Контрольная работа по "эконометрике"

Используем найденную  программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов  остаточной компоненты SSост = =76,97.

Таким образом, d = = 2,3.

 

 

Схема критерия:

Не вып.           Доп.пров.          вып.             Перейти к d`=4-d

_________________________________________

0         d1               d2           2                             4      d

 

Полученное значение d = 2,3 > 2, что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d' = 4 - d = 1,7 и сравним ее с двумя критическими уровнями d₁ = 0.88 и d₂ = 1.32, которые определяются по таблице d - статистик Дарбина-Уотсона (Приложение 3).

d' = 1,7 лежит в интервале от d₂ = 1.32 до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняется.

В учебных целях проверим выполнений свойства независимости  ряда остатков по первому коэффициенту автокорреляции

;

С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков

Следовательно, .

 

Критическое значение для  коэффициента автокорреляции определяется как отношение  и составляет для данной задачи 0,62

          вып                          не вып

___________________________

0                     rкр                       |r(1)|

Сравнение показывает, что |r(1)| = 0,18 < r_кр = 0,62, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

4)Соответствие ряда  остатков нормальному закону  распределения проверим с помощью R/S - критерия

 

С помощью функции  МАКС и МИН для ряда остатков определим  =6,3; =-3,61. Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет S_E = 3,101749 (таблица 2).

Тогда R/S = = 3,2

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S и при n = 10 составляет (2,67; 3,69)

3,2 ∈ (2,67; 3,69), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса-Маркова.

 

4.Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

t - статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 4.  Для свободного коэффициента a =12,57 определена статистика t(a) = 2,48. Для коэффициента регрессии b = 1,32, определена статистика t(b) = 9,42.

Критическое значение t_кр = 2,31 найдено для уровня значимости α = 5% и числа степеней свободы k = 10-1-1 = 8 (Приложение 1).

Схема критерия:

 

Сравнение показывает:

|t(a)| = 2,48 > t_кр = 2,31, следовательно, свободный коэффициент а является значимым.

|t(b)| = 9,42 > t_кр = 2,3, следовательно, коэффициент регрессии b является значимым, его и объем капиталовложений нужно сохранить в модели.

 

5. Вычислить коэффициент  детерминации, проверить значимость  уравнения регрессии с помощью  F- критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю  относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R-квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ (таблица 2). И составляет R² = 0,917 = 91,7%.

Таким образом, вариация (изменение) объема выпуска продукции (Y) на 91,7% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений (X).

Проверим значимость полученного  уравнения с помощью F - критерия Фишера.

F - статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 3) и составляет F = 88,71.

Критическое значение F_кр = 5,32 найдено для уровня значимости α = 5% и чисел степеней свободы k1 = 1, k = 8 (Приложение 2).

Схема критерия: 

        не знач.                           знач.

___________________________

0                     Fкр                          F

Сравнение показывает: F = 88,71 > F_кр = 5,32; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS (таблица 6).

                 Таблица 6

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Относ.погрешн
1	48,18797146	-2,18797146	4,756459691
2	48,18797146	-0,18797146	0,391607204
3	49,50703364	2,492966361	4,794166079
4	49,50703364	-2,50703364	5,334114126
5	61,37859327	1,621406728	2,573661473
6	62,69765545	6,302344546	9,133832676
7	64,01671764	-2,01671764	3,252770379
8	66,654842	0,345158002	0,515161197
9	70,61202854	-3,61202854	5,391087377
10	73,25015291	-0,25015291	0,342675213

 

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ).

Схема проверки:

Сравним: 3,65% < 5%, следовательно, модель является точной.

Вывод:  на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

 

6.Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Согласно условию  задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит 80% от 46, следовательно, . Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У:

.

Таким образом, если объем капиталовложений составит 36,8 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 61,11 млн. руб.

Зададим доверительную  вероятность и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Для этого нужно  рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:

Предварительно  подготовим:

-   стандартную  ошибку модели  (Таблица 2);

-  по столбцу  исходных данных Х найдем среднее  значение (функция СРЗНАЧ) и определим (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно,  стандартная  ошибка  прогнозирования  для  среднего  значения  составляет:

 

При размах доверительного интервала для среднего значения

 

Границами прогнозного  интервала будут

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 36,8 млн. руб., то ожидаемый  объем выпуска продукции будет  от 59,27 млн. руб. до 62,95 млн. руб.

 

 

7.Представить графически фактические и модальные значения Y точки прогноза.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

Затем с помощью  опции  Добавить линию тренда… построим линию модели: 

тип → линейная;  параметры → показывать уравнение на диаграмме. 

Покажем  на  графике  результаты  прогнозирования.  Для  этого  в  опции  Исходные данные добавим ряды:

Имя → прогноз; значения ;  значения ;

Имя → нижняя граница; значения ;  значения ;

Имя → верхняя граница; значения ; значения

8.Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной; показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.

Гиперболическая модель не является стандартной. 

Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим  и получим вспомогательную модель . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец  значений (остается без изменений) и столбец преобразованных значений (таблица 7).

Таблица 7

X	Y	1/х
27	46	0,037037037
27	48	0,037037037
28	52	0,035714286
28	47	0,035714286
37	63	0,027027027
38	69	0,026315789
39	62	0,025641026
41	67	0,024390244
44	67	0,022727273
46	73	0,02173913

 

С помощью программы  РЕГРЕССИЯ получим:

	Коэффициенты
Y-пересечение	105,4257639
Переменная X 1	-1569,007707

 

Таким образом, ; , следовательно, уравнение гиперболической модели .

С  помощью  полученного  уравнения  рассчитаем  теоретические  значения для каждого уровня исходных данных .

Покажем  линию  гиперболической модели  на  графике. Для  этого  добавим  к  ряду исходных данных ,  ряд теоретических значений .

Степенная модель является стандартной. Для ее построения используем Мастер диаграмм: исходные данные покажем с помощью точечной диаграммы, затем добавим линию степенного тренда и выведем на диаграмму уравнение модели.

 

Таким образом, уравнение степенной модели.

Показательная модель тоже стандартная (экспоненциальная).

Построим ее с помощью Мастера диаграмм.

Можно вычислить (функция EXP), тогда уравнение показательной модели .

 

 

 

 

9.Для указанных моделей найти коэффициента детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Заполним  для  каждой  модели  расчетную  таблицу, в которую занесем теоретические значения , найденные по соответствующему уравнению для каждого уровня  исходных  данных ;  ошибки  модели и  относительные  погрешности (таблицы 8-10).

Среднюю относительную  погрешность  найдем по столбцу с помощью функции СРЗНАЧ.

Индекс  детерминации  вычислим по формуле , для чего подготовим числитель дроби – функция СУММКВ для столбца ошибок и знаменатель – функция КВАДРОТКЛ для столбца Y.

Гиперболическая модель                              Таблица 8

X	Y	1/Х	Yt	E	Е отн
27	46	0,037037037	47,31851852	-1,31852	2,866345
27	48	0,037037037	47,31851852	0,681481	1,419753
28	52	0,035714286	49,39392857	2,606071	5,011676
28	47	0,035714286	49,39392857	-2,39393	5,093465
37	63	0,027027027	63,02432432	-0,02432	0,03861
38	69	0,026315789	64,14026316	4,859737	7,043097
39	62	0,025641026	65,19897436	-3,19897	5,159636
41	67	0,024390244	67,16146341	-0,16146	0,24099
44	67	0,022727273	69,77068182	-2,77068	4,135346
46	73	0,02173913	71,32108696	1,678913	2,299881