Теория автоматического управления

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 

Особенностью современных  технологических процессов любой природы является их большая сложность. Эта сложность проявляется в значительном числе параметров, определяющих течение процесса, в большом числе внутренних связей между параметрами и их взаимном влиянии. Для исследования свойств таких сложных систем широко применяют различного рода модели.

Математическое  моделирование объектов управления 

Под моделью  понимают такой материально или  мысленно представляемый объект, который  в процессе исследования замещает объект-оригинал и отражает отдельные, ограниченные в нужном направлении стороны явления рассматриваемого процесса. Модели могут быть реализованы с помощью физических, реально существующих объектов (физические модели) или с помощью абстрактных объектов. Абстрактной моделью могут быть математические выражения, описывающие характеристики объекта моделирования. Таким образом, математическая модель – это приближенное отображение моделируемой системы с помощью уравнений и ограничивающих условий. Математическое описание основывается на физических, химических, энергетических и других закономерностях. Во многих случаях построение модели начинается с использования основных физических законов (законов Ньютона, Максвелла или Кирхгофа, законов сохранения энергии и импульса, законов перераспределения тепла и энтропии и т.д.) для математического описания исследуемого объекта, являющегося, например, механическим, электрическим или термодинамическим процессом.

Рассмотрим  примеры построения математических моделей различных объектов. 
 
Пример 1. Электрическая система представляет собой RC-схему, в которой за входное воздействие принято напряжение , а за выходной сигнал – напряжение (рисунок 2.1).  
 
Ток в цепи определяется током через конденсатор: 
 
. 
 
 
 
 
Рисунок 2.1 – RC-схема 
 
 
По закону Кирхгофа справедливо следующее соотношение: 
 
 
 
Обозначая , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка, описывающее поведение рассматриваемой электрической системы: 
 
. (2.1) 
 
Пример 2. Гидравлическая система представляет собой емкость цилиндрической формы, в которую поступает жидкость с объемной скоростью . Площадь основания емкости – , высота слоя жидкости – (рисунок 2.2). 
 
 
 
Рисунок 2.2 – Гидравлическая емкость 
 
 
Изменение объема жидкости в емкости определяется соотношением 
 
, 
 
где – объем жидкости. 
 
Учитывая, что объем цилиндра определяется по соотношению 
 
, 
 
уравнение, описывающее изменение уровня жидкости в рассматриваемой емкости примет вид: 
 
. (2.2) 
 
Пример 3. Гидравлическая система представляет собой емкость цилиндрической формы, в которую поступает жидкость с объемной скоростью и вытекает через отверстие в днище площадью с объемной скоростью . Площадь основания емкости – , высота слоя жидкости – (рисунок 2.3). 
 
 
 
 
Рисунок 2.3 – Гидравлическая емкость со стоком 
В данном случае изменение объема жидкости в емкости будет определяться разностью объемных скоростей подачи и истечения жидкости: 
 
. 
 
При равенстве притока и стока жидкости в системе будет наблюдаться стационарный режим, соответствующий постоянному уровню жидкости . 
 
Учтем, что скорость истечения жидкости зависит от высоты слоя жидкости в емкости по соотношению 
 
,  
 
где – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств жидкости, ускорения свободного падения и площади отверстия в днище. 
 
В итоге поведение рассматриваемой системы будет описываться нелинейным дифференциальным уравнением следующего вида:  
 
. (2.3) 

Структурные схемы систем автоматического управления 

В общем случае порядок исследования САУ включает математическое описание системы и  изучение ее переходных и установившихся режимов. Получение математической модели начинается с разбиения системы на звенья и описания этих звеньев. При рассмотрении принципа действия систем автоматического управления в п. 1.1 было дано понятие о функциональной схеме САУ (см. рисунок 1.2), где разбиение системы на звенья проводилось с учетом выполняемых ими функций, то есть с учетом их назначения. Для математического описания систему разбивают на звенья по другому принципу, а именно – исходя из удобства получения этого описания. Для этого систему следует разбить на возможно более простые звенья, обладающие свойством направленного действия.

Звеном направленного действия называют звено, передающее воздействие только в одном направлении – со входа на выход, так что изменение состояния такого звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход. Соответственно математическое описание всей системы в целом может быть получено как совокупность составленных независимо друг от друга уравнений или характеристик отдельных звеньев, образующих систему, дополненных уравнениями связи между звеньями. 
В результате разбиения САУ на звенья направленного действия и получения математического описания отдельных звеньев составляется структурная схема системы, которая и является ее математической моделью.  
Структурная схема САУ характеризует геометрию системы, то есть показывает, из каких элементов состоит система и как эти элементы связаны между собой. На схеме указывают прямоугольники, изображающие звенья, и пути распространения сигналов в системе в виде стрелок, соединяющих входы и выходы звеньев. Каждому звену структурной схемы придается описывающая его характеристика (передаточная функция), которая обычно записывается прямо внутри изображающего звено прямоугольника (рисунок 2.4).  
 
 
 
Рисунок 2.4 – Структурная схема САУ 
 
Получение структурной схемы является конечной целью математического описания системы автоматического управления. 
 
Преобразование Лапласа 

В настоящее  время под операционным исчислением  понимают совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений, а также разностных и некоторых типов интегральных уравнений. 
Операционное исчисление нашло широкое применение в теории автоматического регулирования, где с его помощью производится анализ переходных и установившихся процессов в автоматических системах. Сущность операционного метода заключается в использовании прямого преобразовании Лапласа (ППЛ), которое некоторой функции действительной переменной ставит в соответствие функцию комплексной переменной : 
 
, (2.4) 
 
где – переменная (множитель) Лапласа. 
 
Условием существования преобразования Лапласа является сходимость интеграла в правой части равенства (2.4). Минимальное значение параметра , при котором данный интеграл сходится, носит название абсциссы сходимости. 
 
Обратное преобразование Лапласа (ОПЛ) имеет вид: 
 
. (2.5) 
 
Функция носит называние оригинала, а функция – изображения. 
 
Для пары преобразований Лапласа используется также операторная форма записи: 
 
и  
 
где L – оператор Лапласа.  
 
Вычисление интегралов (2.4), (2.5) для некоторых видов функций может оказаться трудным или громоздким, поэтому для упрощения расчетов используют таблицы соответствий «оригинал–изображение» (таблица 1). 
 
Таблица 1 – Таблица оригиналов и их изображений ( – const)

 
 
Свойства преобразования Лапласа: 
 
1. Изображение суммы функций равно сумме изображений отдельных функций: 
 
. 
 
2. Временному запаздыванию функции в области оригиналов соответствует умножение ее изображения на множитель , где  
– время запаздывания: 
 
. 
 
3. При нулевых начальных условиях дифференцирование в области оригиналов соответствует в области изображений умножению изображения функции на переменную Лапласа в степени, соответствующей порядку производной: 
 
при условии, что , и т.д.  
 
При ненулевых начальных условиях правило расчета изображения для производной 1-го порядка имеет вид: 
 
. 
 
4. Интегрирование в области оригиналов соответствует делению на переменную Лапласа в области изображений: 
 
. 
 
5. Постоянная величина выносится за знак преобразования: 
 
, где .  
 
6. По виду изображения можно судить о начальном (при ) и предельном (при ) значениях оригинала (теоремы о начальном и конечном значениях): 
 
и . 
 

С помощью преобразования Лапласа существенно упрощается процедура решения дифференциальных или интегродифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Выделяют следующие этапы решения: 
1) преобразование заданного дифференциального уравнения по Лапласу, учитывая при этом начальные условия (то есть переход из области оригиналов в область изображений);

2) решение полученного  алгебраического уравнения относительно изображения;

3) переход от  изображения решения к его  оригиналу (например, с помощью  таблиц преобразования Лапласа).

 
Пример 4. Решить операторным методом Лапласа следующее дифференциальное уравнение (при нулевых начальных условиях): 
 
, . 
 
Выполним прямое преобразование Лапласа над исходным уравнением: 
 
. 
 
Учитывая 1-е свойство преобразования Лапласа, получим в левой части уравнения два слагаемых: 
 
. 
 
Применив 3-е и 5-е свойства к первому слагаемому в левой части уравнения и используя таблицу преобразований Лапласа для элемента в правой части уравнения, получим следующий результат: 
 
. 
 
Далее решим уравнение относительно изображения: 
 
,  
 
откуда по таблице преобразований Лапласа находим решение исходного дифференциального уравнения: 
 
. 
 
Применение преобразования Лапласа в теории автоматического управления связано с важнейшим понятием – передаточной функцией системы, относящейся к одной из основных характеристик САУ. 
 
Основные характеристики систем автоматического управления 

Динамические  свойства линейных звеньев и систем автоматического управления могут  быть описаны уравнениями или  графическими характеристиками. В теории автоматического управления применяют два типа таких характеристик – частотные и временные (переходные). 
Эти характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена. Имеется и обратная возможность – по экспериментально полученным характеристикам составить уравнение звена. Кроме того, с помощью этих характеристик можно определить реакцию звена на любое возмущение произвольного вида.Таким образом, частотные и временные характеристики однозначно связаны с уравнением звена и наряду с ним являются исчерпывающим описанием динамических свойств звена. 
К частотным характеристикам относятся передаточная функция системы и непосредственно частотная характеристика, к временным – переходная функция и импульсная характеристика. 

Передаточная  функция 
 
Рассмотрим отдельное звено САУ, на вход которого поступает воздействие , а на выходе формируется сигнал (рисунок 2.5).  
 
 
 
Рисунок 2.5 – Динамическое звено САУ 
 
Если для сигналов , существует преобразование Лапласа 
 
и , 

то передаточная функция звена определяется как отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях: 
 
. (2.6) 
 
Зная передаточную функцию звена и изображение входного воздействия , можно найти изображение выходного сигнала звена по соотношению: 
 
. (2.7) 

Далее, переходя от изображения  к оригиналу , получают процесс изменения выходного сигнала звена при приложении к нему входного воздействия. 

Для решения  аналогичной задачи при ненулевых  начальных условиях сначала требуется  получить выражение для изображения  выходного сигнала путем преобразования по Лапласу дифференциального уравнения  звена с учетом влияния начальных условий, а затем осуществить переход к оригиналу. 
Таким образом, передаточная функция полностью характеризует динамические свойства системы и поэтому является ее важнейшей характеристикой. Зная передаточную функцию системы, можно определить процесс изменения выходной координаты системы при наличии входного воздействия и заданных начальных условиях.

 
Пример 5. Вывести выражение для передаточной функции звена, описываемого дифференциальным уравнением  
 
 
 
при нулевом начальном условии: 
 
. 
 
Выполним над дифференциальным уравнением преобразование Лапласа: 
 
, 
 
откуда найдем передаточную функцию звена по соотношению (2.6): 
 
. 

Преобразование  структурных схем САУ. Отдельные звенья САУ могут быть соединены друг с другом в различных комбинациях. Зная передаточные функции звеньев, образующих сложную систему c заданной структурной схемой, можно получить передаточную функцию системы в целом, учитывая следующие правила преобразования.

1) При последовательном соединении  звеньев их передаточные функции  перемножаются. 
В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух последовательно соединенных звеньев с известными передаточными функциями (рисунок 2.6). 
 
 
 
Рисунок 2.6 – Последовательное соединение звеньев 
 
 
Учитывая соотношение (2.7), запишем изображения выходных сигналов каждого из звеньев: 
 
, 
 
. 
 
По определению передаточной функции системы (пунктир на рисунке 2.6) получим: 
 
. (2.8) 
 
2) При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются. 
 
В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из двух параллельно соединенных звеньев с известными передаточными функциями (рисунок 2.7). 
 
 
 
Рисунок 2.7 – Параллельное соединение звеньев 
 
 
Запишем изображения выходных сигналов каждого из звеньев и системы в целом (пунктир на рисунке 2.7): 
 
, 
 
,  
 
. 
 
Таким образом, передаточная функция системы определится как 
 
. (2.9) 
 
3) Замкнутая система (система с обратной связью). 
 
Выведем выражение для передаточной функции замкнутой системы, для которой известны передаточные функции разомкнутой системы и обратной связи (рисунок 2.8). 
 
 
 
 
– передаточная функция разомкнутой системы;  
 
– передаточная функция обратной связи 
 
Рисунок 2.8 – Система с обратной связью 

Запишем изображение  выходного сигнала разомкнутой  системы: 
 
, 
 
где ,  
 
. 
 
Осуществляя подстановку, получим: 
 
 
 
или 
 
. 
 
Обозначим передаточную функцию замкнутой системы (пунктир на рисунке 2.8) через , тогда конечная формула примет вид: 
 
. (2.10) 
 
Передаточная функция любого звена или системы в целом может быть представлена в виде отношения двух полиномов: 
 
. (2.11) 
 
Корни полинома в числителе выражения (2.11) носят название нулей передаточной функции, корни полинома в знаменателе – полюсов передаточной функции