Основы финансовых вычислений

Решение.  В 27 месяцах содержится 9 процентных периодов, а в 5 годах – 20 процентных периодов.

 Организация должна заплатить за этот контракт его стоимость в момент 0, эта стоимость обозначена буквой x. Очевидно, что

 

 x = 1000×(1+)-2.25×4 + (1+)-5×4 ,

 

х = 1000×1,02-9 + 3000×1,02-20 = 2855,8 руб.

 

   При покупке некоторого товара продавец может заключить с продавцом контракт, включающий различные условия авансовой оплаты, получения кредита и сроков поставки товара. Чтобы выбрать наиболее выгодный для себя контракт, покупатель должен сравнить современные ценности возможных контрактов и найти контракт с наименьшей современной ценностью. Чтобы определить современную ценность тех или иных платежей, необходимо принять какую-либо ставку сравнения, то есть ставку сложных процентов ic, по которой будет производиться дисконтирование этих платежей. В теории корпоративных финансов рассматриваются различные подходы к выбору этой ставки – это может быть и уровень ссудного процента, и уровень доходности по государственным облигациям или кредитным обязательствам и т.д.

При покупке товара покупатель делает платежи двух видов.

   Во-первых, это авансовые платежи, то есть суммы, которые он выплачивает за купленный товар в обусловленные контрактом моменты t (считая от момента заключения контракта); обозначим эти платежи Pt:

 

t (1+t)-t

Во-вторых, это платежи по погашению кредита, то есть по погашению разности между ценой товара С и авансовыми платежами:

C-t

   Современная стоимость этих платежей различна при разных условиях погашения кредита. Рассмотрим два наиболее часто встречающихся случая.

а) Кредит погашения разовым платежом в конце срока; за кредит по контракту продавец получает g% годовых. Современная ценность всех платежей по контракту на момент его заключения равна:

A=t(1+i)-t + (C-t)(1+g )N(1+i)-(T+N)         (2)

где Т – срок поставки товара; N – срок кредита, который обычно отсчитывается от момента окончания поставки товара.

б) Кредит погашается равными срочными платежами. Современная стоимость всех платежей по контракту на момент его заключения равна:

 

A=t(1+i)-t + (C-t)  (1+i)-T                      (3)

 

Пример решения задачи. Сравним два контракта.

1-й  контракт: товар стоит 20 млн руб.; делается три авансовых платежа  по 3 млн руб. каждый: первый –  в момент заключения контракта, второй – через год, третий  – еще через год. Поставка товара  производится по окончанию авансовых  платежей. Кредит дается на 6 лет, считая с момента поставки  товара под 5 % годовых, и погашается  разовым платежом в конце срока  кредита.

2-й  контракт: товар стоит 21 млн руб.; в момент заключения контракта  делается один авансовый платеж, равный 5 млн руб. Поставка производится  в момент заключения контракта. Кредит выдается на 10 лет под 5 % годовых с погашением равными  ежегодными срочными уплатами.

Сравнение контрактов произвести при ставке сравнения i = 10 %.

Решение. Найдем современную ценность каждого из контрактов. Современную стоимость первого контракта вычисляем по формуле (2)

при С = 20 млн. руб., t1 = 0, t2 = 1, t3 = 2, T = 2, N = 6, g = 5 %, P1 = P2 = P3 = 3 млн руб.;

 

A1 = 3(1+i)0+3(1+i)-1+3(1+i)-2+(20-9)(1+0.05)6(1+i)-(2+6) =

 = 3+3×1.1-1+3×1.1-2+11×1.055×1.1- 8 = 16.083 млн. руб.

   Современную стоимость второго контракта вычисляем по формуле (3) при C = 21 млн руб., t1 = 0, P1 = 5, T = 0, N = 10, g = 5 %:

 

A2 = 5(1+i)0 + (21-5) (1+i)0 = 17.732 млн. руб. 

.

   Таким образом, второй контракт менее выгоден покупателю, чем первый. Однако покупатель может его предпочесть, так как поставка товара по нему производится немедленно, а по первому контракту – с отсрочкой на два года.

Уравнение финансовой эквивалентности

Принцип финансовой эквивалентности обязательств

В финансовой практике часто возникают ситуации, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один, изменить схему начисления процентов и т. п. Изменение условий контракта основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств, который позволяет сохранить баланс интересов сторон контракта. Этот принцип предполагает неизменность финансовых отношений до и после изменения условий контракта. При изменении способов начисления процентов необходимо учитывать взаимозаменяемость между различными видами процентных ставок. Эквивалентными называются процентные ставки, которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, т. е. отношения сторон не              изменяются в рамках одной финансовой операции. При изменении условий платежей также необходимо учитывать разновременность платежей, которые производятся в ходе выполнения условий контракта до и после его изменения. Эквивалентными считаются такие платежи, которые оказываются равными после их приведения по заданной процентной ставке к одному моменту времени, либо после приведения одного из них к моменту наступления другого по заданной процентной ставке.

 Эквивалентность процентных  ставок

Для нахождения значений эквивалентных процентных ставок следует составлять уравнение эквивалентности.

Эквивалентность простой процентной и простой учетной ставок.

 Исходные уравнения для вывода эквивалентности

FV = PV (1 + n ∙ i) и FV = PV (1 – n ∙ d)– 1.

Если результаты наращения равны, то получаем уравнение

PV (1 + n ∙ i) = PV (1 – n ∙ d)– 1.

Отсюда

i = d/(1 – n ∙ d)– 1 и d = i/(1 + n ∙ i)–1.

Для одних и тех же параметров ссуды условие эквивалентности приводит к тому, что

 d < i. При этом с ростом срока финансовой операции различие между ставками увеличивается.

Пример 1. Определить простую учетную ставку, эквивалентную ставке обычных процентов 12 % годовых, при наращении за 2 года.

Решение. Параметры задачи: n = 2 года, i = 12 %.

Тогда d = 0,12/(1 + 2 ∙0,12i)–1 = 0,096 8 или 9,7 %.

Следовательно, операция, в которой принята учетная ставка 9,7 %, дает тот же финансовый результат для 2-годичного периода, что и простая ставка 12 % годовых.

Эквивалентность простой и сложной процентных ставок.

 Наращенные суммы по простой  и сложной процентным ставкам  равны 

и .

Если равны результаты наращения, то уравнение эквивалентности

= .

Отсюда

 и  .

При начислении процентов m раз в году аналогично рассуждая, получим:

 и  .

Пример 2. Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20 % годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26 % годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение. Параметры задачи: n = 4 года, m = 2, iс = 20 %, iп = 26 %. Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

 0,285 9 или 28,59 %.

Таким образом, эквивалентная сложной ставке, по первому варианту, простая процентная ставка составляет 28,59 % годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26 % годовых по второму варианту. Следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т. е. под 20 % годовых с полугодовым начислением процентов.

Пример 3. По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2 % годовых. Какую ставку годовых процентов следует назначить на ежемесячные депозиты, чтобы последовательное переоформление этих депозитов привело к такому же результату, что и использование трёхмесячного депозита, если пренебречь двумя днями, которые теряются при переоформлении депозитов (T = 360)?

Решение. Приравняем соответствующие множители наращения:

.

Отсюда получаем, что i = 0,101 1 или 10,11 %.

Эквивалентность сложной процентов и сложной учетной ставок.

 Исходные соотношения есть 

 и  .

Аналогично рассуждая, получим

 и  .

Эквивалентность интенсивности процентов в единицу времени и ставок процентов.

 Интенсивность процентов δ в единицу времени удобно использовать в теоретических расчетах и обоснованиях финансовых решений. Из соотношений эквивалентности, можно перейти от непрерывного начисления процентов к дискретному, что более приемлемо на практике. Чаще возникает необходимость в соотношениях эквивалентности непрерывной и сложной ставок. Для эквивалентных сложных ставок δ, i и d имеем:

.

Отсюда

 и  ;

 и  .

Средние величины в финансовых расчетах

Для нескольких процентных ставок их среднее значение есть эквивалентная величина. Схема простых процентов. Пусть за периоды n1, n2, …, nk начисляются простые проценты по ставкам i1, i2, …, ik. Тогда за весь срок наращения n = n1 + n2 + …+ nk средняя ставка простых процентов получается из уравнения эквивалентности . Откуда

.

Если же за время финансовой операции изменяется и величина PV, то средняя ставка простых процентов равна

.

Аналогично средняя простая учетная ставка равна

.

Средняя ставка ( ) – это взвешенная средняя арифметическая величина, дающая такое наращение, которое эквивалентно наращению с применением ряда разных по значению процентных ставок, применяемых на различных интервалах времени.

Схема сложных процентов. Пусть доходность операции с дискретно изменяющейся процентной ставкой на каждом интервале начисления была выражена через сложный процент. Уравнение эквивалентности для определения средней процентной ставки, которая равноценна последовательности ставок за весь период финансовой операции, есть

.

Отсюда

.

Следовательно, средняя сложная процентная ставка рассчитывается по формуле средней геометрической взвешенной.

Аналогично средняя сложная учетная ставка равна

.

Пример 4. Долгосрочный кредит предоставлен на 6 лет на следующих условиях: первые два года под 5 % (сложные проценты), в следующие три года ставка возрастает на 2 %, а в последний год – еще на 1 %. Определить среднюю сложную процентную ставку.

Решение. Параметры задачи: n1 = 2 года, i1 = 5 %, n2 = 3 года, i2 = 7 %, n3 = 1 год, i3 = 8 %. Срок финансовой операции равен

n = n1 + n2 + n3 = 2 + 3 + 1 = 6 лет.

Средняя ставка сложных процентов равна

= 0,064 9 или 6,49 %.

Таким образом, средняя процентная ставка по кредиту равна 6,49 %.

 

3. Срочные и непрерывные ренты.

Финансовые ренты и их классификация

 

    Поток платежей, все члены которого положительные, временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой, или аннуитетом.

   Финансовая рента имеет следующие параметры:

- член ренты (R) –  величина каждого отдельного  платежа,

- период ренты (t) – временной интервал между  двумя соседними платежами,

- срок ренты (n) –  время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода,

- процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Виды финансовых рент. Классификация рент может быть произведена по различным признакам.

В зависимости от продолжительности периода ренты делят на два вида:

- годовые – ренты  выплачиваются ежегодно, один раз  в год (p = 1), при этом период ренты t = 1 году,

- р-срочные –  выплата рент производится р  раз в году (p > 1) равными платежами R, тогда период ренты t может быть как более, так и менее года.

По числу начислений процентов m различают следующие виды рент:

- с начислением  один раз в год (m = 1),

- с начислением  т раз в год (m > 1),

- с непрерывным  начислением.

   Моменты начисления процентов могут совпадать (m = p) и не совпадать с моментами рентных платежей, тогда (m ≠ p).

По величине членов различают два вида рент:

- постоянные ренты, имеют  равные члены, когда величина каждого платежа остается неизменной во времени (R = const),

- переменные ренты –  размер платежей может быть произвольным (R = var) или изменяться по какому-либо математическому закону,

   По вероятности выплаты членов различают два вида рент:

- верные ренты подлежат  безусловной выплате, они не зависят ни от каких условий, например, погашение кредита,

- условные ренты - выплата  зависит от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от

продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты:

- ограниченные - с заранее  известным конечным числом членов,

- бесконечные (вечные ренты) – число членов ренты заранее неизвестно. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на два типа:

- немедленные – начало  действия контракта начинается сразу после его подписания,

- отложенные (отсроченные) –  начало действия контракта сдвигается на более поздние сроки.

По моменту выплаты платежей выделяется два вида рент:

- обычные (постнумерандо) - платежи  осуществляются в конце каждого периода (наиболее часто встречаются),

- авансовые (пренумерандо) - выплаты производятся в начале каждого периода.

По совпадению периода ренты с периодом начисления процентов различают ренты:

- простые – период  ренты совпадает с периодом  начисления процентов,

- общие – период  ренты и период начисления  процентов могут быть произвольными.

В финансовых соглашениях может оговариваться возможность поступления платежей и в середине каждого периода.

Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы S или современной величины ренты A.

Срочна рента

 Рента р - срочная, с начислением процентов один раз в год (m = 1).

   Когда рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года и известна R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа будет равен R/p. Тогда для получения формулы наращенной суммы при условии, что последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами рассмотрим геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,