Основы финансовых вычислений

                           

   у которой R/p - первый член, (1+i) 1/p - знаменатель, np - общее число членов.

   С учетом этого наращенная сумма такой ренты будет равна сумме членов этой геометрической прогрессии

 

                              

где

                                              

коэффициент наращения p-срочной ренты при m =1.

Пример: В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые в конце каждого года начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

m = 1,

R = 10 000 000 руб.,

p = 4,

i = 0,10 .

Найти S = ?

 Решение

Вычисления с помощью подручных вычислительных средств проведем по формуле:

 

S = (10 000 000/4) * [(1+i)n - 1]/ [(1+0,1) 1/4 - 1] =34 316 607,35 руб.

Рента р - срочная, когда число платежей совпадает с начислением процентов (р = т).

   В контрактах часто начисление процентов т и поступление платежа совпадают во времени, тогда р = m. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

                                                     

   Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год, тогда получаем:

 

                                   

 

Пример: В течение 3-x лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

p = m = 4,

R = 10 000 000 руб.,

j = 0,10 .

Найти S = ?

Решение

Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле:

 

S = 10 000 000*[(1+0,1/4) ( 4*3 ) - 1] / 0,1 = 34 488 882,42 руб.

 

Рента р - срочная, с произвольным поступлением платежей p ≥ 1, и произвольным начислением процентов m ≥ 1 (общий случай).

   Это самый общий  случай р-срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно, р ≠ т.

   Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/p года после нача- ла, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

                                        

   Второй член ренты  к концу срока возрастет до

                                   

и т.д.

   Последний член  этой записанной в обратном  порядке геометрической прогрессии  равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p, число членов nm.

   Для данного случая наращенная сумма рассчитывается по формуле:

 

                  

   Из последней формулы  легко получить все рассмотренные  выше частные случаи, задавая  соответствующие значения р и m.

Пример: В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (m=12) начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

m = 12,

R = 10 000 000 руб.,

p = 4,

j = 0,10 .

Найти S = ?

Решение

Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств. По формуле находим:

S = (10 000 000/4)*[(1+0,10/4)(3*12) -1] / [(1+0,10/4)(12/4) -1] = 34 529 637,96 руб.

 

Непрерывная рента

   Ренты, по которым платежи производятся раз в год, называются годовыми. При производстве платежей несколько раз в году (p раз) ренты называются p-срочными. Кроме того, встречаются ренты, у которых период между платежами может превышать год. Все перечисленные ренты называются дискретными. Наряду с дискретными встречаются ренты, у которых платежи производятся так часто, что их можно рассматривать как непрерывные. Они так и называются — непрерывные ренты.

 

Ренты с непрерывным начислением процентов   Процесс наращения платежей ренты-постнумерандо с непрерывным начислением процентов представлен в табл. 1.

Наращенная сумма ренты-постнумерандо с непрерывным начислением процентов будет:

, где

, – первый член и знаменатель геометрической прогрессии соответственно;

 – множитель наращения ренты-постнумерандо с непрерывным начислением процентов.

Таблица 1

Наращенные величины ренты-постнумерандо с непрерывным начислением процентов

Порядковый номер платежа	Величина платежа	Наращенная величина платежа
1
2
3
…	…	…
n-1
n

 

 

Процесс дисконтирования платежей ренты-постнумерандо с непрерывным начислением процентов представлен в табл. 2.

Таблица 2

Приведенные величины платежей ренты-постнумерандо с непрерывным начислением процентов

Порядковый номер платежа	Величина платежа	Приведенная величина платежей
1
2
3
...	…	…
n-1
n

 

Современная величина ренты-постнумерандо с непрерывным начислением процентов будет:

, – первый член и знаменатель геометрической прогрессии соответственно;

 – множитель приведения ренты-постнумерандо с непрерывным начислением процентов.

Процесс наращения платежей ренты-пренумерандо с непрерывным начислением процентов представлен в табл. 3.

Таблица 3

Наращение платежей  ренты-пренумерандо с непрерывным начислением процентов

Порядковый номер платежа	Величина платежа	Наращенная величина платежа
1
2
3
…	…	…
n-1
n

 

Наращенная сумма ренты-пренумерандо с непрерывным начислением процентов будет:

, где

, – первый член и знаменатель геометрической прогрессии соответственно.

 – множитель наращения ренты-пренумерандо с непрерывным начислением процентов.

Процесс дисконтирования платежей ренты-пренумерандо с непрерывным начислением процентов представлен в табл. 30.

Таблица 4

Дисконтированые величины платежей ренты-пренумерандо с непрерывным начислением процентов

Порядковый номер платежа	Величина платежа	Дисконтированная величина платежа
1
2
3
…	…	…
n-1
n

 

Приведенная величина ренты-пренумерандо с непрерывным начислением процентов будет:

,

где , – первый член и знаменатель геометрической прогрессии соответственно;

 – множитель приведения ренты-пренумерандо с непрерывным начислением процентов.

 

Задачи

   №13. Акционерное общество получило в банке ссуду в размере 800 тыс. руб. под 35% годовыхx на срок с 10 февраля до 10 мая (год високосный). Определить сумму денег, которую необходимо возвратить в банк 11 мая.

Решение:

Наращение по годовой ставке простых процентов осуществляется по формуле:

FV = PV(1 + r × n), (1)

где FV — будущая стоимость;

PV — первоначальная стоимость;

n — число периодов (лет);

r — процентная ставка.

Если продолжительность краткосрочной операции выражена в днях, то срок ее проведения корректируется следующим образом:

n = t / B,   (2)

где t — число дней проведения операции;

В — временная база (число календарных дней в году).

Тогда будущую стоимость операции можно определить:

 

FV=PV(1+r ×), (3)

 

Сначала нужно определить число дней использования ссуды: 10 февраля – 41-й день в году, 10 мая – 131-й день в году. Отсюда точный срок ссуды – 90 дней. Тогда, по формуле (3) находим:

 

FV=800(1+0.35× = 800×1,086065574=868.8524592≈868.86

 

Ответ: 868.86 тыс. руб. необходимо возвратить в банк 11 мая.

 

   №21. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 тыс. руб. в течении семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовыx. Определить величину фонда на конец срока.

Решение:

Величина фонда на конец срока составит:

FV=A•Кн,

Где А – величина ежегодного поступления денежных средств,

Кн – коэффициент наращения рент.

Коэффициент наращения ренты равен:

 

Кн= ,

 

Где r – ставка процентов;

N – число лет.

 

Кн= =11,067

 

Т. е. коэффициент наращения равен 11,067.

Величина фонда на конец срока составит:

FV=A•Кн,

FV=10•11,067=110,668 тыс. руб.

Ответ:  на конец срока величина фонда составит 110,668 тыс. руб.

 

Список использованной литературы.

1. Медведев Г.А. Начальный курс финансовой математики.  М.: Остожье, 2000.

2. Четыркин Е.М. Финансовая математика.  4-е изд. - М.: Дело, 2004.

3. Брусов П.Н. Финансовая математика/учебное  пособие. М.: КНОРУС, 2010.

4. Калашникова Т. В. Финансовый менеджмент/учебное пособие. Томск: Издательство

Томского политехнического университета, 2010

5. Меньшиков С. Рентабельность и рента / С. Меньшиков // Экономическое стратегии. - 2004

6. Багриновский К. Матюшок В.Экономико-математические метода и модели. М.: Экономистъ, 1999

7.  Лукашин Ю.П. Финансовая математика: Учебное пособие / Ю.П. Лукашин. - М.: МФПА, 2004