Анализ и синтез оптимальной системы автоматического регулирования

     

ОГЛАВЛЕНИЕ
1.    ИДЕНТИФИКАЦИЯ  ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	3
1.2  Постановка задачи  идентификации .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	3
1.3  Постановка эксперимента .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	5
1.4  Идентификация объекта  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	7
1.5  Динамические характеристики  объекта идентификации .  .  .  .  .  .  .  .	9
2.    ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО        РЕГУЛИРОВАНИЯ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	18
2.1  Постановка задачи  оптимизации .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	18
2.2  Динамические характеристики объекта управления .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	21
2.3  Амплитудная частотная  характеристика САР .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	25
2.4  Спектральная плотность  сигнала возмущения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	26
2.5  Оптимизация САР  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	28
2.6  Оценка качества  переходного процесса САР .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	32
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	36
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ  СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ        ИСТОЧНИКОВ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .	37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.   ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

 

 

1.1. Постановка задачи идентификации

 

Задан объект управления с известной  структурой и неизвестными параметрами. Структура объекта определена передаточной функцией вида:

 

,

 

где к_о – коэффициент передачи объекта; Т_о – постоянная времени объекта.

Объект работает в  условиях действия на него случайных  возмущений. Ставится задача: определить параметры объекта k_о и Т_о. Требования технологии для рассматриваемого объекта не допускают отклонения параметров его эксплуатационного режима от заданных значений, что исключает возможность использования регулярных испытательных сигналов для идентификации объекта по временным характеристикам. Идентификацию объекта в этом случае целесообразно выполнять с использованием вероятностных характеристик. Необходимые вероятностные характеристики могут быть определены на основе экспериментальных данных, полученных в условиях нормальной эксплуатации объекта.

 Эффективным методом идентификации  по вероятностным характеристикам является корреляционный метод идентификации. Интегральное уравнение, устанавливающее связь между переменными входа x(t) и выхода y(t) объекта (рис. 1.1),

 

                                                                                     (1.1)

 

справедливо и для  сигналов в виде авто- и взаимной корреляционных функций (рис. 1.2)

 

,                                                                 (1.2)

 

где k(τ) - импульсная характеристика объекта идентификации.

Это значит, что если на вход линейного объекта (системы) с импульсной переходной характеристикой k(t) подать сигнал x(t)=R_x(τ), то на выходе этого объекта (системы) появляется сигнал совпадающий со взаимной корреляционной функцией y(t)=R_xy(τ).

 

Рис. 1.1  Схема объекта регулирования

 

 

 

Рис. 1.2  Схема вероятностной модели объекта.

 

 Задача определения  статических и динамических характеристик  объекта в режиме его нормальной эксплуатации, когда входное воздействия x(t) рассматривается как стационарный эргодический случайный процесс, сводится к решению интегрального уравнения (1.2) относительно импульсной функции k(t) и разбивается на три этапа:

- регистрация переменных  на входе и выходе объекта  в течении заданного времени;

- расчет автокорреляционной  функции входного сигнала и  взаимной корреляционной функции входного и выходного сигналов по полученным реализациям x(t) и y(t);

- решение интегрального  уравнения относительно k(t).

 

 

1.2.  Постановка эксперимента

 

Эксперимент выполняется на лабораторной установке, включающей в себя генератор случайной функции, фильтр для формирования реализации случайного сигнала с заданной автокорреляционной функцией, объект исследования, автоматические регистрирующие приборы. На вход объекта с генератора, который позволяет организовывать развертку во времени ряда случайных чисел, подается сигнал x(t) в виде реализации случайной функции. На выходе объекта наблюдается и регистрируется сигнал y(t). Реализации сигналов x(t) и y(t) регистрируются вместе с синхронизирующими секундными импульсами (рис 1.1). Полученные в результате эксперимента реализации сигналов x(t) и y(t) дискретизируются по времени и квантуются по уровню. Шаг дискретизации 1 секунда, шаг квантования 1 в.

На всех этапах обработки экспериментальных данных необходимо сохранять жесткую синхронизацию сигналов x(t) и y(t). Результаты обработки диаграмм представляются в виде таблицы  x(n) и y(n), где n=1,2…100 точек (табл. 1.1 ).

 

                   

 

                                                                                  

t	x(t)	y(t)	t	x(t)	y(t)	t	x(t)	y(t)	t	x(t)	y(t)
1	62	42	26	37	42	51	76	50	76	44	41
2	45	45	27	55	66	52	89	57	77	59	39
3	56	41	28	66	67	53	100	71	78	72	45
4	61	45	29	67	68	54	77	65	79	82	52
5	62	46	30	80	52	55	72	60	80	89	60
6	75	50	31	86	60	56	61	59	81	76	64
7	65	53	32	81	62	57	74	56	82	86	64
8	79	54	33	64	61	58	82	59	83	77	66
9	86	60	34	59	55	59	70	61	84	87	65
10	79	62	35	45	50	60	79	59	85	95	69
11	70	60	36	55	44	61	86	62	86	81	71
12	52	54	37	51	44	62	67	62	87	90	62
13	52	50	38	34	40	63	69	59	88	99	71
14	64	47	39	30	32	64	60	56	89	72	74
15	64	46	40	44	30	65	46	49	90	56	62
16	61	49	41	65	35	66	55	44	91	39	50
17	69	51	42	64	44	67	62	45	92	54	42
18	57	51	43	60	45	68	47	46	93	55	44
19	54	52	44	66	47	69	62	42	94	75	46
20	44	46	45	75	50	70	82	50	95	65	52
21	44	40	46	77	55	71	66	56	96	80	54
22	62	40	47	81	55	72	54	51	97	80	54
23	65	46	48	65	59	73	61	49	98	70	59
24	63	49	49	55	54	74	47	47	99	70	57
25	45	50	50	60	49	75	50	42	100	70	56

Таблица 1.1

      

 

1.3.  Определение корреляционных функций

 

 При известных x(t) и y(t) центрированные авто- и взаимной корреляционные функции определяются уравнениями

 

;

,

где m_x и m_y – оценка математических ожиданий сигналов x(t) и y(t).

Расчет ординат экспериментальных R_x(m) и R_xy(m) выполняется по программе  «Корреляция». По запросу программы вводятся по сто ординат x(n) и y(n), интервалы сдвига m для автокорреляционной функции и m отдельно для левой и правой ветвей взаимной корреляционной функции. Рекомендуемая величина сдвига для автокорреляционной функции m=10, для левой ветви взаимной корреляционной функции  m=10, для правой ветви m=15.

По результатам расчета в таблицу 1.2 записываются ординаты авто- и взаимной корреляционных функций. Величины R_xy(0) при расчете правой и левой ветвей взаимной корреляционной функции могут несколько отличаться друг от друга, поэтому расчетная величина R_xy(0) определяется как их среднее значение .

                                                                                       

                                                                               Таблица 1.2

К	Rxx	RxyL	RxyR
0	210,38	87,66	87,66
1	146,54	52,19	109,38
2	80,06	27,27	90,85
3	33,14	13,27	65,94
4	0,37	4,37	43,46
5	−6,81	−6,62	22,01
6	−9,79	−20,04	3,44
7	−16,22	−23,65	−13,16
8	−7,45	−24,48	−18,77
9	−0,86	−30,65	−15,5
10	−12,24	−41,43	−6,24
11	−32,56	−41,87	−9,6
12	−31,74	−33,71	−18,52
13	−25,88	−20,63	−24,37
14	−15,31	−10,29	−28,02
15	−11,97	−9,78	−25,82

                              

                                

Автокорреляцонная и  взаимокорреляционная функции показаны на рис. 1.4.

                                                                 

                                                                                 

Рис. 1.4 Авто- и взаимокорреляционные функции

 

 

1.4. Идентификация объекта

 

Существует несколько  способов решения уравнения

 

      ,

 

в том числе:

- алгебраический метод;

- метод моментов;

- корреляционный метод  с настраиваемой (обучаемой) моделью.

Алгебраический метод  предполагает составление и решение системы уравнений высокого порядка и применяется редко.

Эффективным методом  является корреляционный метод идентификации с настраиваемой моделью (рис. 1.5).

 

Рис.

Схема идентификации с настраиваемой моделью

 

Применение этого метода в учебных целях следует считать предпочтительным, так как позволяет при идентификации ознакомиться с практическим использованием  градиентных методов оптимизации.

Экспериментальная взаимная корреляционная функция сравнивается с кривой , получаемой с модели. Модель путем перебора параметров k_о и Т_о настраивается до тех пор, пока не совпадет с . Показателем близости кривых и может служить критерий

 

,

 

где t_н – время цикла решения.

Параметры k_о и Т_о считаются найденными, если достигается условие

 

      J = min. 

 

Решение задачи идентификации  выполняется по программе “Идентификация”. Программа запрашивает двадцать ординат испытательного сигнала, двадцать ординат экспериментальной взаимной корреляционной функции и двадцать значений коэффициента приоритета ординат взаимной корреляционнoй функции. Испытательным сигналом служит кривая автокорреляционной функции. Первая точка испытательного сигнала выбирается на левой ветви автокорреляционной функции таким образом, чтобы соответствовала m=-6. Чтобы случайный характер хвостов авто- и взаимной корреляционных функций не оказывал существенного влияния на результаты идентификации каждой ординате взаимной корреляционной функции придается вес с помощью коэффициента приоритета λ. Целевая функция критерия идентификации формируется в виде функционала: