Математическое моделирование как метод познания

Процесс моделирования начинается с моделирования упрощенного процесса, который с одной стороны отражает основные качественные явления, с другой стороны допускает достаточно простое математическое описание. По мере углубления исследования строятся новые модели, более детально описывающие явление. Факторы, которые считаются второстепенными на данном этапе, отбрасываются. Однако, на следующих этапах исследования, по мере усложнения модели, они могут быть включены в рассмотрение. В зависимости от цели исследования один и тот же фактор может считаться основным или второстепенным.

Математическая модель и реальный процесс не тождественны между собой. Как правило, математическая модель строится с некоторым упрощением и при некоторой идеализации. Она лишь приближенно отражает реальный объект исследования, и результаты исследования реального объекта математическими методами носят приближенный характер. Точность исследования зависит от степени адекватности модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики.

Схема построения математических моделей следующая:

1. Выделение параметра или функции, подлежащей исследованию.
2. Выбор закона, которому подчиняется эта величина.
3. Выбор области, в которой требуется изучить данное явление

4. Классификация  математических моделей

Общим свойством всех моделей является их способность отображать действительность. В зависимости от того, какими средствами, при каких условиях, по отношению к каким объектам познания это их общее свойство реализуется, возникает большое разнообразие моделей, а вместе с ним и проблема классификации моделей. В. Т. Иванов приводит следующую классификацию моделей [8]:

1. Модели прогноза или расчетные  модели без управления. Их можно  разделить на стационарные и  динамические.

Основное назначение этих моделей: зная начальное состояние и информацию о поведение на границе, дать прогноз о поведении системы во времени и в пространстве. Такие модели могут быть и стохастическими.

Как правило, модели прогнозирования  описываются алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями и неравенствами. Примерами могут служить модели распределения тепла, электрического поля, химической кинетики, гидродинамики.

2. Оптимизационные модели. Их так  же разделяют на стационарные  и динамические. Стационарные модели  используются на уровне проектирования различных технологических систем. Динамические — как на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами — технологическими, экономическими и др.

В задачах оптимизации имеется  два направления. К первому относятся детерминированные задачи. Вся входная информация в них является полностью определяемой.

Второе направление относится  к стохастическим процессам. В этих задачах некоторые параметры  носят случайный характер или  содержат элемент неопределенности. Многие задачи оптимизации автоматических устройств, например, содержат параметры в виде случайных помех с некоторыми вероятностными характеристиками.

Задачи отыскания экстремума функции  многих переменных с различными ограничениями  часто называются задачами математического программирования. Задачи математического программирования – одни из важных оптимизационных задач.

В математическом программировании выделяются следующие основные разделы [8]:

• Линейное программирование. Целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств.
• Нелинейное программирование. Целевая функция нелинейная и нелинейные ограничения.
• Выпуклое программирование. Целевая функция выпуклая и выпуклое множество, на котором решается экстремальная задача.
• Квадратичное программирование. Целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные равенства и неравенства.
• Многоэкстремальные задачи. Задачи, в которых целевая функция имеет несколько локальных экстремумов. Такие задачи представляются весьма проблемными.
• Целочисленное программирование. В подобных задачах на переменные накладываются условия целочисленности.

Как правило, к задачам математического  программирования неприменимы методы классического анализа для отыскания экстремума функции нескольких переменных.

Модели теории оптимального управления — одни из важных в оптимизационных  моделях. Математическая теория оптимального управления относится к одной  из теорий, имеющих важные практические применения, в основном, для оптимального управления процессами.

Различают три вида математических моделей теории оптимального управления [8]. К первому виду относятся дискретные модели оптимального управления. Традиционно  такие модели называют моделями динамического программирования. Широко известен метод динамического программирования Беллмана. Ко второму типу относятся модели, описываемые задачам Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Их часто называют моделями оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Третий вид моделей описывается краевыми задачами, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Такие модели называют моделями оптимального управления системами с распределенными параметрами.

3. Кибернетические модели. Этот  тип моделей используется для  анализа конфликтных ситуаций.

Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими  субъектами, в распоряжении которых  имеется несколько управляющих  параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов со своими собственными интересами.

4. Описанные выше классы моделей  не охватывают большого числа  различных ситуаций, таких, которые  могут быть полностью формализированы.  Для изучения таких процессов необходимо включение в математическую модель функционирующего «биологического» звена — человека. В таких ситуациях используется имитационное моделирование, а также методы экспертиз и информационных процедур.

 

 

Заключение

Математическое моделирование  — это мощный метод познания, позволяющий  исследовать многофакторные процессы, причем как в целом, так и вычленяя действие каждого фактора в отдельности, исследовать нереализуемые на практике процессы, планировать проведение реального эксперимента.

Огромное количество типов математических моделей позволяет использовать их в совершенно разных задачах и с совершенно разными целями. Применение математических моделей позволяет относительно легко и экономически эффективно оптимизировать, например, влияние многочисленных факторов на какой-либо процесс, более того, находить возможность управлять течением этого процесса.

Развитие возможностей математического  моделирования и алгоритмов численного анализа позволяет человеку все  глубже проникать в ранее недоступные  области знания.

Повышение эффективности математического  моделирования и численных алгоритмов сказывается и на скорости и правильности решений в различных областях науки, техники, экономики и народного  хозяйства.

Возможность постановки вычислительного  эксперимента на ЭВМ существенно ускорила процесс математизации науки и техники. Расширился круг профессий, для которых математическая грамотность становится необходимой. Благодаря возможности исследования процессов труднодоступных и недоступных для реального экспериментирования математическое моделирование все больше и больше находит свое применение в областях, казалось бы далеких от математики, естественных  и технических наук. Оно широко используется в криминалистике, в лингвистике, в социологии, и этот список можно продолжать и продолжать.

По этим причинам в настоящее  время от специалистов в различных  областях науки и техники требуется  знание многих разделов современной  математики и в первую очередь  владение методами и приемами математического  моделирования и вычислительной математики.

Вычислительная техника наших  дней представляет новые мощные средства для фактического выполнения счетной  работы. Благодаря этому во многих случаях даже стало возможным  отказаться от приближенной трактовки  прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке [9]. Это предполагает использование более глубоких специальных разделов математики в математическом моделировании и серьезное владение техникой пользования ЭВМ.

Академик Н. Н. Моисеев указывал на необходимость подготовки к эффективному использованию ЭВМ новых поколений. Он обратил внимание на то, что крупные народнохозяйственные и социально-экономические проблемы могут быть удовлетворительно решены только при условии, что своевременно будут организованы и выполнены исследования междисциплинарного характера, а ЭВМ новых поколений дают подходящую базу для организации и проведения таких исследований.

Академик А.А. Самарский в [5] говорит  о незаменимости математического  моделирования для решения важнейших  проблем научно-технического и социально-экономического прогресса, подчеркивает значение математического моделирования как методологии разработки наукоемких технологий и изделий

Но, к сожалению, как отмечает А. А. Петров в [3], те, от кого зависит распределение ресурсов, еще не осознали, что методы математического моделирования имеют большое народнохозяйственное значение и от их развития во многом зависит судьба социально-экономического и научно-технического прогресса страны. Соответственно нет материальной поддержки исследований, научные кадры не консолидируются на решении ключевых проблем, даже нет понимания, что математическое моделирование превратилось в самостоятельную отрасль науки с собственным подходом к решению проблем, хотя корни его остаются в науках о природе и обществе.

Остается надеяться, что эти  трудности временные, и математическое моделирование получит заслуженное  место и будет играть в решении  важных социально-экономических и  народно хозяйственных проблем  России ту же роль, что и во многих других странах.

 

 

Список использованных источников

1. Фролов И. Т. Гносеологические проблемы моделирования биологических систем / И. Т. Фролов. // Вопросы философии. — 1961. — № 2. — С. 39–51.

2. Кудряшев А. Ф. О математизации научного знания / А. Ф. Кудряшев. // Философские науки. — 1975. — №4 — С. 133–139.

3. Петров А. А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент / А. А. Петров. — М.: Наука, 1996. — 252 с. — ISBN 5-02-007060-2.

4. Андрюшенко М. Н., Советов Б. Я., Яковлев А. С. Философские основы моделирования сложных систем управления / М. Н. Андрюшенко, Б. Я. Советов, А. С. Яковлев. // Системный подход в технологических науках (Методологические основы): Сборник научных трудов. — 1989. — С. 67–82.

5. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — М.: Наука, 1989. — 432 c. — ISBN 5-02-013996-3.

6. Гусев В. Г. Теория и практика планирования многофакторных экспериментов: Учебное пособие / В. Г. Гусев. — Владимир: Изд-во ВлГУ, 2010. — 107 с.

7. Мах Э. Механика. Историко-критический очерк ее развития / Э. Мах. — М.: КомКнига, 2011. — 456 с. — ISBN 978-5-484-01288-6.

8. Иванов В. Т. Математическое моделирование. Модели прогнозирования / В. Т. Иванов. — Уфа, 1988. — 47 с.

9. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И. А. Марон. — М.: Лань, 2006. — 672 с. — ISBN 5-8114-0695-9.