Расчёт КЧХ объекта в требуемом диапазоне частот

На основании представленных здесь результатов расчета можно сделать вывод, что для рассматриваемого объекта применение ПИД-регулятора позволяет в несколько раз увеличить отношение по сравнению со случаями использования ПИ регулятора. На основании выражения определим значение следующего отношения:

                      ,          (8)                                    

где и - значения ошибки управления при использовании ПИ и ПИД-регуляторов. Следовательно, в рассматриваемом случае, как видно из равенства (8), переход от ПИ-регулятора к ПИД-регулятору позволяет уменьшить математическое ожидание ошибки управления более чем в 1,2 раза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.  ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАМКНУТОЙ АСР.

 

Для того, чтобы автоматическая система регулирования могла выполнять свои функции, она должна, прежде всего удовлетворять требованию устойчивости, то есть возвращаться к равновесному состоянию после снятия возмущения, нарушившего ее равновесие.

Согласно динамической теории устойчивости линейных систем, основы которой сформулированы А. М. Ляпуновым, устойчивость линейной системы зависит от корней ее характеристического уравнения. Линейная АСР является устойчивой только в том случае, если все действительные корни и вещественные части комплексно-сопряженных корней ее характеристического уравнения будут отрицательными.

Определение корней характеристического уравнения обычно связано с трудоемкими вычислениями и далеко не всегда возможно, т.к. для реальных объектов часто не удается построить достаточно достоверные параметрические математические модели, описывающие их динамику. Поэтому для практических расчетов, как правило, пользуются косвенными признаками, позволяющими без определения корней характеристического уравнения исследовать систему на устойчивость. Такие признаки получили название критериев устойчивости.

Наиболее часто употребляемыми критериями устойчивости являются алгебраические критерии Рауса - Гурвица, а также критерии Михайлова и Найквиста, основанные на частотных представлениях. В настоящем курсовом проекте использован критерий Найквиста.

Критерий Найквиста основан на рассмотрении КЧХ разомкнутой системы

                                   ,                                      (9)

по виду которой можно судить об устойчивости замкнутой АСР. Это обусловлено наличием однозначной зависимости между передаточной функцией разомкнутой системы и характеристическим уравнением замкнутой АСР.

Критерий Найквиста формулируется следующим образом:

Система регулирования, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если годограф комплексной частотной характеристики  разомкнутой  системы   не  охватывает  точку  с координатами (-1, i0).

Для того, чтобы воспользоваться критерием Найквиста, необходимо определить КЧХ регулятора и рассчитать по данным таблиц 1а, 1б и 2 КЧХ объекта, а затем найти КЧХ разомкнутой системы по формуле (9), для этого воспользуемся программой CHASTXAR. Результаты расчётов сведём в таблицу 6.

 

КЧХ разомкнутой системы                                                       

                                                                                                     Таблица 6

Значения частот w	КЧХ разомкнутой системы с ПИ - регулятором		КЧХ разомкнутой системы с ПИД - регулятором
	Re Wоб(iw)	Im Wоб(iw)	Re Wоб(iw)	Im Wоб(iw)
1,8	-0,7547	-0,7702	-0,8143	-0,9056
2,0	-0,7372	-0,6095	-0,7896	-0,7298
2,5	-0,6581	-0,3044	-0,7016	-0,4020
3,2	-0,3906	0,0572	-0,4383	0,0060
3,4	-0,3013	0,0947	-0,3462	0,0559
3,6	-0,2169	0,1076	-0,2566	0,0804
3,8	-0,1416	0,0996	-0,1737	0,0826
4,0	-0,0783	0,0749	-0,1007	0,0662
4,1	-0,2368	0,1070	-0,2812	0,0678
4,2	-0,1558	0,1067	-0,1932	0,0832
4,3	-0,0849	0,0833	-0,1112	0,0723
4,4	-0,0292	0,0409	-0,0412	0,0380
4,5	0,0076	-0,0158	-0,0120	-0,0155
4,6	0,0227	-0,0811	0,0443	-0,0830
4,7	0,0151	-0,1492	0,0534	-0,1590
5,0	-0,1371	-0,3131	-0,0657	-0,3777

 

                                            

Рис. 3.   КЧХ разомкнутой системы с ПИ - регулятором

Используя данные таблицы 6, исследуем замкнутую систему на устойчивость. Соответствующие годографы КЧХ разомкнутых систем представлены на рис. 2 и 3.

 

Рис. 4.     КЧХ разомкнутой системы с ПИД - регулятором

 

 

 Применяя критерий Найквиста к фрагменту годографа КЧХ разомкнутой системы, представленному на рис. 3, можно сделать вывод об устойчивости замкнутой системы с ПИ-регулятором, т.к. данный годограф не охватывает точку с координатами (-1, i0).

Об устойчивости замкнутой системы с ПИД-регулятором можно сделать вывод из рис. 4, т.к. и в этом случае годограф КЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1, i0).

Определим теперь, выполняется ли для замкнутой системы ограничения на запас устойчивости, с этой целью необходимо построить график АЧХ замкнутой системы .

Для запаса устойчивости используем показатель колебательности замкнутой системы Мкл , значение которого определяется выражением:            (10)

Считают, что замкнутая система обладает требуемым запасом устойчивости, если выполняется следующее ограничение:

                                                     ,                                      (11)

где - предельно допустимое значение величины . На практике часто принимают, что                                                       (12)

                                         

Для построения графика АЧХ также используем программу CHASTXAR и данные из таблиц 1а, 1б и 2. Результаты расчётов сведём в таблицу 7.

 

АЧХ замкнутой системы

                                                                                                                Таблица 7

Значения частот w	Запас устойчивости
	АЧХ замкнутой системы с ПИ – регулятором Аlх(w)	АЧХ замкнутой системы с ПИД – регулятором Аlх(w)
1,8	1,3341	1,3174
2,0	1,4412	1,4157
2,5	1,5839	1,6152
3,2	0,6449	0,7804
3,4	0,4479	0,5344
3,6	0,3063	0,3596
3,8	0,2003	0,2317
4,0	0,1172	0,1337
4,1	0,3372	0,4006
4,2	0,2219	0,2593
4,3	0,1295	0,1487
4,4	0,0517	0,0584
4,5	0,0174	0,0193
4,6	0,0821	0,0898
4,7	0,1462	0,1574
5,0	0,3723	0,3804

 

На основании графиков, представленных на рис. 5, можно сделать вывод, что замкнутая система как с ПИ, так и с ПИД-регулятором при оптимальных параметрах настройки не только устойчива, но и обладает заданным запасом устойчивости, т.к. максимальное значение АЧХ в обоих случаях не превышает значения 1,62. Кроме того, из рис. 4  видно, что АЧХ замкнутой системы при использовании ПИД-регулятора имеет лишь один пик максимума, что позволяет, избежать нежелательного затягивания переходных процессов.

Рис. 5. 

 АЧХ замкнутой системы по  каналу от входа до выхода:

 1 – система с ПИ – регулятором; 2 – система с ПИД–регулятором.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.  ОЦЕНКА КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ И ВЫБОР РЕГУЛЯТОРА

 

Качество управления оценивается на основе критериев и . Согласно равенству (9) при использовании ПИД-регулятора критерий удается уменьшить более чем в 1,2 раза, по сравнению со случаем применения ПИ-регулятора.

Чтобы сделать окончательный вывод о целесообразности использования ПИ или ПИД-регулятора, необходимо проанализировать, в каком из этих случаев величина критерия окажется меньшей. Для этого воспользуемся АЧХ замкнутой системы . Поскольку спектральная плотность возмущающих воздействий обычно неизвестна, то воспользуемся гипотезой о низкочастотном характере возмущений и в этом случае оценим эффективность применения каждого регулятора.

Данные о КЧХ управляемого объекта представлены в таблицах 1а, 1б и 2, а значения параметров настройки ПИ и ПИД-регуляторов в таблицах 4 и 5. Для построения графика АЧХ замкнутой системы            воспользуемся программой CHASTXAR, результаты расчётов сведём в таблицу 8.

    

АЧХ замкнутой системы

                                                                                                                Таблица 8

Значения частот w	Фильтрация
	АЧХ замкнутой системы с ПИ – регулятором Аlх(w)	АЧХ замкнутой системы с ПИД – регулятором Аlх(w)
1,8	1,2372	1,0817
2,0	1,5067	1,3167
2,5	2,1845	1,9975
3,2	1,6337	1,7803
3,4	1,4182	1,5239
3,6	1,2651	1,3374
3,8	1,1571	1,2043
4,0	1,0814	1,1090
4,1	1,2976	1,3850
4,2	1,1752	1,2329
4,3	1,0883	1,1214
4,4	1,0292	1,0421
4,5	0,9924	0,9881
4,6	0,9747	0,9545
4,7	0,9747	0,9387
5,0	1,0894	0,9923

 

Рис. 6. 

 АЧХ замкнутой системы по каналу от входа до ошибки:

 1 – система с ПИ – регулятором; 2 – система с ПИД–регулятором.

 

Согласно рис. 6 для систем с ПИ и ПИД-регуляторами соответственно и , т.е. . Кроме того, на всем интервале частот выполняется неравенство

.                                                              (13)

Представим интеграл  ,     (14)

где - КЧХ замкнутой системы, соответствующая каналу на вход которого поступает возмущающее воздействие , а на выходе регистрируется сигнал ошибки ; - спектральная плотность  возмущающего воздействия ,

 в виде

,                                                          (15)

где

;                                         (16)

;                                           (17)

,                                            (18)

а - частота, такая что

,    ;                                                           (19)

, .                                                               (20)

С учетом соотношений (19), (20) и выражений (16), (17), (18) приходим к выводу, что равенство (15) можно представить в виде

,                                (21)

т.к. согласно (20) и (17), (18) имеют место равенства .

Если , то принимая во внимание выражение (21), а также неравенство (13) приходим к выводу, что при использовании ПИД-регулятора значение критерия будет меньше, чем в случае применения ПИ-регулятора.

Следовательно, ПИД-регулятор в рассмотренном случае оказался более предпочтительным по сравнению с ПИ регулятором, т.к. его применение способствовало выполнению требований       и .

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данной курсовой работе проведён расчёт комплексно частотной характеристики (КЧХ) объекта, определены оптимальные значения параметров настройки ПИ и ПИД-регуляторов. Проведены анализ  замкнутой системы с данными регуляторами на устойчивость и оценка запаса устойчивости. По результатам расчётов можно сделать вывод о целесообразности использовании системы с ПИД-регулятором – при практически одинаковых показателях устойчивости, у ПИД-регулятора минимальное математическое ожидание ошибки управления.