Динамика. Исследование движения плоского многозвенного механизма

Московский Государственный  Университет Инженерной Экологии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра «Теоретическая механика»

Курсовая работа

Тема: «Динамика»

 

Вариант – 4.

 

 

 

 

 

 

Работу выполнил: Рузанов Леонид

Студент группы:   М - 23

Работу проверил: Серов Михаил Владимирович

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2005 год.

Москва.

 

Дано:

Р – вес сплошного катка А;

Q – вес блока В;

G_ин, ρ_ин – вес и радиус инерции блока Д;

Q₁ – вес груза Е;

 

 

 

 

 

 

1. Пользуясь теоремой об изменении кинетической энергии системы, определить скорость и ускорение груза А, если он из состояния покоя переместится на расстояние S_A, считая при этом, что нить невесома и нерастяжима.
2. С помощью принципа Даламбера определить ускорение центра масс груза А и натяжение нитей на участках I и II.
3. Используя общее уравнение динамики определить ускорение центра масс груза А.
4. Используя уравнения Лагранжа II рода:

а) выбрать обобщённую координату системы;

б) составить уравнение Лагранжа II рода;

в) определить ускорение груза А.

5.   Сравнить результаты, полученные при вычислении ускорения груза А различными    способами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Пользуясь теоремой об изменении кинетической энергии системы, определить скорость и ускорение груза А, если он из состояния покоя переместится на расстояние S_A, считая при этом, что нить невесома и нерастяжима.

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Рассмотрим  движение механической системы,  состоящей из четырёх твёрдых  тел.

2. Укажем  оси координат.

3. Изобразим  внешние силы:

    а) заданные: , , ,

    б) реакции связей: (нить, наклонная  плоскость, неподвижные цилиндрические  шарниры В и Д)  , , , , .

4. Примем  теорему об изменении кинетической  энергии механической системы: 

, т.к. по условию при t = 0 система находится в покое.

, т.к. все тела, входящие в  систему, – твёрдые, а нити – нерастяжимые.

а) Определим Т:

Т = Т_А + Т_В + Т_Д + Т_Е        (1)

Всю кинетическую энергию будем выражать через  скорость той точки, ускорение которой  необходимо определить по условию задачи.

               

Подставим полученные значения Т в уравнение (1):

б)

Всю работу будем выражать через перемещение  той точки тела, ускорение которой  необходимо определить по условию задачи.

   (2)

Дифференцируем  уравнение (2) по времени:

 

Отсюда:

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.    С помощью принципа Даламбера  определить ускорение центра  масс груза А и натяжение  нитей на участках I и II.

Решение:

1. Рассмотрим движение тела А:

1. Рассмотрим движение тела А.

2. Укажем  оси координат.

3. Изобразим внешние силы:

    а) заданные:

    б) реакции связей: (нить 1, наклонная  плоскость)  , , .

4. Принцип  Даламбера: 

Для любой  движущейся механической системы в каждый момент времени активные силы, действующие на систему, реакции связей и искусственно приложенная Даламберова сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

( , , , , ) * 0

2. Рассмотрим движение тела В:

1. Рассмотрим движение тела B.

2. Укажем  оси координат.

3. Изобразим  внешние силы:

    а) заданные:

    б) реакции связей: (нить 1 и 2, шарнир) , , .

4. Принцип  Даламбера: 

Для любой  движущейся механической системы в  каждый момент времени активные силы, действующие на систему, реакции  связей и искусственно приложенная  Даламберова сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

( , , , , , ) * 0

, , 

  

3. Рассмотрим движение тела Д:

1. Рассмотрим движение тела Д.

2. Укажем  оси координат.

3. Изобразим  внешние силы:

    а) заданные:

    б) реакции связей: (нить 2 и 3, шарнир) , , , .

4. Принцип  Даламбера: 

Для любой  движущейся механической системы в  каждый момент времени активные силы, действующие на систему, реакции  связей и искусственно приложенная Даламберова сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

( , , , , , ) * 0

;

;

; 

  

4. Рассмотрим движение тела Е:

1. Рассмотрим движение тела Е.

2. Укажем оси координат.

3. Изобразим внешние силы:

    а) заданные:

    б) реакции связей: (нить 3) .

4. Принцип Даламбера: 

Для любой движущейся механической системы в каждый момент времени  активные силы, действующие на систему, реакции связей и искусственно приложенная Даламберова сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

( , , ) * 0

;   ;

 

 

Составим систему уравнений:

Сложим (1) и (2) уравнение:

 

 

Получим:

   (5)

Помножим уравнение (5) на R², а уравнение (3) на 2 и составим систему:

Вычтем из уравнения (3) уравнение (5). Получим:

Выразим из уравнения (6) T₃ и подставим это значение в уравнение (4):

Выразим из (8) а_А:

Найдём значения сил T₁, T₂, T₃:

Из (1) =>

Из (5) => Из (4) =>

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.  Используя общее уравнение динамики определить ускорение центра масс груза А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из 4 твёрдых тел, соединённых 3 нерастяжимыми нитями.
2. Выберем систему координат.
3. Изобразим внешние силы.

а) активные (заданные): P_A, P_B, P_Д, Q₁

б) на систему наложены идеальные  связи, т.к. тела – твёрдые, нити (их соединяющие) – нерастяжимые, а трением  в шарнирах В и Д пренебрегаем.

4. Применим объединённый принцип  Даламбера-Лагранжа:

а) Система имеет 1 степень свободы (1 уравнение):

б) Изобразим силы инерции:

в) Сообщим системе возможное перемещение. Дадим точке А линейное возможное перемещение, δ_SA. Тогда точки K, O, L, P, E получат соответствующие линейные возможные перемещения (δ_Sk, δ_So, δ_SL, δ_Sр, δ_SE), а тела В и Д – соответствующие возможные угловые перемещения (δφ_B, δφ_Д)

г) Составим общее уравнение Лагранжа:

, т.к.  =

, т.к. 

, т.к.  =

Подставим полученные значения в формулу (1):

Т.к. , то

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Используя уравнения Лагранжа II рода:

а) выбрать обобщённую координату системы;

б) составить  уравнение Лагранжа II рода;

в) определить ускорение груза А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Рассмотрим движение механической  системы, состоящей из 4 твёрдых  тел, соединённых 3 нерастяжимыми  нитями.

2.Выберем систему координат.

3.Изобразим внешние силы.

а) активные (заданные): P_A, P_B, P_Д, Q₁

б) на систему наложены идеальные  связи, т.к. тела – твёрдые, нити (их соединяющие) – нерастяжимые, а трением  в шарнирах В и Д пренебрегаем.

4.Применим уравнение Лагранжа  ІІ рода:

а) Система имеет 1 степень свободы (1 уравнение):

б) Выбираем в качестве обобщённой координаты ;

  (3)

в) Вычислим обобщающую силу Q:

(2)

Сообщим системе возможное перемещение. Дадим точке А линейное возможное  перемещение, δ_SA. Тогда точки K, O, L, P, E получат соответствующие линейные возможные перемещения (δ_Sk, δ_So, δ_SL, δ_Sр, δ_SE), а тела В и Д – соответствующие угловые возможные перемещения (δφ_B, δφ_Д)

(δ_SA ,δ_Sk, δ_So, δ_SL, δ_Sр, δ_SE)

Вычислим сумму элементарных работ:

δ_SA=δ_Sk=δ_So=δ_SL,

Подставим в (2):

г) Вычислим Т и её производную:

Т = Т_А + Т_В + Т_Д + Т_Е    

 

 

Подставим и в (3):

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Сравнить  результаты, полученные при вычислении  ускорения груза А различными    способами.

1.

2.

3.

4.

Вывод: Результаты, полученные различными способами оказались равными.