Системный подход в экологии; принципы количественного описания и элементы математического моделирования динамических систем

 

 

 

 

Типы систем и основные феноменологические  подходы к их  описанию:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Количественный аппарат равновесной термодинамики активно применяется в экологии и почвоведении при описании сорбционных процессов, других вариантов межфазных взаимодействий, оценки химических равновесий. Он хорошо удовлетворяет результатам лабораторных экспериментов над изолированными «мертвыми» органоминеральными телами. Однако, для описания функционирования «живой» открытой биокосной системы в целом равновесные подходы не применимы, поскольку состояние термодинамического равновесия означает смерть для живого. Биокосные системы суть неравновесные открытые системы. Их существование поддерживается благодаря постоянному  обмену веществом и энергией с окружающей средой. При этом живые организмы выступают в роли активного фактора, поддерживающего неравновесность в биокосной системе, поскольку из всех компонентов системы лишь живому веществу необходимо существование в неравновесном состоянии. Сама по себе система, как любой физический объект, стремится спонтанно занять состояние термодинамического равновесия, и лишь деятельность живых организмов целенаправленно препятствует этому, борясь с повышением энтропии как внутри  себя, так и в ближайшем окружении. Например, для многих организмов свойственна терморегуляция  поддержание температуры тела на определенном  постоянном  уровне. Такие живые вещества неравновесны по отношению к окружающей среде по критерию теплообмена: их температура практически всегда не совпадает с температурой окружающей среды. Неравновесность по отношению к веществу заложена самой структурой организмов, в которых концентрируются жизненно важные элементы и их соединения и удерживаются в телах, пока они существуют. Аналогичным образом поддерживается неравновесность и упорядоченность в ближайшем окружении организмов  в биокосных системах. Концентрация веществ и энергии здесь осуществляется трудами не одного, а множества поколений организмов, и не исчезает при отмирании сиюминутных «владельцев» этого достояния, «дома». Подобно социальным богатствам, природные «дома»  почвы, биогеоценозы наследуются из поколения в поколение, приумножаются и обеспечивают жизнь на планете. Их количественное описание требует  иных, не равновесных подходов. Для открытых систем в потоках веществ и энергии аналогом термодинамически выгодного равновесия служит стационарное состояние, при котором уравновешиваются скорости изменения интенсивных показателей системы (скорости противоположных процессов). (U¹=U²=U³...=Uⁱ или ΔU/Δtⁱ=0), то есть никаких изменений не происходит. Аналог – уровень воды в бассейне при одинаковых скоростях потока на входе и выходе. Для линейных систем это единственный закономерный итог динамики (линейная кинетика).

 

 

 

 

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ДИНАМИКА  систем и ее количественные  показатели:

 

Типы систем и основные феноменологические  подходы к их  описанию:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нелинейных систем существует множество подобных состояний (аттракторов), к которым может стремиться система в процессе развития (динамики), причем часть из них может быть устойчива, а часть нет. В процессе изменения характеристик системы устойчивые  состояния могут терять устойчивость. Если в нелинейной системе несколько состояний, она может переходить скачкообразно из одного в другое (триггерный режим). Возможна стабилизация системы за пределами равновесных (стационарных) состояний с появлением сложных  эндогенных режимов поведения (колебаний, хаоса..) и контрастных тка называемых диссипативных структур в пространстве с неравномерным, периодическим  распределением вещества (энергии). Такие формы поведения, присущие сложным нелинейным системам исследует синергетика. Биологическим и биокосным объектам присуще подобные формы, поскольку они являются нелинейными, неравновесными открытыми системами в потоках веществ, энергии и информации. Термодинамическое (равновесное) состояние означает для живых организмов смерть, поэтому живое всеми силами стремиться избежать этого состояния как внутри себя, так и в ближайшем окружении (принцип сопротивления повышению энтропии, целенаправленного производства негэнтропии).

 

 

Формы равновесий: 1  неустойчивое равновесие, 2  устойчивое равновесие, 3  нейтральное состояние, 4 локальная устойчивость (к малым возмущением)

 

 

 

 

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ДИНАМИКА  систем и ее количественные  показатели:

 

 

 

 

 

 

 

Система 2) будет  стремиться попасть  в него из любых начальных  значений В=В^{0 ,} включая состояния с нулевой численностью.

 

 
 

 

 

Линейный анализ устойчивости  динамических систем:  основной принцип –задать отклонение от равновесия (возмущение) «толкнуть шарик» и посмотреть что будет дальше – вернется в исходное состояние или нет. Критерий устойчивости (по Ляпунову) – отрицательное значение первой производной скорости по интенсивному параметру в характерной точке соответствующей равновесию (стационарному состоянию).

 

Простейшие примеры (система с  одной переменной):

 

kC, деструкция

 

C, детрит

 

L, опад

 

Линейная модель динамики органического вещества почвы, где L – функция поступления опада,  С – запасы ОВ почвы,  k – константа разложения ОВ  Найдем стационарное состояние dC/dt=0 илиC=L/k. Рассмотрим его устойчивость: U’=(L-kC)’^C=-k <0 – состояние устойчиво, система стремится попасть в него из любых начальных значений С=С⁰ (см дальше аналитические и численные методы..)

 

1)

 

2)

 

Нелинейная модель роста организма (популяции), где В – запасы биомассы или численность организмов, r –мальтузианский параметр скорости роста, К – фактор «емкости» среды для данного вида организмов (популяции). Найдем стационарные состояния dB/dt=0 их будет два:В=0 и B=K. Рассмотрим их устойчивость: U’=r(1-B/K)’^B= r(1-2B/K). Отсюда состояние В=0 – неустойчиво ( r(1-20/K)=r>0), а B=K. ( r(1-2K/K)=-r<0), ) – устойчиво.

 

 

 

 

 

 

 

Линейный анализ устойчивости  динамических систем:

 

Простейшие примеры (система с  двумя переменными): Общий вид  модели:

 

где В,Х – переменные состояния, U^1,2 – скорости их изменения, F^1,2 =const - внешние связи (потоки)

 

Критерии устойчивости по Ляпунову:

 

Δ=a¹¹a²²–a¹²a²¹

 

В зависимости от вида корней характеристического уравнения выделяются шесть основных типов  стационарных состояний и соответствующих режимов поведения системы в их окрестности:

1. λ^1,2 – действительные числа При этом возможны следующие случаи:

а) Оба корня отрицательны (λ^1,2<0). Стационарное состояние называется устойчивым узлом.

б) Оба корня положительны (λ^1,2>0). Неустойчивый узел.

в) Корни разных знаков. Стационарное  состояние, называемое седлом, также будет неустойчивым,

2. λ^1,2 – комплексно-сопряженные числа (подкоренное выражение отрицательно, корни λ содержат действительную λ^Re и мнимую λ^Im части).

а) Действительная часть корней  отрицательна (а¹¹+а¹²<0, или σ>0). Устойчивый фокус.

б) Действительная часть корней  положительна (а¹¹+а¹²>0 или σ<0). Неустойчивый фокус.

в) Действительная часть корней  λ^Re равна нулю (σ=0). Стационарное состояние (центр) будет нейтрально устойчивым.

 

 

 

 

Простейшие примеры (линейная система  с двумя переменными):

 

Модель:

 

Стационарные состояния

 

здесь С, Н – запасы детрита  и гумусовых веществ, L– количество  ежегодно поступающих в почву  растительных остатков (опада), k^1,2 – кинетические константы минерализации и гумификации детрита, k³ – константа минерализации гумусовых веществ

 

Найдем корни характеристического  уравнения:

 

а¹¹ = (L-(k¹+k²)C)’^C= -(k¹+k²)

 

а²¹ = (L-(k¹+k²)C)’^H= 0

 

а¹² = (k²C – k³H)’^C= k²

 

а²² = (k²C – k³H)’^H= -k³

 

отсюда ¹=-k³<0; ²=-(k¹+k²)<0

 

Оба корня действительны и  отрицательны. Стационарное состояние  – устойчивый узел. Сложные эндогенные  режимы невозможны. Поведение системы  во времени – экспоненциальное  приближение к равновесному (стационарному) состоянию.

 

 

 

 

Аналитические и численные методы  решения моделей:

 

После определения характерных (стационарных) состояний и их  устойчивости при необходимости  осуществляется решение модели  аналитическими (если возможно) или  численными методами и реализация  поведения системы в пространственно-временном  континууме

 

Линейные модели как правило  имеют аналитическое решение. Например  модель динамики органического  вещества почвы dCdt=L-kC имеет простое  решение в виде экспоненты: С(t )= L/k+(C⁰-L/k)exp(-kt), показывающая, что из любого начального состояния (C⁰) система со временем переместится в стационарное состояние L/k. При отсутствии поступления опада L=0, произойдет постепенное разрушение ОВ (биодеструкция). В модели k= 0,25 год^–1

 

 

 

 

Для нелинейных моделей аналитические  решения получить чаще всего  невозможно и приходится использовать  приближенные или численные методы  решения. В нашем курсе с этой  целью используется программа MATLAB

 

Примеры численного моделирования  развития микроорганизмов-деструкторов  и динамики субстрата - органического  вещества почвы (по Смагин и  др.,2001)

 

 

 

 

Моделирование триггерных режимов системы «почва-растение»

 

 

 

 

 

Бифуркационная диаграмма сложной  динамической системы. Устойчивость и типы поведения динамических систем вблизи равновесия и за его пределами

 

Развертка режимов поведения  во времени (численная реализация  модели). Как видно, возможны при  неизменных внешних условиях  сложные типы поведения эндогенного (внутреннего) происхождения -  колебательные  режимы, хаос, триггерное поведение (переключения, скачки или катастрофы) как результат развития динамической  или структурной неустойчивости  в системе и последующей стабилизации