Свойства полного факторного эксперимента. Математическая модель

Планируя эксперимент, на первом этапе мы стремимся получить линейную модель. Однако у нас нет гарантии,что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью.Существуют способы проверки пригодности линейной модели (проверка адекватности). А если модель нелинейна, как количественно оценить нелинейность,пользуясь полным факторным экспериментом?

Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае говорят, что имеет место эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов.При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора. Для полного факторного эксперимента 22 матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия будет иметь вид

№ опыта	x0	x1	x2	x1x2	y
1	+1	+1	+1	+1	y1
2	+1	–1	+1	–1	y2
3	+1	–1	–1	+1	y3
4	+1	+1	–1	–1	y4

Очень важно, что при добавлении столбцов эффектов взаимодействий все рассмотренные свойства матриц планирования сохраняются.

Теперь модель выглядит следующим образом:

.

Коэффициент вычисляется обычным путем

.

Столбцы x1 и x2 задают планирование – по ним непосредственно определяются условия опытов, а столбцы x0 и x1x2 служат только для расчета.

Обращаем ваше внимание на то,что при оптимизации мы стремимся сделать эффекты взаимодействия возможно меньшими.В задачах интерполяции, напротив, их выявление часто важно и интересно.

С ростом числа факторов число возможных взаимодействий быстро растет. Мы рассмотрели самый простой случай,когда имелось одно взаимодействие. Обратимся теперь к полному факторному эксперименту 23.

№ опыта	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3	y
1	+	–	–	+	+	–	–	+	y1
2	+	+	–	–	–	–	+	+	y2
3	+	–	+	–	–	+	–	+	y3
4	+	+	+	+	+	+	+	+	y4
5	+	–	–	–	+	+	+	–	y5
6	+	+	–	+	–	+	–	–	y6
7	+	–	+	+	–	–	+	–	y7
8	+	+	+	–	+	–	–	–	y8

Эффект взаимодействия x1x2x3 получается перемножением всех трех столбцов и называется эффектом взаимодействия второго порядка. Эффект взаимодействия двух факторов называется эффектом взаимодействия первого порядка. Вообще, эффект взаимодействия максимального порядка в полном факторном эксперименте имеет порядок, на единицу меньший числа факторов. Довольно часто применяются синонимы: парные эффекты взаимодействия (x1x2, x2x3...),тройные (x1x2x3, x2x3x4...) и т. д.

Полное число всех возможных эффектов, включая b0, линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента. Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого порядка, можно воспользоваться обычной формулой числа сочетаний

,

где k – число факторов, m– число элементов во взаимодействии. Так, для плана 24 число парных взаимодействий равно шести

.

Поясним физический смысл эффекта взаимодействия следующим примером. Пусть на некоторый химический процесс влияют два фактора: температура и время реакции. В области низких температур увеличение времени увеличивает выход продукта. При переходе в область высоких температур эта закономерность нарушается. Здесь, напротив,необходимо уменьшать время реакции. Это и есть проявление эффекта взаимодействия.

Ортогональность матрицы планирования позволяет получить независимые друг от друга оценки коэффициентов.Это означает, что величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты.

Однако сформулированные выше утверждения справедливы лишь в том случае, если модель включает только линейные эффекты и эффекты взаимодействия. Между тем, существенными могут оказаться коэффициенты при квадратах факторов, их кубах и т. д. Так, для случая существенных квадратичных членов в двухфакторном эксперименте модель можно записать так:

.

Какую информацию о квадратичных членах можно извлечь из полного факторного эксперимента?

Попытка построения вектор-столбцов для и приводит к получению единичных столбцов, совпадающих друг с другом и со столбцомх0. Так как эти столбцы неразличимы, то нельзя сказать, за счет чего получилась величина b0. Она включает значение свободного члена и вклады квадратичных членов. В этом случае говорят, что имеет место смешанная оценка. Это символически записывается следующим образом:

,

где b0 – вычисленный нами коэффициент, а греческими бувами, как принято в статистике, обозначены неизвестные истинные значения свободного члена ( ) и квадратичных коэффициентов ( ). Если бы мы сделали сколь угодно много опытов, то в пределе получили бы истинные значения коэффициентов. На практике реализуются лишь малые выборки, по которым вычисляются оценки истинных коэффициентов.

По отношению к квадратичной модели для двух факторов получается такая система смешивания:

, , , .

Следовательно, оценки всех коэффициентов, кроме b0, не смешаны.

Число опытов в полном факторном эксперименте превышает число коэффициентов линейной модели, причем тем больше, чем больше факторов. Разность между числом опытов и числом коэффициентов во многих случаях оказывается очень велика, и возникает естественное желание сократить число необходимых опытов.

 

Заключение

 

Использование теории планирования эксперимента является одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. Под планированием эксперимента понимают процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:

1 Минимизировать общее число  опытов;

2 Выбирать четкие логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследования;

3 Использовать математический  аппарат, формализующий многие действия  экспериментатора;

4 Одновременно варьировать всеми  переменными и оптимально использовать  факторное пространство;

5 Организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;

6 Получать математические модели, имеющие лучшие в некотором  смысле свойства по сравнению  с моделями, построенными из пассивного  эксперимента;

7 Рандомизировать условия опытов, то есть многочисленные мешающие факторы превратить в случайные величины;

8 Оценивать элемент неопределенности, связанный с экспериментом, что  дает возможность сопоставлять  результаты, полученные разными  исследователями.

В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В данном реферате было кратко изложена методика составления плана эксперимента для моделей первого порядка и более подробно представлено понятие о планировании второго порядка и построение планов второго порядка

Список использованной литературы

 

1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. – М.: Наука, 1976.
2. Монтгомери Д. К. Планирование эксперимента и анализ данных: Пер. с англ. – Ленинград: Судостроение, 1980.
3. Налимов В.Н. Логические основания планирования эксперимента: учебник Е.А. Шалыгина -2-е изд. – М.: Колос, 2001.
4. Спирин Н.А., Лавров В.В. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента: конспект лекции Н.А. Спирина – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2004.