающее адиабатичность движения.

 

1. Основная формула гидростатики.

Закон Паскаля. Понятие  о напоре

 

Рассмотрим абсолютный покой несжимаемой жидкости в  поле силы тяжести.

Уравнение Эйлера (20) принимает вид

.      (32)

Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости. Если внешние  силы вообще отсутствуют, то уравнение равновесия гласит просто , т.е. р = const – давление одинаково во всех точках жидкости.

Уравнение (32) непосредственно интегрируется, если плотность жидкости можно считать постоянной вдоль всего объекта, т.е. если не происходит заметного сжатия жидкости под действием внешнего поля. Выберем оси координат, как показано на рис. 2. Поскольку из массовых сил действует только сила тяжести, то

; .     (33)

Таким образом, искомая функция р зависит только от одной переменной z; интегрирование последнего равенства дает

,      (34)

где С – произвольная постоянная.

Эта формула выражает гидростатический закон распределения  давления, состоящий в том, что в тяжелой (подверженной действию силы тяжести) несжимаемой жидкости давление линейно зависит от вертикальной координаты.

Чтобы найти постоянную в уравнении (34), надо использовать какое-нибудь граничное условие. Пусть, например, жидкость покоится в резервуаре (см. рис.2) причем на ее свободной поверхности давление равно р₀. Будем это давление называть внешним.

Для точек свободной поверхности можем записать

.      (35)

Вычитая это отношение из уравнения (34), находим

 (36)

или, обозначив через  заглубление точки М под свободную поверхность, получим основную формулу гидростатики

,  (37)

где величина называется весовым давлением.

Из этой формулы ясно, что всякое изменение внешнего давления вызывает изменение давления во всех точках покоящейся жидкости на ту же величину. Этот результат известен как закон Паскаля.

Если жидкость находится в ненапряженном  состоянии, т.е. в ней отсутствуют  напряжения сжатия, то . Значения , отсчитанные от нуля, называют иногда абсолютным давлением.

В технике весьма часто представляет интерес избыток давления р над атмосферным , который называется избыточным или манометрическим давлением. По определению

.      (38)

Для произвольной точки М, заглубленной на высоту h под свободную поверхность, избыточное давление равно

;     (39)

отсюда видно, что избыточное давление совпадает с весовым, если давление на свободной поверхности равно атмосферному ( ).

Если все члены формулы (37) разделить на величину , то они приобретут линейную размерность:

.      (40)

Отсюда следует, что  каждому давлению р можно поставить в соответствие линейную величину , которая представляет собой величину столба жидкости, создающего в своем основании данное давление. Это наглядно иллюстрируется схемой, показанной на рис.3. Если на свободной поверхности в резервуаре давление , а из запаянной сверху трубки А удален воздух, то под действием давления жидкость в трубке поднимется над точкой М на некоторую высоту , называемую приведенной высотой. Принимая приближенно, что на свободной поверхности в трубке давление равно нулю, согласно (37) можно записать . Следовательно, приведенная высота есть высота столба жидкости, на свободной поверхности которого давление равно нулю, а в основании – данному давлению жидкости.

Для трубки П, открытой в атмосферу и называемой пьезометром, получим

,      (41)

откуда

;     (42)

величину  называют пьезометрической высотой.

Если давление в точках какого-либо объема жидкости         меньше атмосферного ( ), то такое состояние называется вакуумом.    Для    его характеристики  вводится понятие вакуумметрического давления ( ), под которым подразумевается недостаток данного давления до атмосферного

.      (43)

Соответствующая высота называется вакуумметрической:

.     (44)

На рис. 3 и 4 показаны вакуумметрические высоты для случаев вакуума в капельной жидкости и газе. Давление измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади. В системе СИ единицей давления служит Н/м² = Па (паскаль), а в технической системе – кгс/см² = ат (техническая атмосфера). Наряду с этими, как следует из (42) и (44), давление можно, измерять в единицах длины столба данной жидкости.

Общей формулой перевода единиц давления в линейные единицы является

.       (45)

При выражении давления высотой столба жидкости чаще всею применяют метры водяного столба, миллиметры ртутного столба и миллиметры спиртового столба.

Гидростатический закон распределения  давления, выраженный формулой (34), справедлив, очевидно, для любого положения координатной плоскости хОу. Эту плоскость называют плоскостью сравнения, а величину – гидростатическим напором. Величину , где – избыточное давление, называют пьезометрическим напором. Из формулы (34) следует, что напоры и постоянны для всех точек данной массы покоящейся жидкости.

 

2. Силы давления жидкости на твердые поверхности

 

В общем случае воздействие  жидкости на твердую поверхность S сводится к сумме элементарных сил , действующих на малых площадках dS, составляющих эту поверхность (рис. 5).

Если  – единичный вектор нормали к поверхности S, внешней к объему жидкости, а – давление на площадке dS, то сила .

Суммируя систему сил  , получаем выражение для главного вектора

,      (46)

называемого силой давления жидкости на поверхность S, и выражение для главного момента

,      (47)

где – радиус-вектор площадки относительно центра приведения системы сил.

Рассмотрим несколько  частных случаев.