Шпаргалка по "Теория Автоматического Управления"

1. Что понимается под синтезом системы управления.

Проблема синтеза занимает центральное место в теории  автоматического управления, так как наличие адекватных способов расчета определяет успех проектирования реальных систем управления.

Однако регулярные методы синтеза появились вместе с применением частотных характеристик для исследования систем автоматического регулирования. В настоящее время частотный метод считается классическим и остается одним из основных при расчете линейных систем.

Во второй половине XX века появились новые методы синтеза которые принято называть современными. Некоторые из них основаны на использовании модальных (корневых) характеристик систем. Они в большей степени зависят от параметров модели, чем классические. Частотные методы удобно использовать для режима отработки входных воздействий, а модальные - при проектировании систем, режим работы которых предполагает отработку возмущений и начальных условий.

Под синтезом будем понимать проектирование регулятора для системы автоматического управления по заданным требованиям к динамическим и статическим свойствам последней.

Выбор метода синтеза определяется технической ситуацией, поэтому целесообразно предварительно классифицировать режимы работы системы, модель которой имеет вид:

       (6.1)

Процессы в ней описываются соотношением

y(t)= Cx(0) +      (6.2)

Они обусловлены различными факторами: ненулевыми начальными условиями, входными воздействиями и возмущениями. Обычно в системе протекают смешанные процессы, однако для расчета регулятора их удобно различать, поэтому выделим основные режимы работы.

Режимом отработки начальных условий будем называть процесс перехода из произвольных начальных состояний х(0) в равновесные при отсутствии внешних воздействий на систему (V = 0, М = 0) (рис. 6.1 а) Первую составляющую выражения (6.2), которая определяет этот режим работы, часто называют свободной составляющей процесса.

Режимом отработки входа будем называть процесс отработки входного воздействия, когда v = const. Такому режиму работы соответствует вторая составляющая выражения (6.2).

Режимом слежения за входом будем называть процесс отработки изменяющегося входного воздействия v(t) при нулевых начальных условиях и отсутствии возмущений (y(t) → v, v = var) .Данному процессу также будет соответствовать вторая составляющая (6.2).

Режимом отработки возмущений будем называть процессы, вызванные в системе возмущением M(t) при фиксированных начальных условиях и v = const. Третья составляющая (6.2) отражает

процесс отработки возмущения.

Выбор метода синтеза обусловлен режимом работы системы, причем требования к качеству процессов задаются в определенной форме на основе стандартных оценок: быстродействия, перерегулирования и статической ошибки.

При отработке входа для описания процессов обычно используются следующие динамические характеристики: h(t), g (t), W (p), W(jɷ), которым соответствуют определенные методы синтеза. К настоящему времени наиболее полно разработан частотный метод, основанный на логарифмических частотных характеристиках L(ω) и φ(ɷ). Если рассматривается режим отработки начальных условий и возмущений, то лучше применять модальный метод синтеза.

2. Постановка задачи синтеза системы управления.

Обсудим содержание задачи синтеза для одноканального объекта, представленного на рис. 6.2,              Рис. 6.2. Структурная схема одноканального объекта

 где пунктиром выделен датчик. Его поведение описывает передаточная функция = (6.3), причем ресурс управления объекта ограничен, и<й. Влияние окружающей среды отражает возмущающее воздействие M(t), а выходная переменная измеряется датчиком (первичным измерительным преобразователем, сенсором) с помехой измерения H(t), так что ӯ= у + H(t), где ӯ - измеренное значение выходной переменой у.

Целью функционирования замкнутой системы регулирования является обеспечение с заданной точностью свойства   (6.4) .Наряду с условием статики (6.4) предъявляются требования и к динамике системы, т. е. характеру переходных процессов. Обычно они задаются в виде следующих оценок:  tn t*n  и σσ* (6.5), выполнение которых представляет собой основную сложность расчета.

Необходимо определить структуру и параметры регулятора, обеспечивающего выполнение требований (6.4) и (6.5) в условиях действия возмущений и помех измерения.

Заметим, что переменной, которую можно использовать для организации управляющего воздействия в системе, является полученная с помощью датчика оценка выходной величины ӯ . Поэтому в лучшем случае в системе с заданной точностью можно обеспечить выполнение свойства , а не условия (6.4). Для уменьшения влияния помехи при выборе измерительного устройства следует придерживаться рекомендаций:

- датчик должен  обладать значительно большей  точностью, чем требуемая точность  системы в целом;- нужно отфильтровывать  помеху, частотный состав которой  отличается от рабочих частот  системы.

В соответствии с принципом суперпозиции ошибка регулирования в замкнутой системе будет представлять собой сумму трех составляющих ∆ = ν - y = ∆ν + ∆H + ∆M.

Одна из них (∆v), порожденная входным воздействием, может быть легко скомпенсирована масштабированием. Поскольку помеха измерения H(t) обычно представляет собой высокочастотный сигнал, ее наибольшее влияние проявляется в динамике.

Следовательно, рассчитывать регулятор необходимо таким образом, чтобы в системе управления статическая ошибка, порожденная возмущением, не превышала заданного значения ( ).

УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА

3. Прежде чем выбирать подходящий метод расчета, необходимо убедиться в том, что задача синтеза будет разрешима. С этой целью необходимо исследовать свойства объекта управления и требования, которые предъявляются к качеству работы замкнутой системы. На их основе можно сформировать желаемую передаточную функцию W*(p) = (6,6) и определить условия разрешимости задачи синтеза. 
   Ресурсное ограничение в задаче синтеза.

Рассмотрим объект управления (6.3)[= ], полагая, что помеху измерения удалось исключить. В этом случае его операторное уравнение имеет вид

 y(p)= M(p)+W0(p)u(p)     (6.7).

Желаемое уравнение для замкнутой cистемы, соответствующее (6.6)[ W*(p) =] запишем как

 y(p)= W*(p)ν(p)   (6.8).

Приравнивая правые части выражений (6.7) и (6.8), определим «точное» управляющее воздействие

  u(p)= (p)W*(p)ν(p) - (p)M(p)  (6.9).

Если удастся реализовать закон управления (6.9), то поведение замкнутой системы будет точно соответствовать желаемой передаточной функции (6.6).

Поскольку для реального объекта ресурс управления всегда ограничен, задача синтеза будет разрешима при выполнении условия

ū    (6.10)

которое и называется ресурсным ограничением.

К сожалению, на практике реализовать управление (6.9) невозможно, так как закон изменения возмущения M(t) неизвестен, кроме границ его изменения, которые и следует подставить для проверки в соотношение (6.10).

 

4. Устойчивость «обратного» объекта.

Это условие также предполагает исследование свойств объекта. Изобразим структурную схему, соответствующую выражению для «точного» управляющего воздействия (6.9)

  [u(p)= (p)W*(p)ν(p) - (p)M(p) ] .

 Как видим из рис. 6.3, «точный» регулятор включает в себя желаемую передаточную функцию системы и обратную модель объекта. Поскольку W*(p) всегда имеет полюса с отрицательной вещественной частью, то устойчивость «точного» регулятора определяется устойчивостью обратной модели объекта.

 

Отсюда следует второе условие разрешимости: задача синтеза будет иметь решение, если обратная модель объекта (6.3) [= ] (р) устойчива, что соответствует требованию

Re<0 .  (6.11)

Для разрешимости задачи синтеза необходимо, чтобы все «нули» передаточной функции объекта (корни полинома В(р)) располагались в левой полуплоскости плоскости корней.

Пример 6.1

Рассмотрим проявление этого условия для системы, структурная схема которой приведена на рис. 6.4. Здесь к - коэффициент усиления регулятора; W0(p)=B(p)/A(p) - передаточная функция объекта управления.

Рис. 6.4. Структурная схема системы к примеру 6.1

Запишем характеристическое уравнение системы

А(р) + кВ(р) = 0.

Для уменьшения статической ошибки будем увеличивать коэффициент усиления регулятора. В пределе при к —> получим вырожденную систему, характеристическое уравнение которой принимает вид

В(р) = 0,

и ее устойчивость определяют «нули» передаточной функции объекта.

Таким образом, (6.11) является необходимым условием устойчивости вырожденной системы и одновременно условием разрешимости задачи синтеза. Понятно, что для устойчивости замкнутой системы нужно анализировать все корни исходного характеристического уравнения.

 

 

5. Понятие и условие управляемости.

Понятие управляемости используется при проверке условий разрешимости задачи синтеза для линейных систем, поведение которых описывают уравнения состояния.

Рассмотрим условие управляемости для общего класса объектов вида     (6.12)

Объект (6.12) называется управляемым, если существует ограниченное управляющее воздействие u(t), с помощью которого можно перевести его из начального состояния х(0) в заданное конечное х(Т) за конечное время Т.

Проверяется это условие с помощью критерия управляемости, его формулировку приведем без доказательства. Объект (6.12) будет управляем тогда и только тогда, когда матрица управляемости U=[B,AB, … ,An-1B]  (6.13)  имеет полный ранг.     

Так как матрица U имеет п строк и п х т столбцов, то критерий управляемости записывается в виде     r{U}= r{ B,AB, … ,An-1B }=n.   (6.14)

Определить, имеет ли матрица полный ранг, можно по соотношению det {UUT} 0  (6.15), которое легко проверить, например, с помощью пакета Matlab.

В случае одноканального объекта (когда m = 1) матрица управляемости будет квадратной и критерий (6.14) принимает форму det {U} 0  (6.16).

Отметим, что задача синтеза будет иметь решение, если объект управляем, т.е. условие управляемости является условием разрешимости задачи синтеза.

Однако невыполнение условия (6.14) еще не означает, что такой объект нельзя стабилизировать. В случае, когда r{U} <п и объект (6.12) не полностью управляем, с помощью специального невырожденного преобразования переменных z=M1x , detM1≠0

его описание можно привести к канонической форме

   (6.17)

Здесь переменные Z2 характеризуют автономную часть объекта, называемую неуправляемой. Структурная схема такого объекта приведена на рис. 6.5. Пунктиром выделена неуправляемая часть объекта, процессы в которой развиваются в силу собственных свойств. Изменить их с помощью управления невозможно, однако переменные Z2 влияют на управляемую часть и выходные переменные у. Если неуправляемая часть будет неустойчива, то и весь объект будет не только неустойчивым, но и нестабилизируемым. Таким образом, для не полностью управляемого объекта условием разрешимости задачи синтеза является требование устойчивости неуправляемой части.

6.  
   Понятие и условие наблюдаемости.

    Это  понятие отражает возможность оценки переменных состояния объекта (6.12) по результатам измерения выходных переменных.  (6.12)

Объект называется наблюдаемым, если в любой момент времени можно оценить состояние х по данным измерения выходных переменных у(t) и управляющих воздействий и u(t).

Условие проверяется с помощью критерия наблюдаемости, который приводится без доказательства . Объект (6.12) наблюдаем тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости

  (6.18)  имеет полный ранг, т. е.      r{N}=n   (6.19)

Это условие можно проверить по соотношению

В случае одноканального объекта критерий наблюдаемости (6.19) принимает вид

      (6.20)

Задача синтеза будет иметь решение, если объект наблюдаем, т. е. условие наблюдаемости также является условием разрешимости задачи синтеза.

В случае, когда r{N}< n, т. е. объект (6.12) не полностью наблюдаем, существует невырожденное преобразование переменных z=M2x, detM2≠0, которое позволяет уравнения (6.12) записать в форме    (6.21)

 

Здесь переменные Z2 характеризуют ненаблюдаемую часть объекта, структурная схема которого приведена на рис. 6.6.

 

На схеме пунктиром выделена ненаблюдаемая часть. Если она неустойчива, то стабилизировать объект нельзя. Следовательно, в этом случае условие разрешимости задачи синтеза – устойчивость ненаблюдаемой части объекта.

 

 

Рис.6.6. Структурная схема не полностью наблюдаемого объекта

 

 

7. Постановка задачи в частотном методе синтеза.

    Будем  рассматривать объект управления, поведение которого описывает  передаточная функция W0(р) , а выходная переменная измеряется с помехой Н(t) (см. рис. 6.2). Влияние окружающей среды отражает возмущение М(t). Требования к поведению замкнутой системы заданы в виде оценок переходного процесса, в качестве которых используются статическая ошибка (Δ*) , перерегулирование ( ϭ* ) и быстродействие (tn*). Необходимо определить передаточную функцию Wk (р) регулятора (корректирующего звена), включение которого в систему обеспечит в ней заданное качество работы. Частотный метод синтеза предполагает использование асимптотических логарифмических амплитудных частотных характеристик, он применяется для расчета одноканальных систем, функционирующих в режиме слежения или отработки входного воздействия. Предполагается, что корректирующее звено (регулятор) находится на входе системы. Расчетная структурная схема системы имеет вид, изображенный на рис. 6.8.