Колебания и их характеристики

Содержание:

Введение……………………………………………………………..

1. Виды и характеристики колебаний.

 

1. Механические  колебания…………………………………………….

 

2. Электомагнитные колебания………………………..

 

Литература………………………………………………………………….. 

 

  Введение.

Колебания –  один из самых распространенных процессов  в природе и технике. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода  под действием ветра, маятник  заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень  реки в течение года и температура  человеческого тела при болезни.

Звук – это  колебания плотности и давления воздуха, радиоволны – периодические  изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет – тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой. Землетрясения  – колебания почвы, приливы и  отливы – изменение уровня морей  и океанов, вызываемое притяжением  Луны и достигающее в некоторых  местностях 18 метров, биение пульса –  периодические сокращения сердечной  мышцы человека и т.д. Смена бодрствования  и сна, труда и отдыха, зимы и  лета...

Даже наше каждодневное хождение на работу и возвращение  домой попадает под определение  колебаний, которые трактуются как  процессы, точно или приближенно  повторяющиеся через равные промежутки времени.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные  другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой  много общего и поэтому описываются  одними и теми же дифференциальными  уравнениями. Специальный раздел физики – теория колебаний – занимается изучением закономерностей этих явлений. Знать их необходимо судо- и самолетостроителям, специалистам промышленности и транспорта, создателям радиотехнической и акустической аппаратуры.

Любые колебания  характеризуются амплитудой – наибольшим отклонением некоторой величины от своего нулевого значения, периодом (T) или частотой (v). Последние две величины связаны между собой обратно пропорциональной зависимостью: T = 1/v. Частота колебаний выражается в герцах (Гц). Единица измерения названа так в честь известного немецкого физика Генриха Герца (1857...1894). 1 Гц – это одно колебание в секунду. Примерно с такой частотой бьется человеческое сердце. Слово «херц» по-немецки означает «сердце». При желании в этом совпадении можно усмотреть некую символическую связь.

Первыми учеными, изучавшими колебания, были Галилео  Галилей (1564...1642) и Христиан Гюйгенс (1629...1692). Галилей установил изохронизм (независимость периода от амплитуды) малых колебаний, наблюдая за раскачиванием  люстры в соборе и отмеряя время  по ударам пульса на руке. Гюйгенс изобрел  первые часы с маятником (1657) и во втором издании своей монографии «Маятниковые часы» (1673) исследовал ряд  проблем, связанных с движением  маятника, в частности нашел центр  качания физического маятника.

Большой вклад  в изучение колебаний внесли многие ученые: английские – У. Томсон (лорд Кельвин) и Дж. Рэлей, русские – А.С. Попов и П.Н. Лебедев, советские – А.Н. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, Н.Н. Боголюбов, А.А. Андронов и другие. 
 

1.Виды  колебаний и их  характеристики. 

Колебательными процессами (колебаниями) называются движения или изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющиеся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени Т, называемые периодом.

В зависимости от физической природы и механизма возбуждения колебаний различают:

- механические колебания (колебания маятников, струн, балок, частей машин и механизмов, качка кораблей, волнение моря, колебания давления при распространении звука в газе, жидкости, твердом теле и т.д.);

- электромагнитные колебания (переменный ток, колебания тока, заряда, векторов E и H в колебательных контурах и т.д.);

- электромеханические колебания (колебания мембран телефонов, диффузоров электродинамических громкоговорителей и т.д.).

Колебательные движения отличаются от других видов движений. Они характеризуются некоторыми общими признаками. На языке теории колебаний различия между колебательным движением тела и процессами в колебательных электромагнитных контурах исчезают, если подходить к ним с точки зрения общих принципов. Такой подход называется электромеханическими аналогиями.

Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.

Колебания, которые возникают вследствие какого-либо начального отклонения системы от ее устойчивого равновесия, называются собственными колебаниями.

Колебания, возникающие в системе под влиянием переменного внешнего воздействия, называются вынужденными колебаниями.

Общие признаки и понятия, единые для различных колебательных систем, следующие:

• дифференциальное уравнение (его вид одинаков для любых колеблющихся систем);
• уравнение колебаний;
• амплитуда;
• частота или период колебаний;
• фаза;
• начальная фаза.

Рассмотрим колебания в механической и электромагнитной системах, выделяя именно перечисленные выше признаки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 1.1.Механические  колебания.

    В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

    Свободными  называют такие колебания, которые  происходят в системе, предоставленной  самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания  шарика, подвешенного на нити (маятник). Для того чтобы вызвать колебания, можно либо толкнуть шарик, либо отведя в сторону, отпустить его.

    Вынужденными  называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается  воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером служат колебания  моста, возникающие при прохождении  по нему людей, шагающих в ногу.

    Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты  времени, когда осуществляются эти  воздействия,  задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет  внешним воздействием. Примером автоколебательной  системы являются часы, в которых  маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение. При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

    Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых  колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний. 

    В качестве механической колебательной  системы, на примере которой мы будем  рассматривать колебания, выбираем пружинный маятник: маленькое тело (материальная точка) массой m подвешено на пружине с жесткостью k (Рисунок 2).

Ненагруженная пружина имела длину l₀. Когда подвесили тело, пружина удлинилась на ∆l. Возникшая упругая сила уравновесила силу тяжести . Это соотношение позволяет определить положение равновесия пружинного маятника. Если теперь тело сместить относительно положения равновесия на расстояние х, то на тело будет действовать сила упругости и сила тяжести.

Равнодействующая  этих сил равна:

.

    Знак  минус означает, что направление  силы F_упр. и направление смещения х противоположны. F_упр. - сила упругости, возникающая при смещении тела относительно положения равновесия за счет сжатия или растяжения пружины (в зависимости от того, в какую сторону от положения равновесия отклонено тело). Качественно на Рисунке 1.1 виден результат действия упругой силы ( чем больше смещение, тем больше F_упр.).

Рисунок 1.1 – Положения пружинного маятника за время одного периода колебаний.

Если  система совершает колебания  под действием сил, развивающихся  в самой колебательной системе  без внешних воздействий и  без учета сил сопротивления, то колебания называются незатухающими собственными колебаниями.

Отсутствие  затухания колебаний характерно для идеальной колебательной  системы, которая является физической моделью реальных физических процессов.

    Дифференциальное  уравнение, соответствующее колебаниям пружинного маятника, можно получить из закона его движения, которым является 2-й закон Ньютона ma = F.

Учитывая, что ускорение есть вторая производная  от смещения по времени 
, 
а сила, действующая на тело, есть сила упругости, определяемая для малых смещений тела от положения равновесия по закону Гука, как , получим

 
или 
.

Это дифференциальное уравнение второго порядка для незатухающих колебаний. Основной его отличительной особенностью является тот факт, что вторая производная от смещения по времени (т.е. ускорение) пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение, в которое величина х входит в нулевой или первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением. В дальнейшем мы покажем, что подобного рода уравнения характерны для незатухающих колебаний в любой идеальной колебательной системе.

Перенесем все члены уравнения в левую  часть и приведем дифференциальное уравнение к виду:

Величина  , обозначим ее , получим

Решением  дифференциального уравнения такого вида являются уравнения:

или

Эти решения  называются уравнениями колебаний, они позволяют вычислить смещение х пружинного маятника в любой момент времени.

Колебания, при которых характеризующие  их физические величины изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

Отличие аргументов функций синуса и косинуса составляет , т.е. . 
В дальнейшем чаще всего мы будем использовать решение дифференциального уравнения в виде .

    В уравнении колебаний:

А –  амплитуда смещения – максимальное отклонение маятника от положения равновесия;

х – смещение маятника, т.е. отклонение колеблющейся точки (тела) от положения равновесия в момент времени t;

– фаза колебаний – величина, определяющая положение колеблющейся точки в любой момент времени t;

α –  начальная фаза определяет положение маятника в начальный момент времени (t = 0).

  Периодом  T называется наименьший интервал времени, за который система возвращается в исходное положение. За период колебаний система совершает одно полное колебание.

  Частотой  периодических колебаний называется величина , равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени.

  Циклической или круговой частотой периодических колебаний называется величина , равная числу колебаний, совершаемых за единиц времени.

Для пружинного маятника частота и период собственных  колебаний в зависимости от параметров системы имеют вид:

, .

    Зная  уравнение смещения пружинного маятника, получим подобные уравнения для  других физических величин. Найдем скорость, ускорение, энергию колебаний, если уравнение смещения пружинного маятника задано в виде .

  Скорость  колебаний маятника есть первая производная по времени от смещения: