Задачи по эконометрике

Задание 1

1. Составить уравнение линейной регрессии , используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
2. Составить уравнение линейной регрессии , используя матричный метод.
3. Вычислить коэффициент корреляции и оценить полученное уравнение регрессии.
4. Найти оценки параметров .
5. Найти параметры нормального распределения для статистик и .
6. Найти доверительные интервалы для и на основании оценок и при уровне значимости α = 0,05.
7. Вычислить коэффициент детерминации и оценить качество выбранного уравнения регрессии.

Имеются данные по объёму продаж Х (тыс. шт.) и цене единицы товара Y (руб.):

 

X	12,2	18,6	29,2	15,7	25,4	35,2	14,7	11,7	12,0	15
Y	29,2	30,5	29,7	31,3	30,8	29,9	27,8	27,0	28,0	30,2

 

РЕШЕНИЕ:

1. Составим уравнение  линейной регрессии, используя метод  наименьших квадратов (МНК).

;

Уравнение регрессии , коэффициенты и определим из системы уравнений (14) по формулам (16):

 

 

 

Уравнение регрессии имеет вид или , т.е. уравнение прямой, проходящей через точку . Так как = 0,08 > 0, то наблюдается рост y относительно x.

Коэффициент ковариации переменных x и y равен

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент линейной корреляции

т.е. корреляционная зависимость «очень слабая», но близка к функциональной линейной зависимости.

2. Составим уравнение  линейной регрессии  , используя матричный метод.

Введем матрицы

 

    

Исходная матрица определяется по формуле

Произведем операции над матрицами в порядке их расположения:

;

, т.е. матрица невырожденная и имеет обратную матрицу.

=

 

=

* =

= - т.е. и Таким образом, результаты вычислений совпадаю.

3. Найдём значения оценки параметров a, b и .

Для их определения составим табл. 2.

Таблица 2

	12,2	18,6	29,2	15,7	25,4	35,2	14,7	11,7	12,0	15
	29,2	30,5	29,7	31,3	30,8	29,9	27,8	27,0	28,0	30,2
	-6,77	-0,37	10,23	-3,27	6,43	16,23	-4,27	-7,77	-6,97	-3,97
	-0,24	1,06	0,26	1,86	1,36	0,46	-1,64	-2,44	-1,44	0,76
	28,90	29,41	30,26	29,18	29,95	30,74	29,10	28,86	28,88	29,12
	0,30	1,09	-0,56	2,11	0,85	-0,84	-1,30	-1,82	-0,82	1,05
	-0,54	-0,03	0,82	-0,26	0,51	1,30	-0,34	-0,58	-0,56	-0,32

Так как известны а также уравнение прогноза то на основании этих данных вычислим значения следующих величин:

 

;

;

4. Найдём параметры нормального распределения для статистик и .

Решение. Из формул имеем

~

~ = ;

5. Найдём доверительные интервалы для a и b на основании оценок и при уровне значимости .

Так как вероятность доверия равна по распределению Стьюдента (см. приложения).

Из формулы доверительный интервал для b определяется из неравенства или

Тогда

Аналогично доверительный интервал для параметра a определяется из формулы а доверительный интервал – из неравенства или

;

;

;

6. Вычислим коэффициент детерминации.

Проверим справедливость формулы

Из табл. 2 найдем необходимые данные:

Справедливо равенство TSS = ESS + RSS, то есть 18,06 = 14,21 + 3,85.

Из формулы определим коэффициент детерминации:

Следовательно, качество подгонки очень низкое, т.е. выбранное уравнение регрессии не очень хорошо аппроксимирует значение , полученное на основе наблюдений, приведенных в таблице 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

 

1. Составить уравнение множественной линейной регрессии y = a + b1x1 + b2x2 + ε в матричной форме, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
2. Найти оценки параметров а, b1, b2, б².
3. Найти коэффициент детерминации и оценить уравнение регрессивной связи.
4. Оценить статистическую зависимость между переменными.

Имеются данные концерна, в котором изучается зависимость прибыли Y (тыс. руб.) от выработки продукции на одного работника Х1 (ед.) и индекса цен на продукцию Х2 (%):

 

№ п/п	Y	Х1	Х2
1	5,0	40	105
2	4,5	45	110
3	6,0	42	108
4	8,0	50	112
5	7,5	48	106

 

РЕШЕНИЕ:

1. Составим уравнение  регрессии, используя МНК и найдём  числовые характеристики переменных.

Уравнение регрессии ищем в виде уравнения

 где 

- матрица-столбец (значения результирующего  показателя)

 – трансформированная матрица-столбец (значения результирующего показателя) – тыс. рублей;

 – параметры;

-матрица объясняющих переменных

 

– трансформированная матрица объясняющих переменных.

 

Исходная матрица определяется по формуле

Произведем последовательно операции над матрицами:

 

* =

, т.е. матрица невырожденная и имеет обратную матрицу.

;

* =

* = , то есть

 

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид

2. Найдём оценки параметров  и .

Вектор оценок и есть

Вектор прогнозных значений:

Вектор остатков регрессий:

Найдем исправленную несмещенную оценку дисперсии:

3. Найдём коэффициент детерминации.

где

TSS = ESS + RSS; то есть 31=10+21

,

т.к. близок к единице, то качество подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям очень хорошее.

4. Оценить статистическую зависимость между переменными.

Вычислим ковариационную матрицу

где

 

Найдем соответствующие величины:

 

Итак, ковариационная матрица имеет вид

Корреляционная матрица имеет вид

где

Вычислим коэффициенты корреляции между случайными величинами, которые измеряют степень тесноты линейной статистической связи между случайными величинами:

 

Итак, корреляционная матрица имеет вид

 

Вывод: действительно, между переменными и , а также между и y и и y существует довольно сильная линейная зависимость.