Цифровой фильтр МНК - 2, 7-ми, точечный фильтр МНК-2

 

 

 

РЕФЕРАТ 

Курсовой  проект содержит 10 страниц, 3 рисунка, 2 источника

ЦИФРОВОЙ  ФИЛЬТР МНК - 2, 7-ми ТОЧЕЧНЫЙ ФИЛЬТР МНК-2.

В курсовом проекте  изложен принцип работы цифрового фильтра МНК 2-го порядка для сглаживания данных.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………….…………………………………………………………….4

1 Расчет фильтров………………………………………………………………..5

2 Частотные характеристики фильтров. …………….…………………………6

3 Модификация фильтров.…………….………………………………………..7

4 Последовательная фильтрация…………….…………………………………8

Заключение………………………………………………………………………..9 
Библиографический список……………………..……………………..………..10 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Основной инструмент цифровой фильтрации данных и проектирования цифровых фильтров – спектральный (частотный) анализ. Частотный анализ базируется на использовании периодических функций, в отличие от численных методов анализа и математической статистики, где предпочтение отдается полиномам. В качестве периодических используются  гармонические функции синусов и косинусов. Спектральный состав сигналов – это тонкая внутренняя структура данных, которая практически скрыта в динамическом представлении данных даже для опытных обработчиков. Частотная характеристика цифрового фильтра – это его однозначный функциональный паспорт, полностью определяющий сущность преобразования входных данных. 

Следует отметить, что  хотя цель фильтрации сигналов состоит  именно в направленном изменении  частотного состава данных, которые  несет сигнал, у начинающих специалистов существует определенное эмоциональное противодействие частотному подходу в анализе данных. Преодолеть это противодействие можно только одним путем – на опыте убедиться в эффективности частотного подхода.

Рассмотрим пример частотного анализа фильтров при сглаживании  данных методом наименьших квадратов (МНК).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 РАСЧЕТ ФИЛЬТРОВ

Фильтры МНК 2-го порядка (МНК-2) рассчитываются и анализируются аналогично. Рассмотрим квадратный многочлен вида y(t)=A+B·t+C·t². Для упрощения примера ограничимся симметричным сглаживающим НЦФ при Dt=1.

Уравнение суммы квадратов остаточных ошибок:

s(A, B, C) = [s_n-(A+B·n+C·n²)]².                      (1.1)

Система уравнений после  дифференцирования выражения (1.1) по А, В, С и приравнивания полученных выражений нулю:

A 1 + B n + С n² = s_n.

A n + B n² + С n³ = n·s_n.

A n² + B n³ + С n⁴ = n²·s_n.

При вычислении значения квадратного многочлена только для  центральной точки (t=0) необходимости  в значениях коэффициентов В  и С не имеется. Решая систему  уравнений относительно А, получаем:

A = { n⁴ s_n - n² n²s_n} / { 1 n⁴ - [ n²]²}.     (1.2)

При развертывании выражения (3.2.2) для 5-ти точечного НЦФ:

y_o = (17 s_n - 5 n²s_n) /35 = (-3·s_-2+12·s_-1+17·s_o+12·s₁-3·s₂) /35.      (1.3)

Импульсная реакция:  h_n = {(-3, 12, 17, 12, -3)/35}.

Передаточная функция  фильтра:

H(z)= (-3z^-2+12z^-1+17+12z¹-3z²)/35.                     (1.4)

Аналогичным образом выражение (1.2) позволяет получить импульсную реакцию для 7, 9, 11 и т.д. точек фильтра:

³h_n = {(-2,3,6,7,6,3,-2)/21}.

⁴h_n = {(-21,14,39,54,59,54,39,14,-21)/231}.

⁵h_n={(-36,9,44,69,84,89,84,69,44,9,-21)/459}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ

 

Подставляя значение z = exp(-jw) в (1.4) или сигнал s_n = exp(jwn) в (1.3) и объединяя комплексно сопряженные члены, получаем частотную характеристику 5-ти точечного сглаживающего фильтра МНК второго порядка:

H(w) = (17+24 cos w - 6 cos 2w)/35.

Рис. 2.1. Частотные характеристики сглаживающих фильтров МНК-2

Вывод  формул передаточных функций для 7, 9, 11-ти точечных фильтров МНК-2 предлагается для самостоятельной  работы.

Рис. 2.2.

Вид частотных характеристик  фильтров МНК-2 приводится на рис. 2.1. При сравнении характеристик с характеристиками фильтров МНК-1 можно видеть, что повышение степени полинома расширяет низкочастотную полосу пропускания фильтра и увеличивает крутизну ее среза. За счет расширения полосы пропускания главного частотного диапазона при тех же значениях N коэффициенты усиления дисперсии шумов фильтров МНК-2 выше, чем фильтров 1-го порядка, что можно видеть на рис. 2.2.

Методика выбора окна фильтра под частотные характеристики входных сигналов не отличается от фильтров МНК 1-го порядка. Для получения примерно равных значений подавления шумов и коэффициента сигнал/шум на выходах фильтров, фильтры МНК-2 должны иметь в 2 раза большую ширину окна, чем фильтры МНК-1.

 

 

 

3 МОДИФИКАЦИЯ ФИЛЬТРОВ

Фильтры МНК второго  порядка (равно как фильтры МНК-1 и другие фильтры подобного назначения) также можно модифицировать по условию H(w) → 0 при w → p, что снижает пульсации передаточной функции фильтра в полосе подавления при небольшом увеличении зоны пропускания.  Один из простейших методов модификации заключается в следующем. В выражение передаточной функции (со всеми коэффициентами фильтра, вида (1.4)) подставляем z = exp(-jw), заменяем значения концевых коэффициентов фильтра на параметры, принимаем w = p, и, приравняв полученное выражение нулю, находим новые значения концевых коэффициентов, после чего сумму всех коэффициентов нормируем к 1 при w = 0.

Передаточная функция:  выражение (1.4).   Частотная характеристика (нормировку можно снять):

H(w) = -3exp(2jw)+12exp(jw)+17+12exp(-jw)-3exp(-2jw).

Замена концевых коэффициентов {значение 3} на параметр b и упрощение:

H(w) = 17+24 cos(w)+2b cos(2w).

При w = p:  H(p) = 17-24+2b = 0.  Отсюда:  b = 3.5

Новая частотная характеристика (с приведением коэффициентов  к целым числам):

H(w) = 68+96 cos(w)+14 cos(2w).    Сумма коэффициентов при w = 0: 

Н(0) = 68+96+14 = 178.

Нормированная частотная  характеристика:    H(w) = (68+96 cos(w)+

14 cos(2w))/178.

Коэффициенты фильтра: h_n = {(7,48,68,48,7)/178}.

Пример - задание:    Модифицировать 7, 9 и 11-ти точечные сглаживающие фильтры МНК 2-го порядка.

Контроль: ⁷h_n = {(1,6,12,14,12,6,1)/52}.  ⁹h_n = {(-1,28,78,108,118,108,78,28,-1)/548}.

¹¹h _n = {(-11,18,88,138,168,178,168,138,88,18,-11)/980}.

 

 

 

 

4 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Из фильтров МНК-2, как и из фильтров МНК-1, можно конструировать новые фильтры, частотные характеристики которых соответствуют последовательному применению «родительских» фильтров. Методика конструирования аналогична. Пример частотных характеристик конструирования новых фильтров из 7-ми точечного фильтра МНК-2 приведен на рис. 4.4.

Рис. 4.1 Частотная характеристика нового фильтра из 7-ми точечного  фильтра МНК - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Цифровой фильтр МНК 2-го порядка для сглаживания удовлетворяет всем требованиям задания. К достоинствам данного фильтра следует отнести простота устройства, надежность и сравнительно небольшую стоимость.

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хемминг Р.В.  Цифровые фильтры. – М.: Недра, 1987. – 221 с.
2. Браммер Ю.А. Цифровые устройства. – М.: Высш. шк., 2004. – 229с.