Применение закона сохранения полной механической энергии в теории колебаний

    Содержание.

Введение…………………………………………………………………………..3

1. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки………..4

2. Закон сохранения полной механической энергии материальной точки…....6

3. Теорема об изменении кинетической энергии системы……………………..8

4. Закон сохранения полной механической энергии системы………………..10

5. Изложение динамики колебаний в курсе общей физики…………………..11

6. Изложение динамики колебаний с помощью закона сохранения полной

    механической  энергии в курсе общей физики………………………………16                   

7. Решение задач с использованием закона сохранения полной механической

   энергии  в курсе общей физики………………………………………………..21

Заключение……………………………………………………………………...29

Литература………………………………………………………………….…..30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение.

    Законы  сохранения с научной и методологической точки зрения характеризуются такими фундаментальными характеристиками как  общность и универсальность. Благодаря  им в современной физике получили обоснование различные явления  и процессы, имеющие принципиальное значение.

    Закон сохранения полной механической энергии  вытекает из однородности времени и  является одним из важнейших законов  природы. Он свидетельствует о том, что движение материи несотворимо  и неуничтожимо: оно может лишь переходить из одних форм в другие.

    Проанализировав литературу, включающую учебники и  сборники задач по общей физике, я сделала вывод, что закон  сохранения полной механической энергии  практически не используется при  решении целого ряда задач. Но, по-моему, мнению, многие задачи не просто могут, но и должны быть решены с помощью закон сохранения полной механической энергии, для более полного осмысления происходящих в рассматриваемой задаче процессов. Поэтому тема работы является актуальной.

    Предмет исследования: закон сохранения полной механической энергии теории колебаний.

    Цель  работы: применение и оценка закона сохранения полной механической энергии в теории колебаний в курсе общей и теоретической физики.

    Для достижения цели были поставлены следующие  задачи:

1. выяснение условий выполнения данного закона;
2. применение закона при решении задач на колебания в курсе общей сохранения полной механической энергии физики.

 
 
 

1. Теорема об изменении  кинетической энергии  материальной точки.

    Найдем  связь между работой сил, приложенных  к материальной точке, и изменением скорости точки. Для этого воспользуется основным уравнением динамики

    

,

где – равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке. Умножим обе части этого равенства скалярно на дифференциал радиус- вектора  :

     .                                             (1)     

    В правой части стоит элементарная работа равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке; левую часть можно представить в следующей форме:

    

;

при этом учтено, что скалярный квадрат  вектора равен квадрату его модуля . Теперь равенство (1) примет вид

     .                                           (2)

    Половина  произведения массы точки на квадрат  её скорости называется кинетической энергией материальной точки

     .                                              (3)

    Уравнение (2) даёт дифференциальную связь между кинетической энергией и элементарной работой: полный дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе всех действующих на эту точку сил.

    Будем рассматривать все члены, входящие в равенство (2), как функции времени  t. Тогда, преобразовав  и разделив обе части равенства (2) на , получим

                                        ,                                             (4) 

т. е, полная производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна суммарной мощности всех действующих на точку сил.

    Пусть теперь материальная точка М перемещается по кривой ВС от положения М₁ до положения М₂. обозначим через v₁ и v₂ скорость точки М в положениях М₁ и М ₂ соответственно и проинтегрируем  обе части равенства (2) по кривой М₁М₂:

    

.

    Правая  часть этого равенства равна  работе А_1,2 силы F на пути М₁М₂; при вычислении левой части следует иметь в виду, что криволинейный интеграл от полного дифференциала некоторой функции равен самой функции. Таким образом, будем иметь

          ,                                       (5)

т.е. изменение  кинетической энергии материальной точки, при переходе её из начального в конечное положение равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Закон сохранения полной механической энергии материальной точки.

    Предположим что все силы, действующие на материальную точку, потенциальны. Тогда элементарная работа сил, приложенных к точке, будет и равенство (2) примет вид

    

.

    Интегрируя  обе части этого равенства, найдем

     ,                                                (6)

где h-постоянная интегрирования (она называется постоянной энергии).

    Равенство (6) называется интегралом энергии. Интеграл энергии показывает, что при движении точки в потенциальном поле сил сумма кинетической и потенциальной энергии (полная механическая энергия) есть величина постоянная (закон сохранения механической энергии).

    Равенству (6) можно придать и такой вид:

     ,                                          (7)

где T₁ и T₂, П₁ и П₂ –значения кинетической и потенциальной энергии в положениях М₁ и М₂  соответственно.

    Интеграл  энергии (6) справедлив при условии, что все силы, действующие на материальную точку, потенциальны. Если хотя бы одна сила не потенциальна, то равенство (7) будет нарушено. Рассмотрим, какое влияние оказывают силы сопротивления на полную механическую энергию. Итак, будем считать, что на материальную точку действуют потенциальные силы и силы сопротивления F_c. Относительно последних мы не будем делать никаких ограничений. Единственное предположение состоит в том, что сила сопротивления всегда направлена противоположно скорости точки.

    Элементарная  работа потенциальной силы F равна –dП, а элементарная работа силы сопротивления будет F_c·dr. Равенство (2) принимает вид

    

.

    Перегруппируем  члены, разделим обе части равенство  на dt и учтём, что dr/dt=v    

    

.

    Угол  между силой сопротивления F_c и скоростью v равен 180⁰; скалярное произведение . Следовательно,

     .                                        (8)

    Так как производная по времени отрицательная, то полная механическая энергия под действием сил сопротивления убывает или рассеивается, переходя, конечно, в другие формы энергии, например в тепловую.

    Модуль  мощности силы сопротивления может служить мерой убывания полной механической энергии. Если модуль силы сопротивления равен , то

    

.

    Величина  называется диссипативной функцией Релея, удвоенная величина которой в данном случае служит мерой рассеивания (диссипации) энергии. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Теорема об изменении  кинетической энергии  механической системы.

    Рассмотрим  механическую систему из n точек. Рассмотрим точку М_к.

Обозначим через  и равнодействующие всех внешних и внутренних сил, приложенных к материальной точке M_k системы. Рассмотрим два момента времени: начальный t₀ и текущий t. Пусть модуль скорости точки M_k в момент времени t₀ равняется , а в момент времени t - . Тогда для каждой точки материальной системы будет справедлива теорема об изменении кинетической энергии:

    

,

где и - работа сил и на действительном перемещении точки  М_к.

складывая почленно все равенства, получим 

    

,

или преобразовав, получим:

     ,                                                (9)

где Т₀ – начальное значение кинетической энергии, а и – работа всех внешних и внутренних сил системы.

    Равенство (9) представляет математическую запись теоремы об изменении кинетической энергии материальной системы: изменение кинетической энергии материальной системы при переходе её из начального в текущее положение равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил, приложенных к точкам системы.

    Продифференцируем равенство (9) по времени:

    

.

    Учитывая, что производная от работы по времени равна мощности N_k силы F_k , получим

    

.

    Это уравнение представляет собой аналитическую  запись теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме: полная производная кинетической энергии по времени равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Закон сохранения  полной механической  энергии системы.

    Из  теоремы об изменении кинетической энергии материальной системы вытекает закон сохранения полной механической энергии.

    Предположим что все силы, действующие на систему, консервативны. Пусть система под  действием этих сил перешла из начального в некоторое текущее  положение, обозначим значение кинетической энергии системы в начальном  положении через Т₀, а в рассматриваемый через Т. Применим к этой системе теорему о конечном изменении кинетической энергии:

    

.

    Так как по условию силы, действующие  на систему, консервативны, то будет  справедливо равенство

    

,

где П₀ и П – значения потенциальной энергии в начальном и конечном положениях.

    Тогда будем иметь первый интеграл

    

,

или

      ,                                                 (10)