Контрольная работа по курсу «Математические методы в оценке»

Прежде чем выполнять расчет средней величины необходимо преобразовать  интервальный ряд в дискретный. Для  этого находят середину интервала  в каждой группе. Ее определяют делением суммы верхней и нижней границы  пополам.

Средняя гармоническая  величина

Определяющим свойством средней гармонической величины состоит в том, чтобы при осреднении оставалась неизменной сумма величин, обратных осредняемым.

Формула средней гармонической взвешенной величины применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как произведение . Для того чтобы исчислить среднюю, необходимо обозначить , откуда . Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным x и m можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной вместо подставим m, а вместо f – отношение , и таким образом получим формулу средней гармонической взвешенной.

Средняя гармоническая простая величина применяется в тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, т.е. ,

Средняя геометрическая величина

Средняя геометрическая величина применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Структурные средние

Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой  совокупности, и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что  величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных  средних в статистическом анализе  целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в  упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака, вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние мода (М_о) и медиана (М_е).

 

 

 

 

Мода – значение признака, которое имеет наибольшую частоту в статистическом ряду распределения.

Отыскание моды производится по-разному, и это зависит от того, представлен  ли варьирующий признак в виде дискретного или интервального  ряда. Поиск моды в дискретном ряду происходит путем простого просматривания столбца частот. В этом столбце  находится наибольшее число, характеризующее  наибольшую частоту. Ей соответствует  определенное значение признака, которое  и является модой. Может оказаться, что два признака имеют одинаковую частоту. В этом случае ряд будет  называться бимодальным.

В интервальном вариационном ряду модой  приближенно считают центральный  вариант интервала с наибольшей частотой. В таком ряде распределения  мода вычисляется по формуле:

    где

 - нижняя граница модального интервала;

    - модальный интервал;

  - частота в модальном интервале;

- частота интервала перед  модальным интервалом;

- частота интервала после  модального интервала.

Мода широко используется в статистической практике при изучении, например, покупательского  спроса, регистрации цен и т.д.

Медиана – это вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда.

В ранжированных рядах несгруппированных  данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы по формуле:

  , где

n – число членов ряда.

В случае четного объема ряда медиана  равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения  медианное значение (поскольку оно  делит всю совокупность на две  равные по численности части) оказывается  в каком-то из интервалов признака x. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется по формуле:

 

, где

 

- нижняя граница медианного  интервала;

- медианный интервал;

- половина от общего числа  наблюдений;

- сумма наблюдений, накопленная  до начала медианного интервала;

- число наблюдений в медианном  интервале. 

 

 

 

 

 

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОСТОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

      ИНСТИТУТ ПОДГОТОВКИ И ПЕРЕПОДГОТОВКИ 

СПЕЦИАЛИСТОВ  РГСУ

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по курсу «Математические  методы в оценке»

Конспект  по вопросам:

1. Методика парного  и многофакторного регрессионного  анализа;

2. Прогнозирование  показателей с учетом циклических  и сезонных 

    колебаний;

3. Виды средних  величин в статистике;

4. Функции сложного  процента.

 

                                                                    

 

                                                               

                                                                         Выполнил:

                                                                          слушатель группы «ОСП-32»

                                                                          Кириенко А.И.

                                                                           Преподаватель:

                                                                          Проф. Симионова Н.Е.

 

 

 

Ростов-на-Дону

2013

 

1. Методика парного и многофакторного регрессионного анализа. Парная регрессия - линейные и нелинейные модели, графическая интерпретация

Анализ статистической зависимости с помощью методов корреляционного и регрессионного анализа является одним из направлений статистического анализа, наиболее широко применяемых в оценочной практике.

Сама вероятностная природа  оценки свидетельствует о том, что  между различными факторами, влияющими  на результирующий показатель (стоимость объекта), существует, как правило, нe детерминированная функциональная связь, а стохастическая, при которой каждому допустимому набору факторных признаков х₁, х₂ , х₃ , ..., х_n может соответствовать некоторое статистическое распределение результирующего признака у.

При этом если рассматривается связь  величины результативного признака (у) с одним признаком-фактором (х), то корреляция называется парной, а если факторных признаков 2 и более (х₁, х₂ , х₃ , ..., х_n) - то корреляционная связь называется множественной.

Методология корреляции применяется  при измерении с помощью определенных статистических показателей (коэффициентов корреляции) степени связанности или меры зависимости двух или более признаков. А методология регрессии используется при определении односторонней стохастической зависимости с помощью функции, которая, в отличие от строго функциональной, называется функцией регрессии.

Применение методологии корреляционно-регрессионного анализа предъявляет к исходной информации определенные требования, представленные на рис. 1.

Рис. 1. Предпосылки применения

корреляционно-регрессионного анализа в оценке

Важным условием использования  статистического аппарата является необходимость интерпретирования изучаемых явлений с содержательной точки зрения, так как корреляция и регрессия как формально статистические понятия сами по себе не раскрывают причинного характера связи. Только на основе разумного, логического и профессионального анализа оценщик может решить, какие признаки рассматривать как причины, а какие - как следствия. Формальное установление корреляции еще не означает наличия причинной связи. Особенно ярко это проявляется при ложной корреляции (нонсенс-корреляции). Оценщик, как и другой аналитик, должен уметь профессионально

отличить истинную корреляцию или  регрессию от ложной, под которой  понимается чисто формальная связь  между явлениями, не находящая никакого логического или профессионального объяснения, и которая основана лишь на количественном соотношении между явлениями.

Корреляционно-регрессионный анализ предполагает решение двух задач. Первая заключается в выборе независимых переменных, существенно влияющих на зависимую величину, и определения формы уравнения регрессии (обычно этот этап в разработке регрессии называют спецификацией). 

Данная задача решается путем анализа  изучаемой взаимосвязи по существу. Вторая задача - оценивание параметров - решается с помощью того или иного статистического метода обработки данных наблюдения.

При принятии решения относительно того, какие из факторов, влияющих на стоимость, следует включать в модель, устанавливается также форма влияния этих факторов на результирующий показатель (увеличивают или уменьшают они стоимость), которая может быть описана одной из моделей, приведенных на рис. 2.

Рис. 2. Линейные и нелинейные модели

В оценочной деятельности наибольшее распространение получили линейные модели в силу своей простоты и  логичности.

Такая модель отображает зависимость  между переменными величинами x_i и у_i графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Эту графическую зависимость называют также диаграммой рассеивания или корреляционным полем, которое наглядно представлено на рис. 3.

Поле корреляции 

 

 

 

 

 

Рис. 3. Графическая интерпретация связи между факторами

 

Задача корреляционно-регрессионного анализа - сгладить изломы эмпирической линии, установив форму связи  факторов, т. е. тенденцию, которая проявляется в изменении результативного признака при изменении факторного. Найти уравнение регрессии - означает математически описать по эмпирическим данным изменения взаимно коррелирующих величин.

Оценивание параметров регрессий  достигается с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Рассмотрим самый простой случай. Пусть необходимо описать в виде некоторой функции взаимосвязь двух переменных величин у и х. Предполагается, что между этими величинами теоретически существует простейшая линейная зависимость

у_х = а₀+а₁* х , (1) 

где у_х - теоретическое значение результативного признака, полученное по уравнению регрессии;

а₀ , а₁ - коэффициенты уравнения регрессии.

Коэффициент парной линейной регрессии а₁ показывает изменение результативного признака у под влиянием изменения факторного признаках. Уравнение (1) показывает среднее значение изменения результативного признака у при изменении факторного признака х на одну единицу его измерения, т. е. вариацию у, приходящуюся на вариацию х . Знак а₁ указывает направление этого изменения.

Практически между у и х обычно существует не столь жесткая зависимость. Даже если она может быть представлена, допустим, в виде линейной функции, то отдельные наблюдения у будут в большей или меньшей мере отклоняться от линейной взаимосвязи в силу воздействия различных неучтенных факторов, а также случайных причин, влияния возмущений, помех и т.д. Отклонения от теоретической выбранной взаимосвязи, естественно, могут возникнуть и в силу неправильной спецификации уравнения, т.е. неправильного выбора формы самого уравнения, описывающего эту взаимосвязь. В дальнейшем будем полагать, что спецификация выполнена правильно.

Для оценки параметров уравнения парной регрессии используется система нормальных уравнений, полученная на основе метода наименьших квадратов:

(2)

 

Параметры уравнения прямой будут  иметь следующий вид:

(3) 

 

     (4)

Определив значения а₀ , а₁ и подставив их в уравнение связи, находят значение у_x зависящее только от заданного значениях.

Пример 1. Составим модель, характеризующую зависимость между долей неподвальных помещений в общей площади объекта (признаком-фактором x) и стоимостью 1м² площади объекта (признаком-результатом у), и произведем оценку ее параметров на основании данных табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные и расчет производных величин для определения параметров уравнения регрессии

 

Исходные данные				Расчетные значения
№ п/п	Доля неподваль ных помещений  в общей площа ди (х), %	Стоимость 1м2 площади  объекта (у), тыс. руб.		X2	х*у	yx
1	65,6	48,42		4303,36	3176,35	49,71
2	66,7	54,56		4448,89	3639,15	50,11
3	61,7	45,58		3806,89	2812,29	48,33
4	82,9	43,48		6872,41	3604,49	55,86
5	70,3	58,48		4942,09	4111,14	51,38
6	41,3	39,56		1705,69	1633,83	41,09
7	45,1	41,98		2034,01	1893,30	42,43
8	49,1	45,03		2410,81	2210,97	43,86
9	46,1	40,35		2125,21	1860,14	42,79
10	56,6	45,47		3203,56	2573,60	46,52
11	55,3	44,50		3058,09	2460,85	46,06
12	67,7	56,92		4583,29	3853,48	50,46
13	44,6	40,77		1989,16	1818,34	42,26
14	52,7	43,70		2777,29	2302,99	45,13
15	58,1	46,40		3375,61	2695,84	47,05
16	68,8		56,42	4733,44	3881,70	50,85
17	58,7	49,72		3445,69	2918,56	47,26
18	54,1	44,98		2926,81	2433,42	45,63
19	53,7	44,27		2883,69	2377,30	45,49
20	50,2	45,93		2520,04	2305,69	44,25
Итого	1149,30	936,52		68146,03	54563,43	936,52
Среднее	57,47	46,83		3407,30	2728,17	46,83