Применение закона сохранения полной механической энергии в теории колебаний

где постоянная равна начальному значению полной механической энергии.

    Уравнение (10) называется интегралом энергии и  оно выражает закон сохранения полной механической энергии системы: если система движется под действием одних консервативных сил, то сумма кинетической и потенциальной энергии сохраняет постоянное значение.  
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Изложение динамики колебаний в курсе общей физики.

     а) пружинный маятник.

    Пружинным маятником называют колеблющуюся систему, состоящую из груза массой т, подвешенного на пружине.

    

    На  рисунке а) изображена недеформированная пружина, ℓ₀ — длина недеформированной пружины; на рисунке в) груз изображён в положении равновесия, для которого выполняется равенство:

     ,                                            (1) 

где: λ_ст — статическое удлинение пружины,

    В произвольном положении на рисунке  с) на груз действует сила тяжести  mg и сила упругости,  равная: . Ось х направим в сторону удлинения пружины. Начало координат O поместим в положении статического равновесия груза. Запишем для груза второй закон Ньютона в проекции на ось х:

     .                                  (2)

    С учётом равенства (1) уравнение примет вид:

    

,

    или, обозначив  , получим:

    

    Уравнение (2) - дифференциальное уравнение гармонических  колебаний пружинного маятника, - собственная   циклическая   частота колебаний маятника. Решение уравнения (2) имеет следующий вид:

    

,

    где А- амплитуда колебаний,

          φ₀- начальная фаза.

     -период колебаний пружинного  маятника.

    Эти формулы выполняются только тогда, когда справедлив закон Гука, то есть деформация пружины должна быть упругой.

    Упругая сила F-обладает свойствами:

1. она пропорциональна смещению груза от положения равновесия;
2. она всегда направлена к положению равновесия:

    

.

    Может оказаться,  что сила  другой  физической природы обладает такими  же свойствами. Такие силы называются квазиупругимим.

    Для того чтобы сообщить системе смещение х, необходимо совершить работу против силы упругости:

    

.

    Эта работа идет на создание запаса потенциальной  энергии пружинного маятника.

    б) физический маятник. 

    Физическим  маятником  называется  твёрдое тело,  совершающее  под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса О, не проходящей через центр масс этого тела.

    Запишем для физического маятника второй закон Ньютона для вращательного движения:

    

,

где J-момент инерции тела относительно оси подвеса,      

              - угловое ускорение.

При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент М, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен:

    

где а — расстояние между точкой подвеса О и центром масс С маятника.

    Знак  «минус» вращательный момент имеет  потому, что он стремится вернуть   маятник   в   положение   равновесия   и,   имея   такое   направление, аналогичен в этом отношении квазиупругой силе.

итак:

    

,

тогда:

    

.

    Рассмотрим  малые колебания физического  маятника, то есть случай, когда  :

    

,

и обозначив, , получим:

     ,                                             (3)

где - циклическая частота колебаний физического маятника.

    Период  колебания такого маятника равен:

    

.

    Решение уравнения (3) имеет вид:

    

,

где -амплитуда колебаний маятника,

      -начальная фаза колебаний.

    в) математический маятник.

    Математическим  маятником называют идеализированную систему, состоящую из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити длиной ℓ и колеблющейся под действием силы тяжести.

     Математический маятник можно  считать частным случаем физического маятника. Возвращающей силой здесь является составляющая , равная:

    

                                                  

 При малых колебаниях .

Учитывая,      что направления смещения и возвращающей силы противоположны, получим:

     ,                                                  (4)

где: х — абсолютное значение смещения маятника из положения равновесия. По второму закону Ньютона можно записать с учётом формулы (4):

    

,

или

    

.

    Обозначая, получим дифференциальное уравнение малых колебаний математического маятника:

    

,

    Где - собственная циклическая частота колебаний данного маятника.

    Период  его колебаний равен:

    

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    6. Изложение динамики колебаний с помощью закона сохранения полной механической энергии.

     а)  пружинный маятник.

    Рассмотрим  систему, состоящую из шарика массой т, подвешенного на пружине жёсткостью k. 

    

ℓ₀-длинна недеформированной пружины,

λ_ст - статическое удлинение пружины,

    На  шарик действуют потенциальные силы: сила  тяжести и сила упругости.

      При движении тела под действием потенциальных сил выполняется закон сохранения полной механической энергии:

    

.

    Определим полную механическую энергию  шарика в произвольный момент времени:

    

.

    Кинетическая  энергия шарика равна:

    

,

где: х — координата шарика.

    Выберем нулевой уровень потенциальной  энергии для силы тяжести в  положении равновесия О. Тогда потенциальная энергия для силы тяжести и силы упругости в произвольном положении равна:

    

.

тогда:

     .                        (1)

    Продифференцируем обе части уравнения (1) по времени t :

    

.

или

    

.

    Так как в положении равновесия справедливо  равенство: , то имеем:

     .                                                (2)

    Выражение (2) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний пружинного маятника.

    Обозначив , получим:

     .                                             (3)

      Уравнение (3) тождественно уравнению (2). Решение этого уравнения имеет вид:

    

,

где А - амплитуда колебаний,

       φ₀ - начальная фаза.

     -частота колебаний.

    Период  колебаний данного маятника равен:

    

. 

    б) физический маятник.

             Физический маятник колеблется  под действием силы тяжести,  которая является потенциальной. Поэтому для него выполняется закон сохранения полной механической энергии.

Выберем нулевой уровень  потенциальной  энергии для силы тяжести на уровне точки подвеса О. Тогда:

      ,        ,      .

Кинетическая  энергия маятника равна:

    

,

где J – момент инерции маятника относительно       оси инерции подвеса.

                                           –угловая скорость вращения.

    Запишем закон сохранения полной механической энергии для маятника:

    

,

или:

     .                                (4)

    Продифференцируем обе части уравнения (4) по времени  t:

    

,

или

     ,                                             (5)

    Обозначим , тогда:

     .                                               (5^*)

    Уравнения   (5)   и   (5^*)   являются   дифференциальными   уравнениями гармонических колебаний физического маятника. Решение этого уравнения имеет вид:

    

,

где -амплитуда колебаний маятника,

      -начальная фаза колебаний.

    Зная  что, получим период колебаний данного маятника

    

.

    в) математический маятник.

    Математический    маятник    совершает    колебания    под    действием потенциальной силы — силы тяжести.

Запишем закон сохранения полной механической энергии: