Лекция по "Механике"

 

Лекция №1  Механика

 

МЕХАНИКА - часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механическое движение состоит в изменении взаимного расположения тел или их частей в пространстве с течением времени.

Механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение вызывают. Динамика изучает законы движения тел и причины, которые обусловливают это движение. Статика изучает законы равновесия системы тел.

 

§1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

Для описания реальных движущихся тел в механике пользуются, в зависимости от условий каждой конкретной задачи, различными физическими моделями.

Простейшей моделью являются МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА - тело, форма и размеры которого несущественны в условиях данной задачи.

Положение тела в пространстве можно определить только по отношению к другим телам, которые в совокупности с Системой Координат, снабженной Часами, называют СИСТЕМОЙ ОТСЧЕТА.

В качестве системы координат наиболее часто используют декартову систему с ортонормированным базисом. Положение произвольной точки М характеризуется радиус-вектором , соединяющим начало координат 0 с точкой М (рис. 1.1)     

                                                     (1.1)

где , , – единичные векторы вдоль осей OX, OY и OZ, соответственно.

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. Уравнение движения  имеет вид:  ………(1.2) , а  линия которую описывает при движении в пространстве материальная точка, называют ТРАЕКТОРИЕЙ. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. ДЛИНОЙ ПУТИ называется длина DS участка траектории АВ, пройденного материальной точкой за рассматриваемый промежуток времени. Путь – величина скалярная.

Вектор, проведенный из начального положения движущейся точки в ее положение в данный момент времени, называется ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ.

В общем случае При прямолинейном движении модуль вектора перемещения равен пройденному телом пути –

В международной системе единиц (СИ) расстояние принято измерять в метрах [м].

Для характеристики движения тел вводится векторная величина – скорость, которая показывает, насколько быстро изменяется положение тела в пространстве и указывает направление движения

Отношение перемещения к времени за которое это перемещение произошло наз. средней скоростью:

                                  (1.3)

 При неограниченном уменьшении  продолжительность интервала времени средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется МГНОВЕННОЙ СКОРОСТЬЮ (или просто скоростью)

.                     (1.4)

СКОРОСТЬ – векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени.

При стремлении Δt ® 0 различие между Δr и ΔS уменьшается и можно записать

                                                    (1.4¢)

Единицей измерения скорости в системе СИ является .

Вектор скорости всегда направлен по касательной в каждой точке траектории

Из уравнения (1.5’) можно определить путь, пройденный м. т. за промежуток времени Δt=t2 – t1

                                                      (1.5)

Если скорость неизменна по величине, , движение называется равномерным. При равномерном движении:

,                                                (1.6)

 

Если V ¹ Сonst, движение неравномерное.

Для характеристики быстроты изменения вектора скорости и ее направления в механике вводится понятие УСКОРЕНИЯ.

Тангенциальным (касательным) УСКОРЕНИЕМ точки называется векторная величина, равная первой производной по времени от скорости

.                                                    (1.7)

Оно направлено по касательной к траектории

Единица измерения ускорения в системе СИ .

 

Если а = const, то движение называется равнопеременным

а>0 - равноускоренное

a<0 - равнозамедленное

При прямолинейном равнопеременном движении:

                                         (1.8)

Скорость м.т. может изменяться как по величине, так и по направлению. 

2. Ускорение, определяющее изменение вектора скорости только по направлению называется нормальным ускорением n . Оно направлено по нормали к траектории в сторону центра кривизны траектории. Вектор n часто называют также центростремительным ускорением. Нормальное ускорение равно:

,                                                     (1.10)

где R – радиус кривизны траектории, – единичный вектор нормали.

Полное ускорение равно

Модуль полного ускорения

                                          (1.11)

 

Криволинейное движение материальной точки.

В качестве примера криволинейного движения рассмотрим частный случай – движение материальной точки по окружности (рис. 1.5). Положение точки на окружности можно охарактеризовать с помощью радиус-вектора . При движении тела по окружности поворачивается на некоторый угол , который называется углом поворота радиус-вектора или угловым перемещением. Dj измеряется в радианах [рад].

Для описания быстроты изменения угла поворота радиус-вектора вводится величина, которая носит название УГЛОВОЙ СКОРОСТИ

.               (1.12)

Размерность этой угловой скорости или [с-1].

Эта величина является векторной, направление ^ плоскости вращения  и  задается по правилу правого винта. Винт с правосторонней нарезкой необходимо вращать таким образом, чтобы его вращательное движение совпадало с направлением вращения тела по окружности, тогда поступательное движение винта укажет направление вектора угловой скорости.

При равномерном вращении (w=Сonst), вводится понятие ПЕРИОДА ВРАЩЕНИЯ Т – времени, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол

.                                                           (1.13)

Число полных оборотов, совершаемых телом при его равномерном движении по окружности, в единицу времени называется ЧАСТОТОЙ ВРАЩЕНИЯ

,                                                        (1.14)

таким образом,

.                                                          (1.15)

w часто называют циклической или угловой (круговой) частотой.

При неравномерном движении тел по окружности (w¹Const) вводят понятие УГЛОВОГО УСКОРЕНИЯ характеризующего быстроту изменения угловой скорости

,                                            (1.16)

 Единица измерения угловой  скорости  или с -2.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ И УГЛОВЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

длину пути, пройденного точкой по дуге окружности

                 (1.17)

 Линейная скорость точки связана с ее угловой скоростью следующим соотношением:

                          (1.18)

      (1.19)

 

.

 

§2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ.

В основе динамики лежат три закона Ньютона.

Динамика поступательного движений.

Поступательным называется такое движение тела, при котором все его точки перемещаются одинаково: с одними скоростями, ускорениями и описывают одинаковые траектории

ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА: утверждает, что тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.

1 закон Ньютона  подчеркивает  с точки зрения динамики равнозначность состояние покоя и равномерного прямолинейного движения.

Явление сохранения телом скорости при отсутствии внешних воздействий называется ИНЕРЦИЕЙ, а свойство тел сохранять скорость – ИНЕРТНОСТЬЮ.

Механическое движение, как мы знаем, относительно, т. е. его характер для одного того же тела может быть разным в различных системах отсчета. Поэтому первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называется инерциальными системами отсчета.

ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ ОТСЧЕТА является такая система, относительно которой материальная точка свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

Содержание первого закона Ньютона по существу сводится к двум утверждениям:

• во-первых, все тела обладают свойством инертности
• во-вторых, существуют инерциальные системы отсчета.

ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА (основной закон динамики поступательного движения) устанавливает связь между силой и вызванным ею ускорением.

Ускорение, приобретаемое телом прямо пропорционально действующей на тело силе и обратно пропорционально его массе

.                                                    (1.20)

СИЛА – векторная величина, являющаяся мерой действия одного тела на другое. Сила имеет величину, точку приложения и направление.

Характер воздействия может быть различен, но любое из них способно изменить состояния движения и вызвать ускорение.

Единицей измерения силы в международной системе единиц СИ является Ньютон (Н).

МАССА (m) – скалярная величина, являясь мерой инертности тела, характеризует способность тела  приобретать ускорение под действием силы.

Определение массы, как меры инертности тела, не исчерпывает в целом понятие массы как физической величины.  Масса является:

• мерой количества вещества;
• мерой гравитации (характеризует способность тел создавать поле тяготения).

В общем смысле, МАССА является мерой количества материи во всех формах и видах

 В системе СИ массу измеряют в килограммах (кг).

Понятие массы, как и силы, является в физике фундаментальным.

 

Если на тело действует не одна сила, а две или более, то имеет место  Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции), который  заключается в том, что при одновременном действии на тело нескольких сил каждая из них  вызывает такое же ускорение, какое она вызывала бы в отсутствии других сил.

На основании этого принципа общая сила является геометрической суммой всех сил, действующих на тело, или                                                       

 

Динамическое уравнение  движения тел из 2-го закона Ньютона имеет вид:

                                                       (1.21)

Произведение массы тела на ускорение равно векторной сумме всех действующих на это тело сил.

Поскольку , и масса тела в классической механике есть величина постоянная, соотношение (1.27) можно преобразовать к виду:

  .                                 (1.22)

Векторная величина носит название ИМПУЛЬСА (КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ) ТЕЛА.

Импульс измеряется в .

Более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе, т. е.

.                                                 (1.23)

ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА: показывает, что действие одного тела на другое носит взаимный характер, т.е.   Силы, с которыми действуют друг на друга тела, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль одной прямой

,                                             (1.24)

где – сила, с которой первое тело действует на второе, а – сила, с которой второе тело в свою очередь оказывает действие на первое тело.

Эти  силы

• приложены  к  разным  материальным   точкам   (телам), 
• всегда действуют парами и
• являются силами одной природы.

Третий   закон   Ньютона   позволяет   перейти   от   динамики   отдельной материальной  точки  к  динамике  произвольной  системы  материальных  точек, поскольку    позволяет    свести    любое    взаимодействие к    силам    парного взаимодействия между материальными точками.

 Одним из следствий законов  Ньютона (2-го и 3-го) является ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА:

если на систему тел не действуют внешние силы или их действие скомпенсировано, то полный импульс такой системы не изменяется

 

Система, на которую не действуют внешние силы или их действие скомпенсировано, называется ЗАМКНУТОЙ или ИЗОЛИРОВАННОЙ.

Импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

 

СИЛЫ В МЕХАНИКЕ.

Итак, характер движения тела определяется воздействием на него со стороны других тел, т.е. силой. Вид взаимодействия (т.е. природа сил) определяет в конечном итоге характер движения. В механике рассматриваются наиболее общие виды взаимодействий макроскопических тел – механические взаимодействия.

1) Силы тяготения (гравитационные силы).

В   системе отсчета связанной   с   Землей,   на   всякое   тело   массой   m действует сила:                                              

                                                                                                         (1.26)

называемая силой  тяжести  —  сила,  с  которой  тело  притягивается Землёй.   Под   действием   силы   притяжения   к   Земле   все   тела   падают   с одинаковым  ускорением  g = 9,81 м/с2 ,  называемым  ускорением свободного падения.

Сила взаимодействия, действующая между макроскопическими телами, обратно пропорциональна квадрату  расстояния между ними: Все тела притягиваются друг к другу с силой  прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (закон всемирного тяготения).