Моделирование и прогнозирование экономических процессов

 

Пусть p(p1,p2,p3) – смешанная стратегия игрока 1,  v – цена игры. Тогда требуется отыскать p1,p2,p3

v, для которых

7p1 + 2p2 + 9p3 ≥ v

2p1 + 9p2 + 0p3 ≥ v

9p1 + 0p2 + 11p3 ≥ v

p1 + p2 + p3 = 1

и максимизируется zmax=v.

 

Для второго игрока характерна смешанная стратегия q(q1,q2,q3) и ограничения

7q1 + 2q2 + 9q3 ≤ v

2q1 + 9q2 + 0q3 ≤ v

9q1 + 0q2 + 11q3 ≤ v

q1 + q2 + q3 = 1

и минимизируется zmin=v.

 

 

 

Задача №17.

Стратегия игрока 1	Стратегия игрока 2
	Черная пешка в левой руке	Черная пешка в правой руке
черная пешка в левой руке	-1	1
черная пешка в правой руке	1	-1

 

Так выглядит одна из интерпретаций условия. Для второго игрока смешанная стратегия p ограничивается

-p1 + p2 ≥ v

p1 – p2 ≥ v

p1 + p2 = 1

z=v -> max.

 

откуда, в частности,

p1 – p2 ≥ v

-(p1 – p2 ) ≥ v,

 

что приводит нас к v≤0 и p1 ≥ p2

Максимизируя неположительный v получаем v=0, p1 = p2 = ½

Ответ: v=0, p1 = p2 = ½

 

Задача №18

Стратегия игрока 1	Стратегия игрока 2
	Камень	Ножницы	Бумага
Камень	0	1	-1
Ножницы	-1	0	1
Бумага	1	-1	0

 

Задача решается аналогично задаче 3

Так выглядит одна из интерпретаций условия. Для второго игрока смешанная стратегия p характеризуется

-p1 + p3 ≥ v

p1 – p2 ≥ v

-p3 + p2 ≥ v

p1 + p2 + p3= 1

z=v -> max.

 

Сложив первые три неравенства, получим v≤0 .

Максимизируя неположительный v получаем v=0, p1 = p2 = p3 = 1/3

Ответ: v=0, p1 = p2 = p3 = 1/3

Задача №19

Зазывала	Лопух
	Туз Бубен	Туз Треф	Двойка Треф
Туз Бубен	11	-11	-2
Туз Треф	-11	11	11
Двойка Бубен	2	-11	0

 

Задача решается в расчете на значение туза равное 11.

У Лопуха стратегия «Туз Треф» доминирует над «Двойка Треф», откуда таблица сокращается до

 

Зазывала	Лопух
	Туз Бубен	Туз Треф
Туз Бубен	11	-11
Туз Треф	-11	11
Двойка Бубен	2	-11

 Теперь у Зазывалы  стратегия «Туз Бубен» доминирует над «Двойка Бубен», что сокращает таблицу до

Зазывала	Лопух
	Туз Бубен	Туз Треф
Туз Бубен	11	-11
Туз Треф	-11	11

 

Мы получили таблицу из задачи 2, что приводит нас к нулевой игре. Играть Лопух может, но это бессмысленно: выигрыш будет нулевым.

 

 

При стоимости туза в единицу получаем иную таблицу:

Зазывала	Лопух
	Туз Бубен	Туз Треф	Двойка Треф
Туз Бубен	1	-1	-2
Туз Треф	-1	1	1
Двойка Бубен	2	-1	0

За счет доминирования «Двойка Бубен» над «Туз Бубен» у Зазывалы получим

Зазывала	Лопух
	Туз Бубен	Туз Треф	Двойка Треф
Туз Треф	-1	1	1
Двойка Бубен	2	-1	0

За счет доминирования «Туза Треф» над «Двойкой Треф» у Лопуха получаем

Зазывала	Лопух
	Туз Бубен	Туз Треф
Туз Треф	-1	1
Двойка Бубен	2	-1

 

Для Зазывалы рассмотрим стратегию p(p1,p2), для которой характерно

-p1 + 2p2 ≥ v

p1 – p2 ≥ v

p1 + p2 = 1

 

Здесь можно обойтись и без симплекс-метода.

p1 = 1 – p2 , что дает

3p2 – 1 ≥ v

1 - 2p2 ≥ v

 

 

6p2 – 2 ≥ 2v

3 - 6p2 ≥ 3v

 

1 ≥ 5v

v ≤ 1/5

 

Граничному значению v удовлетворяет p2 = 2/5,  p1 = 3/5.

Так как цена игры положительна, Лопуху не стоит идти на поводу у Зазывалы.

 

Ответ: При тузе в 11 очков цена игра нулевая, при тузе в одно очко цена игра положительна. В любом случае, Лопух не выигрывает.

Задача № 20.

Цель Дениса – получение минимум 80 баллов. Минимальные возможные выигрыши, удовлетворяющие условию, соответствуют стратегиям «Полночи» и «Ночь». Следовательно, оптимальной для Дениса является стратегия «Полночи» (в предположении, что ему хочется на вечеринку).

 

Время на повторение	Экзамен
	Легкий	Средний	Трудный
Не было	85	60	40
Полночи	92	85	81
Ночь	100	88	82

 

Стратегия «Ночь» Доминирует над стратегией «Полночи» (100>92, 88>85, 82>81). Значит, стратегию «Полночи» можно исключить. Из тех же соображений можно исключить стратегию «Не было», т.к. «Ночь» доминирует и над ней.

Остается единственная стратегия Дениса – «Ночь» (при условии, что он желает получить максимальную оценку).