Формирование и развитие основных понятий геометрической оптики в курсе физики

Через пять лет после Планка вышла работа немецкого физика Эйнштейна о фотоэффекте. Эйнштейн считал:

- свет, еще не вступивший во взаимодействие с веществом, имеет зернистую структуру;

- структурным элементом дискретного светового излучения является фотон.

В 1913 г. датский физик Н. Бор опубликовал теорию атома, в которой объединил теорию квантов Планка-Эйнштейна с картиной ядерного строения атома.

Таким образом, появилась новая квантовая теория света, родившаяся на базе корпускулярной теории Ньютона. В роли корпускулы выступает квант.

 

Основные положения

- Свет испускается, распространяется и поглощается дискретными порциями - квантами.

- Квант света - фотон несет энергию, пропорциональную частоте той волны, с помощью которой он описывается электромагнитной теорией E=hn.

- Фотон, имеет массу ( ), импульс и момент количества движения ( ).

- Фотон, как частица, существует только в движении скорость которого - это скорость распространения света в данной среде.

- При всех взаимодействиях, в которых участвует фотон, справедливы общие законы сохранения энергии и импульса.

- Электрон в атоме может находиться только в некоторых дискретных устойчивых стационарных состояниях. Находясь в стационарных состояниях, атом не излучает энергию.

- При переходе из одного стационарного состояния в другое атом излучает (поглощает) фотон с частотой , (где Е1 и Е2 - энергии начального и конечного состояния).

С возникновением квантовой теории выяснилось, что корпускулярные и волновые свойства являются лишь двумя сторонами, двумя взаимосвязанными проявлениями сущности света. Они не отражают диалектическое единство дискретности и континуальности материи, выражающейся в одновременном проявлении волновых и корпускулярных свойств. Один и тот же процесс излучения может быть описан, как с помощью математического аппарата для волн, распространяющихся в пространстве и во времени, так и с помощью статистических методов предсказания появления частиц в данном месте и в данное время. Обе эти модели могут быть использованы одновременно, и в зависимости от условий предпочтение отдается одной из них [2].

Достижения последних лет в области оптики оказались возможными благодаря развитию, как квантовой физики, так и волновой оптики. В наши дни теория света продолжает развиваться.

 

§1.2 Волновые свойства света и геометрическая оптика.

 

Оптика - раздел физики, изучающий свойства и физическую природу света, а также его взаимодействие с веществом.

Простейшие оптические явления, например возникновение теней и получение изображений в оптических приборах, могут быть понятны в рамках геометрической оптики, которая оперирует понятием отдельных световых лучей, подчиняющихся известным законам преломления и отражения и независимых друг от друга. Для понимания более сложных явлений нужна физическая оптика, рассматривающая эти явления в связи с физической природой света. Физическая оптика позволяет вывести  все законы геометрической оптики и установить границы их применимости. Без знания этих границ формальное применение законов геометрической оптики может в конкретных случаях привести к результатам, противоречащим наблюдаемым явлениям. Поэтому нельзя ограничиваться формальным построением геометрической оптики, а необходимо смотреть на нее как на раздел физической оптики [3].

Понятие светового луча можно получить из рассмотрения реального светового пучка в однородной среде, из которого при помощи диафрагмы выделяется узкий параллельный пучок. Чем меньше диаметр этих отверстий, тем уже выделяемый пучок, и в пределе, переходя к отверстиям сколь угодно малым, можно казалось бы получить световой луч как прямую линию. Но подобный процесс выделения сколь угодно узкого пучка (луча) невозможен вследствие явления дифракции. Неизбежное  угловое расширение реального светового пучка, пропущенного через диафрагму диаметра D, определяется углом дифракции j~l/D. Только в предельном случае, когда l=0, подобное расширение не имело бы места, и можно было бы говорить о луче как о геометрической линии, направление которой определяет направление распространения световой энергии [4].

Таким образом, световой луч - это абстрактное математическое понятие, а геометрическая оптика является приближенным предельным случаем, в который переходит волновая оптика, когда длина световой волны стремится к нулю.

Чтобы показать это, среду, в которой распространяется свет надо считать прозрачной и однородной. Предполагая сначала, что она изотропна, нужно исключить из уравнений Максвелла (1.1) и (1.2) вектор Н.

  (1.1)      (1.2)

где Н - напряженность магнитного поля, Е - напряженность электрического поля, В - магнитная индукция, D - электрическое смещение.

Для того, чтобы исключить вектор Н, следует уравнение (1.1) продифференцировать по t, а от обеих частей уравнения (1.2) взять операцию rot, воспользовавшись при этом векторной формулой

rot rot E=grad div E-DE    (1.3)

где D - оператор Лапласа в прямоугольной системе координат, т. е.

   (1.4)

Из полученных соотношений легко исключить Н. В результате получиться:

     (1.5)

где V определяется выражением

      (1.6)

Уравнение (1.5) называется волновым. Такому же уравнению удовлетворяет вектор Н [3].

Для неоднородных сред уравнение (1.5) усложняется. Но если интересоваться только интенсивностью волн, отвлекаясь от их поляризации, то оказывается, что в предельном случае геометрической оптики уравнение (1.5) приводит к правильным результатам. Поэтому даже в случае неоднородных сред предельный переход к геометрической оптике можно выполнить на основе волнового уравнения

     (1.7)

в котором Е означает длину вектора Е, а скорость V считается известной функцией координат. Результаты такого метода применимы не только к световым, но и ко всем другим волнам, например акустическим.

Условием применимости геометрической оптики является малость изменения амплитуды волны и ее первых пространственных производных на протяжении длины волны. Систему уравнений геометрической оптики составляют уравнения

(gradФ)2=n2,     (1.8)

aDФ+2grada gradФ=0,    (1.9)

где a - амплитуда, Ф - эйконал, а уравнение (1.8) - уравнение эйконала, которое определяет скорость распространения волнового фронта в направлении нормали.

В том случае, если условие применимости не соблюдается, могут возникать заметные отступления от геометрической оптики. Это происходит, например, в следующих случаях: 1) на границе геометрической тени; 2) вблизи фокуса, т. е. геометрической точки схождения лучей; 3) при распространении света в среде с резко меняющимися показателем преломления (в мутной среде); 4) при распространении света в сильно поглощающих средах (например, металлах)

 

§1.3 Основные понятия и законы геометрической оптики и их развитие в курсе физики средней школы.

 

1. Излучение в пространстве или в прозрачной однородной среде можно характеризовать  интенсивностью, спектральным составом и поляризацией. Конечной энергией могут обладать лучи, направления которых заполняют конечные телесные углы, величина этих углов может быть очень малой.

В поле излучения находится произвольная малая площадка dS. Линейные размеры этой площадки должны быть велики по сравнению с длинами волн излучения, чтобы к излучению можно было применять понятия и законы геометрической оптики. Через площадку dS проходят лучи, заполняющие некоторый телесный угол W. Энергия переносимая этими лучами в единицу времени, называется лучистым потоком Ф, проходящим через площадку dS в телесный угол W. Если телесный угол dW бесконечно мал, а площадка dS перпендикулярна к его оси, то лучистый поток можно представить в виде:

dФ=IdSdW      (1.10)

Величина  I - лучистый поток, отнесенный к единичной площадке, перпендикулярной к излучению, и к единице телесного угла. Она называется интенсивностью лучистого потока или лучистым излучением в направлении оси телесного угла dW [3].

2. Объемной плотностью лучистой энергии называется энергия, содержащаяся в единице объема пространства V лучей с телесным углом dW при вершине.

Полная плотность лучистой энергии U определяется выражением:

U=4pI/V      (1.11)

где V - скорость распространения излучения.

 

 

 

Рис. 1.3.1 Малый конус V

 

3. Величины Ф, I, U можно подвергнуть спектральному разложению по частотам или длинам волн. Каждое излучение, обладающее конечной энергией, занимает конечный интервал частот или длин волн.

Все приведенные энергетические характеристики излучения измеряются в механических единицах, например по произвольному или тепловому действию. Так, в системе СИ лучистый поток измеряется в ваттах (Вт), интенсивность излучения - в ваттах на стерадиан-квадратный метр (Вт/ср×м2), объемная плотность лучистой энергии - в джоулях на кубический метр (Дж/м3). Такие единицы применяются в теории теплового излучения, но в видимой области спектра характеризуют излучение по зрительному или световому ощущению, оцениваемому по действию света на глаз человека. Соответствующие характеристики и их единицы называются световыми, или фотометрическими.

5. Силой света источника в заданном направлении называют световой поток посылаемый им в этом направлении и отнесенный к единице телесного угла.

Единицей силы света источника в системе СИ служит кандела - это основная фотометрическая единица. Кандела (кд) - это сила света, излучаемого в направлении нормали с 1/60 см2 излучающей поверхности указанного светового эталона.

Единица светового потока - люмен (лм) - это световой поток, посылаемый источником в 1 кд внутрь телесного угла в 1 стерадиан.

Интенсивность света обратно пропорциональна квадрату расстояния до точечного источника

I=Z/r2,      (1.12)

где Z - сила света источника.

6. Световой поток, приходящийся на единицу площади освещаемой поверхности, называется освещенностью Е этой поверхности.

Пусть источник точечный, а лучи падают под углом q к нормали к освещаемой поверхности. Тогда

dФ=ZdW=ZdScosq/r2

Разделив на  площадь поверхности dS, получим :

,     (1.13)

Таким образом, освещенность, создаваемая точечным источником в отсутствие поглощения, обратно пропорциональна квадрату расстояния до него и прямо пропорциональна косинусу угла между направлением падающих лучей и нормалью к освещаемой поверхности.

Единица освещенности - люкс (лк) - освещенность, создаваемая световым потоком в 1 люмен, равномерно распределенным по площади 1 м2 [3].

7. Для протяженных источников вводится понятие яркости В. Яркость поверхности - световой поток dФ, исходящий из площадки dS в рассматриваемом направлении, отнесенный у единице телесного угла и к единице видимой величины площадки, т. е. dScosq:

    (1.14)

где dZ=dФ/dW - сила света площадки dS (рис 1.3.2). Буква В снабжена индексом q, так как яркость зависит от угла q, под которым рассматривается площадка dS.

 

 

 

Рис. 1.3.2

 

Единицей яркости является кандела на квадратный метр (кд/м2). Это яркость плоской поверхности, сила света которой в перпендикулярном направлении составляет одну канделу с каждого квадратного сантиметра.

8. Светимостью К называется полный световой поток, посылаемый единицей светящейся поверхности в одну сторону, т. е. в телесный угол W=2p. Ее единица такая же, что и единица освещенности, т. е. лм/м2. Так как световой поток с единицы поверхности в телесный угол dW равен dФ=BqcosqdW, то

   (1.15)

Для поверхностей, излучающих по закону Ламберта (т. е. поверхностная яркость не зависит от направления излучения), яркость Вq=В не зависит от угла q, поэтому

К=pВ      (1.16)

Область явлений, излучаемых оптикой обширна. Оптические явления связаны с явлениями, изучаемые в других разделах физики, а оптические методы исследования относятся к наиболее точным. Оптике на протяжении длительного времени принадлежала ведущая роль в очень многих фундаментальных исследованиях и развитии основных физических воззрений.

Изучение геометрической оптики в школе начинается обычно с изучения законов распространения, отражения и преломления света. Законы эти никак не обобщаются, границы применимости не оговариваются (например, требование однородности и изотропности среды для прямолинейного распространения света). В результате учащиеся допускают ошибки при объяснении таких явлений, как миражи.

Этих недочетов можно избежать, если в преподавании основных понятий геометрической оптики использовать принцип Ферма.

При обсуждении законов геометрической оптики с учащимися, учитель применяет принцип Ферма, который заключается в утверждении, что действительный путь распространения света из одной точки в другую есть тот путь, для прохождения которого свету требуется минимальное (или максимальное) время по сравнению с любым другим геометрическим возможным путем между теми же точками. Отсюда сразу же следует справедливость закона прямолинейного распространения света, но при условии изотропности и однородности окружающей среды [5].