Лекция по "Механике"

                                                (1.27)

2) Силы упругости возникают в  результате  взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией. Упругая сила пропорциональна смещению  частицы  из  положения равновесия и направлена к положению равновесия: Примером  такой  силы  является  сила упругости деформации пружины при растяжении или сжатии:

                                                                                                            (1.28)

   где  k  — коэффициент  жесткости пружины,  x  – упругая  деформация.

Природа сил упругости – электромагнитная.  Атомы в твердых телах расположены таким образом, что силы отталкивания одноименных зарядов и силы притяжения разноименных уравновешивают друг друга. При смещении атомов в результате деформации электрические силы стремятся возвратить атомы в первоначальное состояние.

 

3. Силы трения.

Природа сил трения – электрическая обусловлена существованием сил взаимодействия между атомами и молекулами соприкасающихся тел.

Различают 3 вида сухого трения: трение покоя, трение скольжения и трение качения.

1. ТРЕНИЕ ПОКОЯ.

Сила трения покоя

• возникает на границе соприкасающихся тел при отсутствии относительного движения,
• направлена по касательной к поверхности соприкосновения трущихся тел в сторону противоположную внешней силе и равна ей по величине. Максимальная сила трения покоя  равна по величине  и противоположна по направлению той минимальной силе, которая способна вывести тело из состояния покоя и определяется по формуле:

                                                   (1.29)

где mо– коэффициент трения покоя, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей, N – сила нормального давления (сила реакции опоры).

 

2. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ. После преодоления максимальной силы трения покоя  возникает скольжение  одного тела  по поверхности другого:

                                                          

где   k   —  коэффициент  трения  скольжения,  зависящий  от  природы  и состояния соприкасающихся поверхностей (k<mо).;  N  — сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.

В случае сухого трения  сила трения не зависит от  площади соприкасающихся поверхностей тел

 

Динамика вращательного движения

Движение твердого тела (абсолютное твердое тело – совокупность материальных точек, не смещающихся друг относительно друга (т.е. не поддающееся деформации)), при котором две его точки А и В остаются неподвижными, называется ВРАЩЕНИЕМ (ИЛИ ВРАЩАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ) вокруг неподвижной оси.

 Неподвижная прямая АВ называется осью вращения тела. При вращении вокруг неподвижной оси все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны к ней, причем все точки тела имеют одинаковые угловые скорости, а при ускоренном движении – одинаковые угловые ускорения.

 Для характеристики внешнего механического действия на тело, приводящего к изменению вращательного движения тела, вводят понятие момента силы.

МОМЕНТОМ СИЛЫ относительно неподвижной точки  О называется физическая величина,   определяемая   векторным   произведением   радиуса-вектора  r ,  проведенного  из  точки O в  точку приложения силы, на силу F: 

                     (1.30)

Модуль   момента   силы:

                       (1.31) 

где – ПЛЕЧО СИЛЫ – длина перпендикуляра, проведенного из неподвижной точки (от неподвижной оси), на линию действия вектора .

Выражение  (1.31) можно переписать в виде:  

,                                 (1.31¢) 

Момент силы измеряется в [Н×м].

 

МОМЕНТ СИЛЫ ЯВЛЯЕТСЯ ВЕЛИЧИНОЙ ВЕКТОРНОЙ.                           перпендикулярен плоскости, построенной на векторах .

НАПРАВЛЕНИЕ вектора момента силы можно определить по правилу правого винта – при повороте винта по кратчайшему углу между векторами его поступательное движение укажет направление вектора .

 

Мерой инертности тел при поступательном движении является их масса. Инертность тел при  вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределении относительно оси вращения, поэтому при изучении вращения твердых тел пользуются понятием МОМЕНТА ИНЕРЦИИ.

Для материальной точки движущейся по окружности радиуса r с центром в точке О, МОМЕНТ ИНЕРЦИИ относительно точки О равен произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до точки О

.                                                (1.32)

Если система состоит из N материальных точек, то момент инерции системы относительно произвольно выбранной оси вращения равен

                                        (1.32¢)

где mi – масса i-ой точки, ri – расстояние до выбранной оси от i - ой точки.

 

Момент инерции тела относительно произвольной оси, параллельной оси вращения проходящей через его центр масс, определяется теоремой Штейнера:

МОМЕНТ  ИНЕРЦИИ  тела  00 относительно  произвольной  оси  0¢0¢   равен сумме  момента  его  инерции  I0  относительно  параллельной    оси,    проходящей    через    центр    масс    C тела,    и произведения  массы   m   тела  на  квадрат  расстояния   a  между осями:                                                     (1.33)

Причиной возникновения вращательного движения тел относительно неподвижной оси является отличный от нуля момент всех внешних сил. В этом случае тело начинает вращаться с угловым ускорением

,                                                    (1.34)

где – момент силы, I – момент инерции тела относительно оси вращения.

Выражение (1.34) представляет собой ОСНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ (или 2-ой закон Ньютона для вращательного дваижения): УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ, приобретаемое телом под действием момента сил, прямо пропорционально величине этого момента и обратно пропорционально моменту инерции тела.

Формулу (1.34) можно переписать в виде

.                                               (1.34¢)

Это уравнение называется ОСНОВНЫМ УРАВНЕНИЕМ динамики вращательного движения твердого тела.

 

Для характеристики вращательного движения вводится величина, которая носит название МОМЕНТА ИМПУЛЬСА.

МОМЕНТОМ ИМПУЛЬСА материальной точки относительно неподвижной точки О называется  физическая  величина, определяемая векторным произведением:            

                                  (1.35)

или

                     (1.35¢)

где l – плечо вектора импульса .

Единицей измерения L служит .

 

Момент импульса является векторной величиной,

Направление вектора определяется аналогичным образом, как и направление вектора .

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА при вращении твердого тела относительно выбранной оси есть СУММА МОМЕНТОВ ИМПУЛЬСА отдельных частей тела и равна

                                                   (1.36)

где I – момент инерции тела относительно оси вращения.

При постоянстве момента инерции  (I = Const), производная от момента импульса по времени имеет вид:

                                     (1.37)

 

Выражение (1.37) – одна из форм уравнения динамики вращательного движения твердого тела.

Как видно из уравнения (1.37), если , то  ,

откуда следует, что при этих условиях

.                                              (1.38)

Соотношение (1.38) представляет собой ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА, который гласит: момент импульса системы остается величиной постоянной, если момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю.

Т.к. , то величина    будет иметь одинаковые значения для любых интересующих нас моментов времени, т. е.:

;

или .                        (1.38¢)

Вращающееся тело может изменить свой момент инерции, изменится и его угловая скорость, но при равенстве нулю суммарного момента внешних сил величина Izω останется постоянной.

 Пример - фигурист в "волчке",  балерина и т.д. Этим законом также объясняется устойчивость:положения земной оси; продольной оси летящего артиллерийского снаряда; вертикальная устойчивость движущегося велосипедиста.

 

§3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

Изменение механического движения тела, вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно охарактеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие РАБОТЫ СИЛЫ.

При прямолинейном движении тела под действием постоянной силы работа этой силы на участке пути DS равна скалярному произведению векторов силы и перемещения:

,                                    (1.39)

где a – угол между силой и направлением перемещения.

Единица работы – джоуль (Дж): 1 Дж – работа, совершаемая силой в 1 H на пути длинной 1м.

Если работа сил определяется только начальным и конечным положением тел и не зависит от формы пути, то такие силы называются консервативными (потенциальными) (н-р: силы тяготения, упругие, т.е. все центральные силы). Неконсервативные силы называются диссипативными (н-р: силы трения, при работе таких сил происходит рассеяние (диссипация) энергии в виде тепла.) В диссипативных системах механическая энергия постепенно  уменьшается  за  счет  преобразования  в  другие  (немеханические) формы энергии.

работа при вращательном движении

При вращении относительно неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси.

При повороте тела под действием момента силы M=Fd на малый угол dj совершается элементарная работа равна

                                       (1.40)

При повороте тела на конечный угол

                                                                 (1.41)

Если М=0, то сила работы не производит

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие МОЩНОСТИ

.                                    (1.42)

Единица мощности – ватт (Вт): 1Вт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж.

При рассмотрении работы машин и механизмов часто вводится понятие СРЕДНЕЙ МОЩНОСТИ

,                                            (1.43)

отношение работы, совершаемой за промежуток времени Dt, к его продолжительности.

 

Общей мерой различных форм движения материи и взаимодействия тел является ЭНЕРГИЯ. Это скалярная физическая величина.

ЭНЕРГИЯ системы количественно характеризует процессы превращения движения в системе в результате взаимодействия частей системы как друг с другом, так и с внешними телами.(н-р: при трении соприкасающиеся тела нагреваются и механическая энергия переходит во внутреннюю)

В соответствии с различными формами процессов, протекающих при взаимодействии тел, говорят о различных формах энергии:

механической, внутренней, электромагнитной и т. д.

МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИЕЙ тела называется скалярная величина, равная МАКСИМАЛЬНОЙ РАБОТЕ, которая может быть совершена в данных условиях. Размерность энергии та же, что и размерность работы.

Различают два вида механической энергии – КИНЕТИЧЕСКАЯ и ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ.

КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИЕЙ называется механическая энергия тела массы m, связанная с перемещением тела в пространств, т.е. энергия движущегося тела.

Половина произведения массы частицы на квадрат ее скорости названа ее кинетической энергией    Кинетическая  энергия  зависит  только  от  массы  и  скорости  тела

                                                    (1.44)  

                                           (1.44¢)

Работа результирующей силы идет на приращение кинетической энергии материальной точки.

Если   A > 0,  то ,  т. е. кинетическая энергия тела возрастает, следовательно, внешние силы над телом совершают работу.

Если A<0, то , т. е. кинетическая энергия тела убывает, значит тело совершает работу.

ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ называется энергия, обусловленная взаимодействием тел друг с другом на расстоянии. Она определяется не скоростями тел, а их взаимным расположением.

Универсальной формулы для расчета потенциальной энергии нет.

Потенциальная энергия может быть введена только для поля консервативных сил, в которых работа не зависит от траектории, а только от начального и конечного положений материальной точки, то эту работу в потенциальном поле: можно записать в виде разности двух чисел: одно - Wn1 - будет зависеть от начального положения тела, второе - Wn2 - от конечного положения тела и равна убыли потенциальной энергии

.                                           (1.45)

 

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ определяется с точностью до некоторой постоянной. Примеры потенциальной энергии: энергия тела, поднятого над поверхностью Земли; энергия растянутой или сжатой пружины; энергия натянутой струны и т. п.

Например,

• энергия поднятого над поверхностью Земли тела массы m, равна

,                                                    (1.46)

где h – высота, на которую поднято тело над поверхностью Земли, g – ускорение свободного падения. За нулевой уровень выбрана потенциальная энергия тела у поверхности Земли .

• Потенциальная энергия растянутой или сжатой пружины

,                                                        (1.47)