Шпаргалка по "Теория Автоматического Управления"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Процедура синтеза  регулятора частотным методом.

Обобщая рассмотренные этапы частотного метода синтеза, можно предложить следующую процедуру расчета регулятора.

1. Определяется коэффициент усиления разомкнутой системы kp из условия заданной статической ошибки по соотношению (6.36) [], а затем вычисляется коэффициент усиления регулятора (корректирующего звена) kK=kp/k0 .
2. Строится асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика объекта с учетом рассчитанного коэффициента усиления регулятора кк, т. е. (ω) = kKL0(ω) .
3. На основании требований к качеству процессов в замкнутой системе ( и σ*) формируется желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы L*(ω).
4. Графически вычисляется логарифмическая амплитудная частотная характеристика регулятора согласно соотношению (ω) = L *(ω) – (ω).
5. В соответствии с правилом п. 6.4.3 на основе (ω) восстанавливается передаточная функция (p), а затем записывается передаточная функция регулятора Wk(p)=Kk(p).
6. Анализируется влияние возмущения M(t) и в случае необходимости увеличивается частота среза , для которой повторяются пи. 3-5 процедуры расчета регулятора.
7. С целью уменьшения влияния помехи измерения к рассчитанной передаточной функции WK(p) корректирующего звена добавляется передаточная функция апериодического звена с малой постоянной времени.
8. Предлагается схемная реализация регулятора на активных или пассивных элементах.

 

 

14. Модальный метод  синтеза. Основные понятия.

Модальный метод синтеза обычно применяется для расчета систем, работающих в режиме отработки начальных условий. Поскольку процедура расчета основана на использовании корней характеристического уравнения, которые относятся к модальным характеристикам системы, метод синтеза получил название «модального» .

Рассмотрим основные соотношения метода для случая, когда математическая модель объекта управления представлена в переменных состояния

    (6.41)

Требования к поведению замкнутой системы формулируются в виде оценок переходных процессов (6.5): tп   и σ, от которых можно перейти к желаемому распределению корней на комплексной плоскости. На основе выбранных корней формируется так называемое желаемое характеристическое уравнение замкнутой системы : pn+cпpn-1+ … +c2p+c1=0 (6.42).

Метод синтеза предполагает задание пропорционального состоянию закона управления u=Kx (6.43) , где K – матрица неизвестных коэффициентов.

После подстановки алгоритма управления (6.43) в уравнения объекта (6.41) получают уравнения замкнутой системы :   (6.44) ,и записывают ее характеристическое уравнение det[pI-(A+BK)]=pn+aп(K)pn-1+…+a2(K)p+a1(K)=0 (6.45).

Неизвестные коэффициенты матрицы регулятора необходимо определить таким образом, чтобы качество работы замкнутой системы соответствовало заданным оценкам. С этой целью приравнивают характеристическое уравнение замкнутой системы (6.45) желаемому (6.42) и получают соотношения для расчета элементов матрицы K в виде ai(K)=ci , i=   (6.46).

Поскольку в общем случае зависимость ai(K) может быть нелинейной, найти коэффициенты матрицы K по выражению (6.46) не всегда удается даже для одноканального объекта, уравнения которого предварительно записывают в канонической форме.

 

15. Постановка задачи  синтеза в модальном методе.

рассмотрим объект управления, поведение которого описывает передаточная функция

   (6.47)

где .

Модальный метод синтеза обеспечивает заданную реакцию системы на начальные условия, которая определяется корнями характеристического уравнения. Корни, в свою очередь, выбираются на основе требований, предъявляемых к динамике в виде условий (6.5) [:  tп   и σ]. Кроме этого, необходимо, чтобы в статике выполнялось условие (6.4), т. е.   с точностью .

Таким образом, задача синтеза заключается в обеспечении в замкнутой системе желаемого распределения корней и требуемой статики. Для ее решения предлагается использовать регулятор, который состоит из двух составляющих: последовательного звена Ws(p)  на входе и звена с передаточной функцией Wd(p)  в цепи локальной обратной связи. Таким образом, структурная схема замкнутой системы задана и имеет вид, представленный на  

рис. 6.17.

Исходя из их предназначения, звено прямого канала с передаточной функцией Ws(p) будем называть корректором статики, а звено с передаточной функцией Wd(p)  – корректором динамики. Процедура синтеза включает в себя рекомендации по определению параметров этих передаточных функций.

 

16. Выбор корректора  статики в модальном методе  синтеза.

Для обеспечения условия статики (6.4) при произвольном возмущении M(t) , т. е. выполнения свойства , предлагается в качестве корректирующего звена Ws(p)  использовать интегратор Ws(p)=,   (6.48) где – коэффициент усиления регулятора, его численное значение будет определено позже.

Полагая, что объект и корректор динамики не содержат интегрирующих звеньев, покажем выполнение условия (6.4). С этой целью запишем операторное выражение для выходной величины

 y=.  (6.49)

Поскольку в статике передаточные функции W0(p) и Wd(p) «вырождаются» в коэффициенты усиления, получим окончательно y=ν .

Таким образом, использование корректора статики Ws(p) вида (6.48) делает систему астатической, и условие (6.4) можно обеспечить с ошибкой .

 

17. Расчёт корректора  динамики в модальном методе  синтеза.

В качестве корректора динамики предлагается выбирать звено со следующей передаточной функцией: Wd(p) = ,        (6.50)

Где   – полином числителя передаточной функции объекта W0(p) , а – введенный расчетный полином с неизвестными коэффициентами di , i=.

Суть модального метода синтеза заключается в приравнивании действительного и желаемого характеристических уравнений замкнутой системы и вычислении из полученных соотношений параметров регулятора.

Первоначально определим характеристическое уравнение системы, структурная схема которой приведена на рис. 6.17:

 

1+ W0(p) Wd(p)+ W0(p) Ws(p)=0.             (6.51)

С учетом (6.47) [W0], (6.48) [Ws(p)=] и (6.50) уравнение (6.51) принимает вид

pA(p)+pD(p)+ksB(p)=0,причем его порядок равен (n+1).

Подставляя вместо A(p), D(p) и B(p) их выражения, получим действительное характеристическое уравнение замкнутой системы в следующей форме:

. (6.52)

Теперь на основе требований к качеству переходных процессов (заданного перерегулирования σ* и быстродействия ) сформируем желаемое характеристическое уравнение того же порядка, что и (6.52). Для его конструирования используем корневые оценки переходных процессов, с помощью которых получим эталонное распределение корней на комплексной плоскости.

Предварительно определим границу расположения желаемых корней системы. Она зависит от заданного времени переходного процесса и приближенно может быть найдена по соотношению η        (6.53)

Заданное перерегулирование σ*  ограничивает сектор на комплексной плоскости, внутри которого должны располагаться желаемые корни (рис. 6.18). С этой целью по соотношению

 

 

определяется требуемое значение колебательности процессов в системе , а затем вычисляется значение мнимой части корней с «максимальным» размахом:

.      (6.54)

Эталонные корни   могут выбираться внутри ограниченной области комплексной плоскости произвольным образом. Однако чем дальше они удалены от границы η , тем меньше длительность переходного процесса и больше потребуется ресурс управления объекта. Поэтому рекомендуется выбирать корни

 , достаточно близко друг к другу и правой границе области расположения корней, а затем сформировать желаемое уравнение следующим образом:

. (6.55)

Характеристическое уравнение (6.55) запишем в стандартном виде .  (6.56)

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях оператора p желаемого (6.56) и действительного (6.52) характеристических уравнений системы, запишем выражения для определения неизвестных параметров регулятора:

 c1=ksb  1,

c2=a1+d1+ b2ks  ,

………………         

cn+1=an+dn.

(6.57)

Полученные из (6.57) расчетные соотношения имеют вид

(6.58)

Таким образом, мы определили параметры передаточных функций Ws(p) и Wd(p) регулятора, обеспечивающего в системе требуемые свойства в статике и динамике.

 

18. Процедура синтеза  регулятора модульным методом.

На основе рассмотренной операторной методики модального метода синтеза можно предложить следующую процедуру расчета регулятора.

1. Проверяются условия разрешимости задачи синтеза для исходного объекта управления.
2. Записывается передаточная функция корректора статики Ws(p)= .
3. Выбирается передаточная функция корректора динамики Wd(p)= , где – полином числителя передаточной функции объекта; n – порядок объекта; , – коэффициенты регулятора, численные значения которых должны быть определены в процессе синтеза .
4. В соответствии с расчетной структурной схемой (см. рис. 6.13) находится действительное характеристическое уравнение системы, содержащее неизвестные параметры регулятора (6.52)

[].

 

 

5. С учетом требований к качеству переходных процессов (σ* и ) формируется желаемое характеристическое уравнение системы (n+1)-го порядка в виде (6.56)

[].

6. Приравниваются коэффициенты при соответствующих степенях оператора p желаемого (6.56) и действительного (6.52) характеристических уравнений системы, записываются расчетные соотношения для параметров регулятора (6.57). :

c1=ksb1,

c2=a1+d1+ b2ks  ,    (6.57)

………………         

cn+1=an+dn.

   

7. В случае, когда степени полиномов числителя и знаменателя передаточной функции объекта связаны соотношением m=(n-1) , передаточная функция корректора динамики содержит в числителе и знаменателе полиномы одного порядка. Такой регулятор может быть непосредственно реализован в виде цепочки интеграторов с прямыми и обратными связями.
8. В ситуации, когда m<(n-1) , корректор динамики представляет собой форсирующее звено, для его реализации в систему следует вводить специальный фильтр (см. рис. 6.16).
9. При расчете стабилизирующей добавки L(p)  используется методика модального метода синтеза. Сначала формируется желаемое характеристическое уравнение фильтра так, чтобы процессы в нем заканчивались на порядок быстрее, чем в системе (т. е. ). Приравниваются коэффициенты при соответствующих степенях оператора p полученного желаемого и действительного (6.59) [] характеристических уравнений фильтра, записываются соотношения для расчета параметров стабилизирующей добавки.
10. Параллельная модель Wm(p) и стабилизирующая добавка  реализуются в виде цепочки интеграторов, из внутренних переменных модели формируется форсирующий регулятор.

 

Пример 6.9

Предложить схемную реализацию регулятора, рассчитанного для объекта с передаточной функцией , .

Найденные из условия требуемого качества процессов в замкнутой системе передаточные функции регулятора имеют вид

,где

Как видим, корректор динамики представляет собой форсирующее звено первого порядка, поэтому для его реализации введем в систему стабилизирующую добавку с передаточной функцией

С учетом передаточной функции модели объекта

запишем действительное характеристическое уравнение фильтра (6.59) в виде

 

или .

Представим это уравнение в стандартной форме

 

Сформируем желаемое характеристическое уравнение фильтра так, чтобы процессы в нем заканчивались на порядок быстрее, чем в системе. При этом выберем

Поскольку в системе не допускается перерегулирование, сохраним это условие и для фильтра. Таким образом, корни должны быть вещественными и располагаться на расстоянии не ближе от мнимой оси. В результате выберем следующие корни:

 

Запишем желаемое характеристическое уравнение фильтра

 

В результате подстановки численных значений корней получим

 

Определим расчетные соотношения для параметров стабилизирующей добавки, для чего приравняем коэффициенты уравнений и :

 

Отсюда найдем =10,2 ; 0,2;

  Таким образом, передаточная функция стабилизирующей добавки имеет вид

.

 

Приведем на рис. 6.22 полную структурную схему системы с учетом реализации регулятора. На схеме пунктиром выделены: – параллельная модель; – стабилизирующая добавка; – полином числителя корректора динамики.

 

19. Оптимальные  системы. Основные понятия.

Оптимальной называют такую систему автоматического управления, в которой полностью в каком-либо формальном смысле используются динамические возможности объекта для совершения переходных процессов при заданных ресурсных ограничениях.

Управление, обеспечивающее в системе оптимальные процессы, называется оптимальным и обозначается далее u0 .

Покажем особенности задачи синтеза оптимальной системы на следующем примере.

Пример 12.1

 

Для объекта, структурная схема которого представлена на рис. 12.1, рассчитать регулятор, обеспечивающий переход из начального положения y(0) в заданное конечное состояние y*(t)   за минимально возможное время. Ресурс управления объекта ограничен |u| , а k = 1.

Рассмотрим переходные процессы при подаче на вход объекта различных управляющих воздействий (рис. 12.2):