Контрольная работа по "Статистике"

 

У х1,1;хЗ,1 = -11.8993 + 42.087 * 0,5059 + 41.2994 * 0,2797 = 20,94395548 млрд.руб.

Если инвестиции в экономику региона возрастут  до 0.5059 млрд.руб., а численность населения  составит 0.2797 млн.чел., тогда следует  ожидать, что розничный товарооборот возрастет до 20.9 млрд.руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА № 3

 

Для проверки рабочих  гипотез (№1 №2) о связи социально-экономических  показателей в регионе используется статистическая информация за 2000 год  по территориям Центрального федерального округа.

Y₁ – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб

Y₂ – среднемесячная начисленная заработная плата 1-го занятого в экономике, тыс. руб.

X₁ – инвестиции текущего, 2000, года в основной капитал, млрд. руб.;

X₂ – среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

X₃ -.доля занятых в экономике в общей численности населения, %;

Рабочие гипотезы:     У1 = f(Х1;Х2) - №1

              У2= f(71;ХЗ) - №2

Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям  выявил наличие трех территорий (г. Москва, Московская область, Воронежская область) с анимальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учета указанных аномальных единиц.

При   обработке   исходных  данных  полученны   следующие  значения  линейных 
коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ: 
N=15 
Для проверки рабочей гипотезы №1 Для проверки рабочей гипотезы №2

	YI	XI	Х2		Y2	YI	ХЗ
YI	1	0,6712	0,6745	У2	1	0,8179	0.6085
XI	0,6712	1	0,3341	VI	0,8179	1	0,5440
Х2	0,6745	0,3341	1	ХЗ	0.6085	0.5440	1
средняя	1,553	44,23	5,600	средняя	23.77	1,553	1,3246
σ	0,2201	2,1146	2,4666	σ	7,2743	0,2001	0,2123

Задание:

1. Составить систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.
2. Определите вид уравнений и системы.
3. На основе приведенных в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:

- определите бета коэффициенты β и постройте уравнения множественной 
регрессии в стандартизованном масштабе.

• дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
• рассчитайте параметры а₁ а₂ и а₀ уравнений множественной регрессии в естественной форме;
• с помощью коэффициентов парной корреляции и В-коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации R² ;
• оцените с помощью Р-критерия Фишера статистическую надежность выявленных связей.

4. Выводы оформите краткой статистической запиской.

Решение:

1. В соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами о связи признаков составим систему уравнений. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначим через b, коэффициенты при экзогенных переменных - через а. Каждый коэффициент имеет двойную индексацию: первый индекс - номер уравнения, второй - индивидуальный номер признака. Тогда:

У1 = а10 + а11 * х1 + а12 * х2

У2 = а20 + Ь21 *У1 + а23 * хЗ

2. Особенности данной системы в том, что в первом уравнении факторы представлены перечнем традиционных экзогенных переменных, значения которых формируются вне данной системы уравнений. Во втором уравнении в состав факторов входит эндогенная переменная У1, значения которой формируются в условиях данной системы, а именно, в предыдущем уравнении. Системы уравнений, в которых переменные первоначально формируются как результаты, а в дельнейшем выступают в качестве факторов, называются рекурсивными. Именно с подобной системой уравнения имеем дело в данной задаче.
3. выполним расчет В-коэффициентов и построим уравнения множественной регрессии в стандартизированном масштабе. Для уравнения №1:

 

В_у1x1| =0.6712 - 0.6745 * 0.3341   = 0,5018

                       1-0,3341²

 

В _у1х2 = 0.6745 - 0.6712 * 0.3341   = 0,5068

                       1-0,3341²

По полученным результатам  построено уравнение в стандартном  виде:

В_у1= 0,5018 * tx₁ + 0.5068 * tх₂

По данным первого  уравнения сделаем вывод, что  инвестиции текущего года в основной капитал (х1) влияют на стоимость валового регионального продукта (у1) слабее, чем среднегодовая стоимость  основных фондов в экономике (х2)

 

 т.к. Вх1 = 0,5018 < Вх2 = 0,5068

 

Второе уравнение  можно построить на основе следующих  результатов:

 

В _У2У1 = 0.8179-0.6085*0.5440  = 0.6915

                       1 - 0.5440²

 

В_у2х3   = 0.6085-0,8179*0,5440 = 0,2323

                     1 - 0.5440²

 

Второе уравнение в стабилизированной форме имеет вид

    В у2 = 0,6915 *t_у1+ 0,2323 * t_х3

Из второго уравнения  очевидно, что на уровень среднемесячной заработной платы более сильно влияние  открывает доля занятых, и менее  сильное - стоимость ВРП.

 

4. Расчет параметров уравнения регрессии в естественной форме дает следующие результаты:

а11    =    Ву1х1 *  σ х  = 0.5081 * 0.2201   =  0.0528

               σх1             2.1146

а12 = Ву1x2 * д_у_ = 0.5068 * 0.2201 = 0.0452 
                     σ х2                              2.4666

 

а10 =   у- а₁₁ * х-а₁₂ * х₂ = 1.553 - 0.0528 * 44.23 - 0.0452 * 5.6 = -1,0354

 

По полученным результатам  построено уравнения №1 в естественной форме:

У, = - 1,0354 + 0,0528 * х, + 0,0452 * х₂

Параметры уравнения  №2 рассчитываются аналогичным образом. Но главная отличительная особенность их расчета в том, что в качестве одного из факторов выступают не фактические значения у1, а его теоретические значения у1, полученные расчетным путем при подстановке в уравнение №1 фактических значений факторов х1 и х2.

Указанным способом рассчитаны параметры рекурсивного уравнения:

 

b₂₁ = B _y2y1 *   σ y ₂ =   0.6915 *  7.2743   =  22.8540

         σy₁                 0.2201

a₂₃ = B _y2x3 *   σ y₂  =   0.2323 *  7.2743   =  7.9595

         σx₃                 0.2123

a₂₀ = y_{2 –} b₂₁ * y₁ - a₂₃ * x₃ = 23.77 – 22.8540 * 1.553 – 7.9595 * 1.3246 = -22.2654

По полученным результатам  построено уравнение №2 в естественной форме:

У₂ = -22,2654 + 22,8540 * у₁ + 7,9595 * х₃

Представим результаты построения уравнений в виде рекурсивной системы:

У ₁ = -1,0354 + 0,0528 * х₁ + 0,0452 * х₂

У ₂ = - 22,2654 + 22,8540 * у₁ + 7,9595 * х₃

 

 

Значение коэффициентов  регрессии каждого из уравнений  могут быть использованы для анализа  силы влияния каждого из факторов на результат. Но для сравнительной оценки силы влияния факторов необходимо использовать либо значения В-коэффициентов, либо средних коэффициентов эластичности – Э_у1х1, Э_у1х2, Э_у2у1.

 

 

 

 

 

 

5. Для каждого из уровней системы рассчитаем показатели корреляции и 
детерминации:

R _У2х1х2 = √ ∑В_у1Х1 * г_у1х1 = √ 0.5085 * 0.6712 + 0.5068 * 0.6745 = 0.8265

R _{y2у1 х3} = √В_у2у, *г_у2y1 + В_у2хз = √6915 * 0.8179 + 0.2323 * 0.6085= 0.8408

Обе региональные модели выявляют тесную связь результата с  переменными факторного комплекса.

6. Оценим существенность выявленных зависимостей. Для этого сформулируем 
нулевые гипотезы о статистической незначимости постойных моделей и выявленных ими 
зависимостей:

Н _о(1) : R₍₁₎ = 0 и Н _о(2) : R₍₂₎ = 0

Для проверки нулевых  гипотез используется F-критерий Фишера. Выполняется расчет его фактических значений, которые сравниваются с табличными значениями критерия. По результатам сравнения принимается решение относительно нулевой гипотезы.

F _факт(1) =     R²₍₁₎      :     k        =    0.6831      :        2      = 12,9381 
            1- R²₍₁₎              n-k-1               1-0,6831             15-2-1

 

F _{факт (2)} =     0.7069       :   2   = 14,4765

                   1 - 0,7069       12

 

Табличные значения F-критерия формируется под влиянием слученных причин и зависят от трех условий: а) от числа степеней свободы факторной дисперсии – d.f.₁ = k, где К - число факторных переменных в модели; б) от числа степеней свободы остаточной дисперсии — d.f.₂ = п — к — 1 , где n - число изучаемых объектов ; в) от уровня значимости а , который определяет вероятность допустить ошибку, принимая решение по нулевой гипотезе. Как правило, значение а, берут на уровне 5% (а = 0,5), но при высоких требованиях к точности принимаемых решений уровень значимости составляет 1% (а = 0,1) или 0,1 %(а = 0,001)

F табл для d.f.₁ = к =2; d.f.₂ = п - к - 1 =15-2-1=12 и а = 0,05 составляет 3,88. В силу того, что Fфакг = 12,9381 > Fтабл = 3,88 нулевую гипотезу о статистической независимости характеристик уравнения №1 следует отклонить, то есть Н _о(1) => (-). Аналогичное решение принимается и относительно второй нулевой гипотезы, т.к. F _факт(2) = 14,4765 > F _табл = 3,88. То есть Н _о(2) => (-). Отклоняя нулевую гипотезу, допустимо (с определенной степенью условности) принять одну из альтернативных гипотез. В частности, может быть рассмотрена и принята гипотеза о том, что параметры модулей неслучайны, то есть формируются под влиянием представленных в моделях факторов, влияние которых на результат носит систематический, устойчивый характер. Это означает, что полученные результаты могут быть использованы в аналитической работе и в прогнозных расчетах среднемесячной заработной платы и стоимости валового регионального продукта, которые основаны не только на влияние Х1 х₂, хз, но и на влиянии эндогенной переменной у₁. Рекурсивные модели связей предоставляют возможность подобного анализа и прогноза.

 

ЗАДАЧА № 4

Предлагается    изучить    взаимосвязи    социально-экономических    характеристик  региона за период.

Y₁ - инвестиции текущего года в экономику региона, млрд. руб.

Y₂ - стоимость продукции промышленности и АПК в текущем году, млрд. руб.

Y₃ - оборот розничной торговли в текущем году, млрд. руб.

х₁ - инвестиции прошлого года в экономику региона, млрд. руб.

х₂ - среднегодовая стоимость основных фондов в экономике региона, млрд. руб.

х₃ - среднегодовая численность занятых в экономике региона, млн. чел.

Приводится система  рабочих гипотез, которые необходимо проверить:

У1 = f(У2, X1, Х2);

У2 = f(У1,УЗ,Х1,ХЗ);

 УЗ = f(У2, X1, Х2, ХЗ);

Задание:

1. Используя рабочие гипотезы, постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;
2. Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;
3. Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений.

 

Решение:

1. В соответствии с  предложенными рабочими гипотезами  построим график, отображающий связи  каждой из представленных переменных  с другими переменными. Отличительной особенностью уравнений системы является наличие прямых и обратных зависимостей между переменными У1, У2 и УЗ. Указанная особенность характерна для так называемых структурных уравнений. В состав структурных уравнений входят: а) эндогенные переменные, значения которых формируются в условиях данной системы признаков и их зависимостей б) экзогенные переменные, значения которых формируются вне данной системы признаков и условий, но сами экзогенные переменные участвуют во взаимосвязях данной системы и оказывают влияние на эндогенные переменные. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначаются через а, коэффициенты при экзогенных переменных обозначаются через ь. Таким образом, в каждом уравнении системы каждый коэффициент при переменной имеет двойную индексацию: 1) - номер эндогенной переменной, расположенной в левой части уравнения и выступающей в качестве результата. 2) - номер переменной, находящейся в правой части уравнения и выступающей в качестве фактора.

В нашей задаче система  уравнений для описания выдвигаемых  рабочих гипотез будет иметь  следующий вид: