Применение функций в экономике

 

 

 

 

 

 

 

Доклад на тему:

Применение функций в экономике

 

 

 

Кафедра экономических дисциплин

Специальность: Финансы и кредит

Форма обучения: очная

Подготовил: Камышан К.В.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение

1. Функция полезности

2. Производственная функция

3. Функция потребления, спроса и предложения

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтения)- зависимость результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.
2. Производственная функция- зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.( Функция выпуска- зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов. Функция издержек- зависимость издержек производства от объема продукции.
3. Функция спроса, потребления и предложения- зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов( например, цены, дохода и т.п.).

Цель работы:

Описать применение функций в экономике.

Задачи работы:

1. Познакомиться в дополнительной литературе с применением функций в экономике.
2. Описать функцию полезности.
3. Описать производственную функцию.
4. Описать функцию спроса, потребления, предложения.

 

1. Функция полезности

 

В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что каждый из них, осуществляя выбор наборов благ при заданных ценах и имеющемся доходе, стремиться максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. Для определения предпочтений экономических субъектов используют функцию полезности:

 

U=U(X, Y)

 

Выбирая между разными наборами благ, потребитель, очевидно, предпочтет те из них, полезность которых больше. Поэтому функция полезности иногда также называют функцией предпочтений.

Основоположным условием концепта функции полезности является рациональное поведение потребителя, выражающееся в выборе из многочисленных альтернатив именно тех, которые выводят его на более высокий уровень полезности. В микроэкономике концепт функции полезности служит для объяснения поведения потребителей и производителей, в то время как в макроэкономике им пользуются для изображения предпочтений государственных интересов.

 

Рис. 1. Функция полезности в общем виде

 

Исследуются разнообразные математические формы функции полезности:

• одномерные и многомерные,
• аддитивные (общая полезность набора благ равна сумме полезностей отдельных благ),
• порядковые и количественные,
• мультипликативные,
• монотонные и немонотонные,
• линейные и нелинейные,
• одночленные и полиномиальные.

Пусть на рынке потребителю предлагается n различных наборов благ где - количество i-го блага в натуральных единицах. Блага приобретаются по рыночным ценам соответственно. Стоимость набора благ - В распоряжении потребителя имеется ограниченное число денег R (доход). Ясно, что существует бюджетное ограничение

Полезность блага - это способность удовлетворять ту или иную потребность. Потребитель выбирает наиболее предпочтительный набор среди всех доступных. В XIX веке была введена функция полезности для предпочтения одного набора другому. Основное ее свойство в том, что потребитель предпочитает набор X, а не Y, если u(X)>u(Y), то есть она упорядочивает наборы по предпочтению.

 

Рис. 2

 

Рассмотрим пространство двух благ (товаров). Функция полезности u=u(x,y) - это субъективная числовая оценка полезности u набора товаров (x,y). Линии уровня функции полезности называют кривыми безразличия. Так как если то потребителю безразлично, каким набором обладать, так как они имеют одинаковую полезность.

Чем «северо-восточнее» расположена кривая безразличия, тем большему уровню она соответствует (рис. 2). Кривые безразличия являются убывающими.

В теории потребительского выбора большую роль играют предельные полезности, которые выражают дополнительное удовлетворение от потребления одной дополнительной единицы блага. Предельная полезность (marginal utility, MU) - прирост общей полезности, (дополнительная, добавочная полезность), которую получает потребитель при увеличении количества потребляемого блага на одну единицу (в предположении, что все прочие условия потребления остаются неизменными).

Предельные полезности положительны, так как с увеличением потребления блага его полезность возрастает. Вектор, координаты которого есть предельные полезности, называется вектором предельных полезностей. Таким образом .

Закон убывающей полезности гласит, что с увеличением потребления блага его предельная полезность убывает, то есть

 

Рис. 3.График предельной полезности

 

Совершенные товары-заменители. Если два товара обладают абсолютной взаимозаменяемостью, то можно смело предположить, что у них и равная полезность. То есть, если потребителю безразлично потреблять товар X1 или X2, то:

 

 

Совершенные комплементы. Случай, когда товары потребляются в определенной пропорции и любые «отклонения» не влияет на полезность (потребителя волнует только количество условных наборов. Например, кол-во пар обуви) :

 

, где a и b - положительные параметры.

 

Приведем пример: Оправы и количество линз. Если у вас одна оправа и две линзы, то добавление еще одной линзы( или оправы) при прочих равных условиях ничего не изменит.

Квазилинейные предпочтения. Представим себе набор кривых безразличия параллельных друг другу. Иначе говоря:

 

 

Откуда легко увидеть сказанное, преобразовав функцию полезности к параметрическому уравнению кривой безразличия:

 

Следовательно, чем больше k, тем выше находится параллельная кривая безразличия.

В заключении еще раз отметим, что функция полезности используется для определения предпочтений экономических субъектов. Она нужна для того, чтобы потребитель мог выбрать между различными наборами благ.

 

2. Производственная функция

 

Производство не может создавать продукцию из ничего. Процесс производства связан с потреблением различных ресурсов. В число ресурсов входит все то, что необходимо для производственной деятельности, - и сырье, и энергия, и труд, и оборудование, и пространство. Для того чтобы описать поведение фирмы, необходимо знать, какое количество продукта она может произвести, используя ресурсы в тех или иных объемах. Мы будет исходить из допущения, что фирма производит однородный продукт, количество которого измеряется в натуральных единицах - тоннах, штуках, метрах и т. д. Зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат ресурсов получила название производственной функции.

Рассмотрение понятия «производственная функция» начнем с наиболее простого случая, когда производство обусловлено только одним фактором. В этом случае производственная функция - это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции y=f(x).

В этой формуле y есть функция одной переменной x. В связи с этим производственная функция (ПФ) называется одноресурсной или однофакторной. Ее область определения - множество неотрицательных действительных чисел. Символ f является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск.

Пример 1. Возьмем производственную функцию f в виде f(x)=axb , где х - величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), f(x) - объем выпускаемой продукции (например, число готовых к отправке холодильников). Величины а и b - параметры производственной функции f. Здесь a и b - положительные числа и число b 1, вектор параметров есть двумерный вектор (a,b). Производственная функция у=axb является типичным представителем широкого класса однофакторных ПФ.

 

Рис. 1. График производственной функции в общем виде

 

На графике видно, что с ростом величины затрачиваемого ресурса y растет. Однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема y выпускаемой продукции. Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста объема у с ростом величины х) отражает фундаментальное положение экономической теории (хорошо подтверждаемое практикой), называемое законом убывающей эффективности (убывающей производительности или убывающей отдачи).

ПФ могут иметь разные области использования. Принцип "затраты-выпуск" может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом уровне. Сначала остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у=axb, рассмотренная выше, может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течение года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) - имеем микроэкономическую ПФ (МИПФ). На микроэкономическом уровне в роли производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

ПФ может быть использована для описания взаимосвязи между годовыми затратами труда в масштабе региона или страны в целом и годовым конечным выпуском продукции (или доходом) этого региона или страны в целом. Здесь в роли производственной системы выступает регион или страна в целом - имеем макроэкономический уровень и макроэкономическую ПФ (МАПФ). МАПФ строятся и активно используются для решения всех трех типов задач (анализа, планирования и прогнозирования).

Перейдем теперь к рассмотрению производственных функций нескольких переменных.

Производственная функция нескольких переменных - это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

 

y=f(x)=f(x1,…,хn).

 

В формуле у (у 0) - скалярная, а х - векторная величина, x1,…,хn -координаты вектора х, то есть f(x1,…,хn) есть числовая функция нескольких переменных x1,…,хn. В связи с этим ПФ f(x1,…,хn) называют многоресурсной или многофакторной. Более правильной является такая символика f(x1,…,хn,а), где а - вектор параметров ПФ.

По экономическому смыслу все переменные этой функции неотрицательны, следовательно, областью определения многофакторной ПФ является множество n-мерных векторов х, все координаты x1,…,хn которых неотрицательные числа.

График функции двух переменных невозможно изобразить на плоскости. Производственную функцию нескольких переменных можно представить в трехмерном декартовом пространстве, две координаты которого (x1 и x2) откладываются на горизонтальных осях и соответствуют затратам ресурсов, а третья (q) откладывается на вертикальной оси и соответствует выпуску продукта (рис. 2). Графиком производственной функции служит поверхность "холма", повышающаяся с ростом каждой из координат x1 и x2.

 

Рис. 2

 

Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный продукт, ПФ f(x1,…,хn) может связывать объем выпуска с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различных видов сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала. ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы).

При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х1(=К) - объем используемого в течение года основного капитала) и живой труд (х2(=L) - количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом, строят двухфакторную ПФ Y=f(K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

ПФ y=f(x1,x2) называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, то есть могут иметь представление в виде временных рядов: x1(0), x1(1),…, x1(Т); x2(0), x2(1),…, x2(Т); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x1(t), x2(t)). Здесь t - номер года, t=0,1,…,Т; t= 0 - базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1,2,…,Т.