Ознакомление с электрическими цепями синусоидального тока

Если мгновенная мощность на зажимах  пассивной цепи положительна, то такая  мощность называется мгновенной потребляемой мощностью. Если мгновенная мощность на зажимах пассивной цепи отрицательна, то такая мощность называется мгновенной выдаваемой мощностью.

Понятие мгновенной мощности позволяет  в более формализованном виде определить понятие реактивных и  активных элементов электрической  цепи. Так, реактивными элементами можно  называть такие, для которых интеграл мгновенной мощности за определенный интервал времени равен нулю.

В активных элементах электрической  цепи интеграл мгновенной мощности за определенный интервал времени является отрицательной величиной – этот элемент является источником энергии  – он выдает энергию. В пассивных  элементах цепей интеграл мгновенной мощности за определенный интервал времени положителен – этот элемент потребляет энергию.

Так как   и, следовательно, cosφ > 0, то поступающая в цепь энергия, определяемая положительной площадью кривой p(t), больше возвращаемой источнику энергии, определяемой отрицательной площадью кривой p(t).

На рис. 4 для различных интервалов времени показаны штриховой стрелкой действительное направление тока и знаками «плюс» ( + ) и «минус» ( - ) действительные направления напряжений на зажимах цепи и на всех участках.

Рис. 4. Действительное направление тока и действительные направления напряжений на зажимах цепи и на всех участках для различных интервалов времени

Стрелками с хвостовым  оперением указаны направления  потоков энергии в соответствующие  интервалы времени.

Схема на рис. 4 а соответствует интервалу времени от 0 до t₁, в течение которого ток возрастает от нуля до максимального значения. В это время энергия запасается в катушке. Так как напряжение на конденсаторе по своему абсолютному значению падает, то энергия электрического поля, запасенная в конденсаторе, возвращается и переходит в энергию магнитного поля катушки. В данном случае  и p_L > p_C, поэтому в катушку поступает дополнительная энергия из источника, питающего цепь. Питающий цепь источник покрывает также энергию, поглощаемую сопротивлением r.

Схема на рис. 4 б соответствует интервалу времени от t₁ до t₂. Ток i в этом интервале времени убывает, и энергия возвращается из магнитного поля катушки, частично поступая в конденсатор, который при этом заряжается, и частично превращаясь в теплоту на участке с сопротивлением r. В этом интервале времени ток имеет еще достаточно большое значение и, соответственно, значительна мощность . Поэтому источник, так же как и в предыдущем интервале времени, посылает энергию в цепь, частично компенсирующую потери в участке с сопротивлением r. Момент t₂ характерен тем, что величина  уменьшилась настолько, что скорость уменьшения энергии в катушке обусловливает скорость поступления энергии в конденсатор и на участок с сопротивлением r. В этот момент мощность на зажимах всей цепи равна нулю (р = 0).

Схема на рис. 4 в соответствует следующему интервалу времени от t₂ до t₃, в течение которого ток уменьшается от значения при t = t₂ до нуля. В этот промежуток времени энергия продолжает возвращаться из катушки, поступая в конденсатор, на участок с сопротивлением r и в источник, подключенный к зажимам цепи. В этот интервал времени p< 0.

Весь рассмотренный  интервал  соответствует половине периода тока (Т/2). В нем полностью завершается один цикл колебания энергии, так как период мгновенной мощности в два раза меньше периода тока. В следующую половину периода изменения тока энергетический процесс повторяется и только действительные направления тока и всех напряжений меняются на противоположные.

 

 

Раздел 3. Анализ и методы расчета электрических  цепей

     3.1 Законы Кирхгофа

Основными законами, используемыми  для анализа и расчёта электрических  цепей, являются первый и второй законы Кирхгофа.

 Первый  закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать. Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

При этом токи, направленные от узла, следует брать со знаком плюс, а токи, направленные к узлу,- со знаком минус.

Второй закон  Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Изменение потенциала между двумя точками участка цепи характеризуется разностью потенциалов, которую можно измерить вольтметром. В электротехнике разность потенциалов между двумя любыми точками цепи принято называть напряжением. Поэтому согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю:

При составлении уравнений  по второму закону Кирхгофа слагаемые  берут со знаком плюс в случае, когда  направление обхода контура совпадает  с направлением соответственно напряжения, тока или э.д.с., в противном случае берут со знаком минус.

Рекомендуется следующий порядок составления уравнений по законам Кирхгофа: определяют число ветвей, узлов и независимых контуров, устанавливают число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа, остальные уравнения составляют по второму закону Кирхгофа.

Для определения неизвестных  токов в ветвях необходимо составить  уравнения по первому второму  закону Кирхгофа, количество которых  должно быть равно количеству неизвестных  токов. По первому закону Кирхгофа можно  составить y-1 независимых уравнений, где y- количество узлов цепи. Использовать все y уравнений невозможно, так как одно из них обязательно будет зависимым.

Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, должно быть равно количеству независимых  контуров. Независимым называют контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь.

Если в результате решения этих уравнений получатся  отрицательные значения токов, то это  означает, что истинные направления  токов в ветвях цепи противоположны тем направлениям, для которых  составлялись уравнения.

 

3.2 Метод контурных  токов

 

 Сложную электрическую  цепь, содержащую несколько активных  и пассивных элементов и имеющую  много узлов и контуров, рассчитать  с помощью первого и второго  законов Кирхгофа будет довольно  трудно, так как будет связано  с решением большого количества уравнений. Вводя понятие о контурных токах, можно свести уравнения, составленные по законам Кирхгофа, к системе уравнений, составленных лишь для независимых контуров, т. е. исключить уравнения, составляемые по первому закону Кирхгофа. Благодаря этому удаётся снизить порядок системы уравнений. Под контурными токами понимают условные (расчётные) токи, замыкающиеся в соответствующих контурах. На основе составленных уравнений выписывается матрица вида Здесь квадратная матрица коэффициентов при неизвестных контурных токах; матрица- столбец неизвестных контурных токов; матрица- столбец известных контурных э.д.с. Диагональные элементы матрицы , называемые контурными сопротивлениями или собственными сопротивлениями контуров, равны сумме сопротивлений всех элементов, входящих в контур. Остальные элементы матрицы равны сопротивлениям общих ветвей смежных контуров и имеют знак минус. Если какие-либо контуры не имеют общих ветвей, то соответствующие элементы матрицы равны нулю. Решением уравнения будет , где - матрица, обратная матрице коэффициентов .

 

3.3 Принцип суперпозиции

 

Применяя принцип суперпозиции можно найти ток любой ветви  или напряжение любого участка электрической  цепи как алгебраическую сумму частичных  токов или напряжений, вызываемых отдельным действием источников э.д.с. и тока. С помощью принципа суперпозиции (наложения) расчёт сложной цепи с несколькими источниками э.д.с. и тока можно свести к расчёту нескольких цепей с одним источником.

Для определения токов  в цепи вначале полагают, что в  ней действует только один источник э.д.с. (например ). При этом сопротивления всех элементов считают неизменными. Определяют частичные токи от действия этого источника. Далее проводят расчёт частичных токов от действия другого источника э.д.с. и т. д. рассматривая каждый следующий источник в отдельности и находя частичные токи от их действия. Алгебраическое суммирование частичных токов с учётом их направлений даёт значения действительных токов ветвей.

Метод расчёта электрических  цепей с использованием принципа суперпозиции является довольно громоздким и поэтому применяется редко. Он целесообразен тогда, когда электрическое состояние цепи определено для каких либо источников э.д.с. и токов и требуется проанализировать электрическое состояние цепи при изменении э.д.с. или тока одного из источников. В этом случае нет необходимости вновь рассчитывать значения токов и напряжений от действия всех источников, а достаточно определить лишь частичные токи и напряжения от действия дополнительной э.д.с. или дополнительного тока источника, а также токи и напряжения от действия нового источника как алгебраическую сумму прежних и частичных токов и напряжений.

 

3.4 Метод межузлового  напряжения

 

В реальных электрических  цепях очень часто несколько  источников и приёмников электрической энергии включаются параллельно. Схема замещения такой цепи, содержащей активные и пассивные ветви, соединённые параллельно, имеет только два узла, например узлы А и В. Для определения токов во всех ветвях достаточно найти напряжение между двумя узлами. Формулу для этого напряжения можно получить, используя принцип суперпозиции.

Частичное напряжение от действия источника тока J можно определить исходя из того, что ток J равен сумме токов всех ветвей. Далее необходимо определить частичные напряжения от действия каждого источника э.д.с. в отдельности. Таким образом, если схема содержит k источников тока и m источников э.д.с., то напряжение между узлами равно алгебраической сумме всех частичных напряжений, т.е.

Произведения  и берут со знаком плюс, когда направление Е и J противоположны выбранному условно-положительному направлению межузлового напряжения и со знаком минус, когда эти направления совпадают.

Зная межузловое напряжение, легко можно найти токи как в пассивных, так и в активных ветвях.

 

Раздел 4. Цепи синусоидального тока и фазовые соотношения между их напряжением и током, элементы R,L,C

Пусть через каждый элемент  протекает синусоидальный ток, описываемый  законом: 

 

Электрическая схема последовательного соединения представлена на рис. 5

 

Рис. 5. Электрическая схема последовательного RLC соединения

 

Тогда, согласно компонентным уравнениям и с учетом синусоидальности тока получаем:

 

;

;

.

 

Напряжения на элементах  в цепи синусоидального тока так  же синусоидальны и имеют ту же частоту, но другие амплитуды и начальные  фазы. Учитывая стандартную запись напряжения , получаем табл. 1:

 

 

Таблица 1

Напряжение и частота синусоидального тока на R,L,C -элементах

R	L	C

 

Напряжение на сопротивлении  совпадает с током по фазе, напряжение на емкости отстает от тока на 90⁰, напряжение на индуктивности опережает ток на 90⁰. Определим мгновенную и активную мощности на каждом элементе:

 

;

;

.

 

На рис. 6 можем пронаблюдать поведение тока, напряжения и мощности на каждом элементе в отдельности:

 

а)

б)

 

в)

Рис. 6 - Диаграмма изменения мгновенных значений напряжения, тока и мощности для а) сопротивления R, б) индуктивности L, в) емкости С.

 

Таким образом, мгновенная мощность во всех элементах изменяется с двойной частотой тока. Однако мгновенная мощность в сопротивлении R содержит еще постоянную составляющую, поэтому активная мощность получается больше нуля. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют: половину периода мощность поступает от внешней цепи, а во вторую половину периода эти элементы отдают мощность во внешнюю цепь. В те моменты времени, когда индуктивность потребляет активную мощность, емкость генерирует её и наоборот.

Так как сопротивление R потребляет активную мощность, то его называют активным сопротивлением. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют, поэтому их называют реактивными сопротивлениями и обозначают соответственно [Oм] и [Oм].(Рис. 7)

Рис.7 - Зависимость индуктивного и емкостного сопротивления от угловой частоты ω.

 

Для расчета режима в  цепи синусоидального тока можно  записать систему уравнений по законам  Кирхгофа, используя полученные соотношения между напряжением и током на элементах. Это будет система тригонометрических уравнений. Уравнения будут содержать синусоиды различной амплитуды и начальной фазы и необходимо проводить много тригонометрических преобразований, что не всегда удобно. Поэтому разработан специальный метод анализа режимов цепей синусоидального тока - метод комплексных величин или символический метод, но это уже отдельная тема.

Комплексы амплитуд напряжения и тока на элементах R,L,C связаны между собой.