Контрольная работа по курсу «Математические методы в оценке»

 

 

 

2. Прогнозирование показателей с учетом циклических и сезонных колебаний .

Прогнозирование. Модели временных  рядов

При построении эконометрической модели используются два типа данных:

1. данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент времени;
2. данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.

Модели, построенные по данным первого  типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.

Временной ряд (ряд  динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

1. факторы, формирующие тенденцию ряда;
2. факторы, формирующие циклические колебания ряда;
3. случайные факторы.

Рассмотрим воздействие каждого  фактора на временной ряд в  отдельности.

Большинство временных рядов экономических  показателей имеют тенденцию, характеризующую  совокупное долговременное воздействие  множества факторов на динамику изучаемого показателя. Все эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать  разнонаправленное воздействие  на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют  его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 5 показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

 
Рис. 5.

Также изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка. На рис. 6 представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

 
Рис. 6.

Некоторые временные  ряды не содержат тенденции и циклической  компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма  среднего уровня ряда и некоторой (положительной  или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную  компоненту, приведен на рис. 7.

 
Рис. 7.

Очевидно, что реальные данные не следуют  целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего  они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под  воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве  случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется адитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда, или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Моделирование тенденции временного ряда

Распространенным способом моделирования  тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней  ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени  может принимать разные формы, для  ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются  следующие функции:

• линейный тренд: ў_t = a+b·t;
• гипербола: ў_t = a+b/t;
• экспоненциальный тренд: ў = e^a+bt (или ў=a·b^t);
• степенная функция: ў = a·t^b;
• полиномы различных степеней: ў_t = a + b₁·t + b₂·t² + ... + b_m·t^m.

Параметры каждого из перечисленных  выше трендов можно определить обычным  МНК(метод наименьших квадратов), используя в качестве независимой переменной время t=1,2,...,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда ў_t. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Наиболее простую экономическую  интерпретацию имеет линейная функция y = a+b·t

а – начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0;

b – средний за период абсолютный прирост уровней ряда.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу  наиболее распространенных способов относятся  качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика  зависимости уровней ряда от времени.

Выбор наилучшего уравнения в случае, когда ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому  уравнению скорректированного коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации. Этот метод легко реализуется  при компьютерной обработке данных.

 

 

Моделирование сезонных колебаний

Простейший  подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:  Y = T + S + E

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Общий вид мультипликативной модели выглядит так:    Y = T · S · E

(9.3)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (E ) и случайной (E) компонент.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний  приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой  значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний  возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в  зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной  моделей сводится к расчету значений T , S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты S
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T + E) в аддитивной или (T · E) в мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней (T + E) или (T · E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (T + E) или (T · E).
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

3. Виды средних величин в статистике.

Средняя величина – это обобщающая величина изучаемого признака в исследуемой совокупности, которая отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер.

Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными  признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков.

 

При вычислении средней величины важно  установить цель ее расчета и так называемый определяющий показатель (свойство), на который она должна быть ориентирована. Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т.п.

         Средняя  величина, рассчитанная в целом  по совокупности, называется общей  средней; средние величины, рассчитанные  для каждой группы, - групповыми  средними. Общая средняя отражает  общие черты изучаемого явления,  групповая средняя дает характеристику  явления, складывающуюся в конкретных  условиях данной группы.

        Способы расчета  могут быть разные, поэтому в  статистике различают несколько  видов средней величины.

Средние величины делятся на 2 больших  класса:

степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая и др.). Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Если рассчитывать все виды степенных средних для одних и тех же данных, то их значения окажутся одинаковыми. Тогда действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина (                                                     ).

структурные средние (мода, медиана). Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют «структурными позиционными средними». Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Степенные средние

Для наглядности наиболее часто  применяемые в практических исследованиях  формулы вычисления различных видов  степенных средних величин представлены в Таблице 4.

 

 Таблица 4

Виды степенных  средних

Вид степенной  средней	Показа тель  степени	Формула расчета
		Простая	Взвешенная
1. Гармоническая	-1		, где
2. Геометрическая	0
3. Арифметическая	1

 

Рассмотрим их подробнее.

Средняя арифметическая величина

Средняя арифметическая величина представляет собой такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Для того чтобы исчислить среднюю арифметическую, необходимо сумму всех значений признаков разделить на их число.

Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Примером средней арифметической может служить общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат всех работников.

 

Средняя арифметическая простая величина равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений. Она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака.

Средняя арифметическая взвешенная – это средняя её варианты, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес.

Основные свойства средней арифметической:

1. Если индивидуальные значения признака, т.е. варианты, уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.
2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число.
3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.
4. Сумма отклонений отдельных значений признака (вариант) от средней арифметической равна нулю.