Колебания и их характеристики

.

Величина Аω₀ называется амплитудой скорости. Амплитуда – величина положительная (по определению).

Ускорение маятника:

.

Величина Аω₀² – амплитуда ускорения. И смещение, и ускорение маятника изменяются по закону косинуса, но отличаются, кроме амплитуды, еще и знаком. Направление ускорения совпадает с направлением упругой силы.

    Так как собственные колебания в  идеальной системе происходят без  внешних воздействий, то колебательная  система является замкнутой и  для нее выполняется закон сохранения механической энергии.

Полная  механическая энергия пружинного маятника равна:

.

Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием упругой  силы, равна:

Кинетическая  энергия пружинного маятника равна

Полная  энергия колебаний пружинного маятника равна

Частота изменений кинетической и потенциальной  энергии в 2 раза больше частоты изменения  смещения, скорости и ускорения. Соответственно период изменения этих видов энергии  .

Графики физических величин в зависимости  от времени представлены на Рисунке 1.2 в пределах двух периодов колебаний (начальная фаза взята равной нулю α = 0).

Рисунок 1.2 – Графики смещения (х), скорости (v), ускорения (а) в зависимости от времени t  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1.2.Электромагнитные  колебания.

    Электромагнитный  контур состоит из плоского конденсатора емкостью С и катушки индуктивности (соленоида) с индуктивностью L. Такой контур называется идеальным контуром с распределенными параметрами. Конденсатор зарядили, на одной пластине заряд +q, на другой (–q). Рассмотрим процессы в электромагнитном контуре за время T, называемое периодом колебаний.

Момент  времени t = 0. Конденсатор заряжен, ключ "К" разомкнут, ток в контуре не идет: 
I = 0, ,

 
Ключ замкнут, по цепи идет ток разрядки до тех пор, пока не выровняются потенциалы обкладок конденсатора. При 

 
Когда конденсатор разрядится, ток  разрядки прекратится. Магнитное поле в катушке индуктивности, не поддерживаемое током, начнет уменьшаться. Уменьшение магнитного поля вызовет уменьшение магнитного потока сквозь площадь катушки, возникнет ЭДС индукции. По цепи контура пойдет индукционный ток  того же направления, что и ток  разрядки (правило Ленца). Это приведет к перезарядке конденсатора. При 

 
Направление тока разрядки в контуре  изменится. Ток разрядки будет идти по цепи до выравнивания потенциалов  на обкладках конденсатора.

При

При t = T система вернется в исходное положение.

В рассмотренном  электромагнитном контуре происходит превращение энергии из одного вида в другой и обратно, полная энергия контура - величина постоянная _.

Периодические изменения вектора напряженности Е электрического поля и вектора магнитной индукции В магнитного поля в закрытом колебательном электромагнитном контуре называется электромагнитными колебаниями.

Используем 2-й закон Кирхгофа для получения  дифференциального уравнения электромагнитных колебаний.

Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма падений напряжений на всех его участках равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре (2-ой закон Кирхгофа).

Падение напряжения на обкладках конденсатора в электромагнитном контуре равно

 
где q – величина заряда на обкладках, С – емкость конденсатора. ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении тока в ней, определяется формулой: (закон Фарадея для самоиндукции).

Второй  закон Кирхгофа для электромагнитного контура имеет вид:

или .

По определению  сила тока равна первой производной  по времени от заряда , тогда .

Преобразуем уравнение 2-ого закона Кирхгофа, получим

Обозначим , получим окончательно уравнение вида:

Это линейное дифференциальное уравнение второго  порядка, решениями которого являются уравнения:

или .

И дифференциальное уравнение для электромагнитных колебаний, и его решения подобны  тем, которые получены для механической системы (пружинного маятника).

Величины, входящие в уравнения электромагнитных колебаний, имеют следующий смысл:

q₀ – амплитуда заряда – максимальный заряд конденсатора;

q – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;

– фаза колебаний – величина, определяющая заряд конденсатора в любой момент времени t;

α –  начальная фаза определяет заряд конденсатора в начальный момент времени (t = 0).

Циклической частотой периодических колебаний в LC – контуре является величина .

Период  колебаний равен (формула Томсона).

Определим зависимость силы тока, ЭДС и энергии  колебаний от времени в электромагнитном контуре. Уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора возьмем в виде:

Сила  тока в контуре определяется соотношением:

.

Величину  называют амплитудой силы тока.

Уравнение для ЭДС имеет вид:

.

Величина  – амплитуда ЭДС.

Электрическая и магнитная энергия  изменяется согласно уравнениям:

Полная  энергия колебаний в электромагнитном контуре не зависит от времени (закон сохранения энергии).

Графики зависимостей от времени t физических величин, характеризующих электромагнитных колебаний в электромагнитном контуре, аналогичны графикам для механических колебаний (см. Рисунок 1.2).

Если  заряд на обкладках изменяется по закону , т.е. начальная фаза α = 0, то его график такой же как график смещения.

Напряжение  между обкладками конденсатора изменяется по тому же закону, что и заряд конденсатора, только амплитуда напряжения будет другой .

Изменение силы тока аналогично изменению скорости тела при механических незатухающих колебаниях. W_эл. изменяется как W_пот., а W_магн. - как W_кин..  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Литература.

1. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 2005, т.1 стр.181
2. Журнал «Наука и  жизнь» 1998. №1
3. Яворский Б.М., Детлаф. Физика. – М.: Дрофа, 1998, с.795.