Формирование теории хаоса

Пониманию сложной природы живого мира недоставало одного лишь предположения  о далеко не случайном характере  сложности. Истинное проникновение в глубины хаоса требовало безоговорочной веры в то, что интереснейшей чертой, например, разряда молнии является не ее направление, а скорее расположение ее зигзагов. Исследования Мандельброта претендовали на новое видение действительности, указывая на то, что различные странные формы имеют особое значение. Впадины и сплетения стоят много больше, чем классические формы Евклидовой геометрии, зачастую являясь ключом к постижению самой сущности явлений.

Поворотным пунктом в мышлении ученого стал вопрос о длинне береговой линии, заданный им в статье «Какова длина береговой линии Великобритании?». . Длина любой береговой линии, объяснял Мандельброт, в известном смысле, бесконечно велика. Если подходить с другой стороны, ответ, конечно же, будет зависеть от величины мерки. Рассмотрим один из возможных методов измерения. Топограф, вооружаясь циркулем, разводит его ножки на расстояние одного ярда и измеряет им линию побережья. Полученный результат будет приблизительным, поскольку циркуль «перешагивает» изгибы и повороты, длина которых меньше ярда. Если топограф разведет ножки не так широко, скажем на один фут, и повторит процедуру, конечный результат окажется больше предыдущего. Будет «схвачено» больше деталей. Чтобы покрыть расстояние, которое ранее измерялось одним шагом циркуля, потребуется уже более трех шагов длиной в один фут. Топограф записывает новый результат и, разведя ножки на четыре дюйма, начинает трудиться заново. Подобный мысленный эксперимент показывает, как можно получить различные результаты при изменении масштаба исследования. Наблюдатель, пытающийся измерить длину береговой линии Великобритании с космического спутника, получит менее точный результат, чем тот, то не поленится обойти все бухты и пляжи. Последний же, в свою очередь, проиграет улитке, оползающей каждый камешек. [2]

Хотя, результат каждый раз будет возрастать, он казалось бы должен стремится к некой конечной величине – истинной длине береговой линии. Иными словами, все измерения сойдутся в одной точке. Если бы линия побережья представляла собой одну из фигур Евклидовой геометрии, к примеру, круг, применение вышеописанного метода сложения отрезков прямой линии, измеренных каждый раз с большей точностью, оказалось бы успешным. Однако, Мандельброт обнаружил, что при бесконечном уменьшении меры измеряемая длина береговой линии неограниченно растет. В бухтах и на полуостровах обнаруживаются мелкие бухточки и мысики – и так влоть до размера крошечного. Лишь при достижении атомного уровня измерения подойдут к концу.

Геометрия Евклида, оперирующая  длинами, ширинами и высотами, не позволяла постичь сущность неправильных форм, и Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности, в которой ученые рассматривают гораздо больше, чем обыватели.

Сколько измерений у клубка бечевки? По мнению Мандельброта, ответ на этот вопрос зависит от уровня восприятия. С огромного расстояния клубочек представляется не более чем точкой с нулевой размерностью. Приближаясь, можно заметить, что он подобен сфере и, таким образом, характеризуется уже тремя измерениями. На еще более близком расстоянии становится различимой сама бечевка, а объект приобретает одно измерение, скрюченное таким образом, что задействуется трехмерное пространство. Вопрос о числе цифр, определяющих положение точки, остается актуальным: пока мы вдалеке, вам не нужно ни одной, поскольку мы видим лишь точку; приблизившись, мы нуждаемся уже в трех, а подойдя еще ближе, довольствуемся одной, так как любое заданное положение вдоль всей длины бечевки неповторимо, независимо от того, вытянута ли она или смотана в клубок.[4]

 

Продвигаясь далее, к более мелким, видимым только под микроскопом  деталям, обнаружим следующее: бечевка  состоит из скрученных трехмерных протяженных  объектов, а те, в свою очередь, –  из одномерных волокон, вещество которых  распадется на частицы с нулевыми измерениями. Так Мандельброт, поправ математические традиции, обратился к относительности, заявив: «Представление о том, что численный результат измерений зависит от отношения объекта к наблюдателю, вписывается в понятия современной физики и даже является их превосходной иллюстрацией».

 

Оставив в стороне философию, мы увидим, что реальные измерения объекта  оказываются отличными от его  трех земных параметров. Ахиллесовой  пятой выдвинутых Мандельбротом  аргументов оказалось то, что они основывались на слишком смутных понятиях – «издалека» и чуть ближе». А что наблюдается в промежутке? Бесспорно, провести строгую черту, по пересечении которой клубок бечевки превращается из трехмерного объекта в одномерный, невозможно. Тем не менее у рассуждений Мандельброта была и сильная сторона: неточное определение дальности перемещений заставило по-новому взглянуть на проблему размерности.

 

Мандельброт двигался от целочисленных  размерностей 0,1,2,3,… к тому, что  казалось невозможным, – к дробным  измерениям. Представление о них было столь экстравагантным, что ученые-нематематики не столько осмысливали его, сколько принимали на веру. Тем не менее, неожиданный подход оказался чрезвычайно перспективным. [4]

Дробное измерение позволяет вычислять  характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее «длины», обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных измерений объектов окружающей действительности при использовании определенной методики построения форм или некоторых заданных величин. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, что встречаются в природе. Закон гласил: степень нестабильности постоянна при различных масштабах. Справедливость этого постулата подтверждается вновь и вновь. Мир снова и снова обнаруживает устойчивую неупорядоченность.[4]

Размышляя на неким термином, который  стал бы стержнем новой геометрии Мандельброт придумал термин fractal (фрактал), который вошел как существительное и прилагательное в современный английский и французский языки.

Итак фрактал это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала - самоподобие.

Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала. Фактически все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.

Хаотический аттрактор является фракталом. Почему? В странном аттракторе, также как и во фрактале по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. [4]

К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних  выделяют бифуркации, которые изучает  теория бифуркаций.

5. Бифуркация

 

Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение периодических точек.

Обязательно необходимо отметить, что  происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации. Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум [1]

При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение Xn+1=CXn - С(Хn)2, где С - внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.

Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения. Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом (С(Хn)2).

Результатом расчетов являются следующие  выводы: - при С < 1 популяция с ростом n вымирает; - в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка была притягивающая фиксированная; - в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях.[13]

Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова  уменьшается; - при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений  (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим.

Отсюда вывод - заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса. [8]

Динамические переменные Xn принимают  значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).

Таким образом, состояние системы  в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое  воздействие может привести к  выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).[7]

Фейгенбаум установил универсальные  закономерности перехода к динамическому  хаосу при удвоении периода, которые  были экспериментально подтверждены для  широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем.

Что же такое бифуркации в обыденности? Как известно из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу.

С помощью теории бифуркаций можно  предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно  иное состояние, а также область  существования системы и оценить  ее устойчивость.

 

 

 

Заключение

 

В данной работе были отражены основные понятия теории динамического хаоса. После пионерских исследований, в буквальном смысле перевернувших научную картину мира ученых работающих со сложным нелинейными системами, произошёл целый бум исследований в этом области. На данный момент теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника. В лаборатории хаотическое поведение можно наблюдать в разных системах, например, электрические схемы, лазеры, химические реакции, динамика жидкостей и магнитно-механических устройств. В природе хаотическое поведение наблюдается в движении спутников солнечной системы, эволюции магнитного поля астрономических тел, приросте населения в экологии, динамике потенциалов в нейронах и молекулярных колебаниях. Есть сомнения о существовании динамики хаоса в тектонике плит и в экономике.

Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда  динамические системы, похожие  на модель Рикера, использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности. В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изучении эпилепсии для предсказаний приступов, учитывая первоначальное состояние организма.

 

 

 

 

Список литературы

1. James Gleick, Chaos: Making a New Science - Viking, New York, 1987.
2. Benoit B. Mandelbrot How Long Is the Coast of Britain? - Science: 156, 1967
3. Lorenz, Edward Norton Deterministic Nonperiodic Flow", Journal of Atmospheric Sciences 20(2), 1963
4. Benoit B. Mandelbrot Fractal Geometry of nature - Freeman, San Francisco, 1982
5. Пайтген Х. О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: «Мир», 1993.
6. В. И. Кувшинов, А. В. Кузьмин Калибровочные поля и теория детерминированного хаоса - Белорусская наука, 2006
7. Кузнецов А.П. Колебания, катастрофы, бифуркации, хаос – изд-во ГосУНЦ "Колледж", Саратов, 2000
8. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение - Москва, «Постмаркер», 2000
9. Рюэль Д. «Случайность и хаос». -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001
10. Кроновер Р.М. «Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории». – М: «Постмаркет», 2000
11. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М: «Наука», 2000
12. Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.
13. Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. 3-е изд. М.: УРСС, 2001.
14. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. - М.:Наука, 1990
15. Wright D.J. Dynamical Systems and Fractals Lecture Notes. - http://www.math.okstate.edu/mathdept/dynamics/lecnotes/lecnotes.html, 1996
16. А.Пуанкаре. Новые методы небесной механики - М.: Наука, 1971
17. С.П.Кузнецов. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001