Корреляционно- регрессионный анализ: парная регрессия. Линейная и нелинейные модели регрессии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г.Р. ДЕРЖАВИНА»

 

 

 

 

 

 

Институт экономики

 

 

Модульная работа по эконометрике

«Корреляционно- регрессионный анализ: парная регрессия. Линейная и нелинейные модели регрессии».

 

 

 

 

Выполнила

Студентка 2 курса 201 группы

Левкович Е. А.

Проверила:

д.э. н., доцент Горбунова О.Н.

 

 

 

Тамбов 2014

Условие задачи.

Проанализировать зависимость стоимости минимального набора продуктов питания, рассчитанного по среднероссийским нормам потребления по Тамбовской области, от среднемесячной номинальной начисленной заработной платы в Тамбовской области. (Используя статистические данные за 2012-2013 года, представленные в таблице 1.1)1

Таблица 1.1

№	Месяц и год	Среднемесячная заработная плата в Тамб. обл., руб.	Стоимость минимального набора продуктов питания по Тамб. обл. (в рассчете на 1 чел. в месяц), руб.
1	Январь 2012	14455,7	2033,41
2	Февраль 2012	14292,2	2045,03
3	Март 2012	14879,4	2065,03
4	Апрель 2012	15951,3	2068,32
5	Май 2012	16788,6	2054,59
6	Июнь 2012	17254,7	2084,18
7	Июль 2012	17279,8	2133,98
8	Август 2012	16968,2	2147,98
9	Сентябрь 2012	17001,3	2112,62
10	Октябрь 2012	17417,3	2087,10
11	Ноябрь 2012	17508,3	2097,02
12	Декабрь 2012	22719,0	2116,73
13	Январь 2013	17161,9	2212,67
14	Февраль 2013	16528,5	2213,70
15	Март 2013	17275,7	2223,50
16	Апрель 2013	18235,5	2277,11
17	Май 2013	19286,7	2369,46
18	Июнь 2013	18839,3	2415,88
19	Июль 2013	19503,2	2459,32
20	Август 2013	19414,9	2359,85
21	Сентябрь 2013	18768,3	2282,45
22	Октябрь 2013	19969,7	2325,27
23	Ноябрь 2013	20452,8	2364,54
24	Декабрь 2013	20943,7	2408,80
25	Январь 2014	21317,5	2413,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Нам известны данные о среднемесячной номинальной начисленной заработной платы в Тамбовской области руб. и стоимости минимального набора продуктов питания, рассчитанного по среднероссийским нормам потребления по Тамбовской области руб.

Обозначим среднемесячную заработную плату (руб.) за X, а стоимость минимального набора продуктов питания (руб.) за Y. Данные приведены в таблице 1.2.

Таблица 1.2

№	X Среднемесячная заработная плата в Тамб. обл., руб.	Y Стоимость минимального набора продуктов питания по Тамб. обл. (в рассчете на 1 чел. в месяц), руб.
1	14455,7	2033,41
2	14292,2	2045,03
3	14879,4	2065,03
4	15951,3	2068,32
5	16788,6	2054,59
6	17254,7	2084,18
7	17279,8	2133,98
8	16968,2	2147,98
9	17001,3	2112,62
10	17417,3	2087,10
11	17508,3	2097,02
12	22719,0	2116,73
13	17161,9	2212,67
14	16528,5	2213,70
15	17275,7	2223,50
16	18235,5	2277,11
17	19286,7	2369,46
18	18839,3	2415,88
19	19503,2	2459,32
20	19414,9	2359,85
21	18768,3	2282,45
22	19969,7	2325,27
23	20452,8	2364,54
24	20943,7	2408,80
25	21317,5	2413,3

 

Рассмотрим зависимость между стоимостью минимального набора продуктов питания Y(руб.) от среднемесячной заработной платы X(руб.) по следующим данным, в n=25 месяцах.

Предположим, что связь между среднемесячной заработной платой X и стоимостью минимального набора продуктов питания Y линейная. Для подтверждения нашего предположения, построим поле корреляции (рис 1.1).

Рис 1.1 Поле корреляции

 

По данному рисунку видно, что точки выстраиваются в некоторую прямую линию, поэтому уравнение линейной регрессии ищем в виде линейного уравнения:   

Для нахождения параметров линейной регрессии и удобства дальнейших вычислений составим таблицу 1.3.

Таблица 1.3

Расчетная таблица для линейной модели

 

 

Для нахождения параметров линейного уравнения парной регрессии воспользуемся тремя способами:

1) По формулам:

где ;

,  ,  , 

Получили уравнение:

2)С помощью системы  нормальных уравнений:

 

          

 

 

3) Методом определителей (метод Крамера):

 
   
где - определители

 

Получили уравнение: .

По нему видим, что с увеличением среднемесячной заработной платы на 1 рубль, стоимость минимального набора продуктов питания увеличивается на 0,045 руб.

Формально   – значение при x=0. Если признак-фактор не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена не имеет смысла, т.е. параметр может не иметь экономического содержания.

Можно интерпретировать знак при параметре . Если > 0, то относительное изменение результата (стоимость минимального набора продуктов питания) происходит медленнее, чем изменение фактора (среднемесячная заработная плата). В полученном уравнении = , значит, в данном уравнении изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Также знак параметра определяет направление связи, больше нуля, поэтому связь является прямой и положительной.

Уравнение линейной регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи – линейным коэффициентом корреляции . Вычислим его:

Близость коэффициента корреляции к 1 указывает на тесную линейную связь между признаками.

 

Коэффициент детерминации:

показывает, что уравнением регрессии объясняется 50% дисперсии результативного  признака, а на долю прочих факторов приходится 50%.

Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера.  Вычислим фактическое значение  F – критерия: 

Табличное значение:

Признаем статистическую значимость уравнения в целом.

 

Рассчитаем t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

 

Фактические значения  t-статистик:

Табличное значение t-критерия Стьюдента при и числе степеней свободы есть  2,069

Так как:

признаем статистическую значимость параметров регрессии и показатели тесноты связи.

Средняя ошибка аппроксимации:

 

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка меньше 5% ( ), то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

 

Определим эластичность нашей модели:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится результат  при изменении фактора на 1 % от своего номинального значения. Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

Сделаем прогноз  при увеличении на 5%:

Найдем прогнозное значение результативного фактора при значении признака-фактора, составляющем 105% от среднего уровня , т.е. стоимость минимального набора продуктов питания, если среднемесячная заработная плата составит 18950,967 рублей.

Значит, если среднемесячная заработная плата достигнет , стоимость минимального набора продуктов питания составит (руб.).

Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза:

 

Доверительный интервал

= = 2,069 =17,6191

2265,3491

Т.е. прогноз является статистически надежным.

Теперь на одном графике изобразим исходные данные и линию регрессии:

 

Рис 2 .1 Поле корреляции и линия регрессии

Рассмотрим решение данной задачи на основе нелинейной модели регрессии.

Полулогарифмическая модель

Рассмотрим логарифмическую зависимость между фактором и результатом .

Для нахождения параметров регрессии применим замену и составим вспомогательную таблицу 2. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2. 1

Расчетная таблица для полулогарифмической модели

Найдем параметры уравнения регрессии:

Получили следующее уравнение регрессии:

Найдем индекс корреляции

А индекс детерминации который показывает, что 27,633% вариации результативного признака объясняется вариацией признака фактора, а  72,367% приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации:

составляет  % , что  говорит о хорошем качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

F-критерий Фишера:

; 
значительно превышает табличное .

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:

Рис.2.1. Поле корреляции и линия регрессии вида

Модель с квадратным корнем.

Рассмотрим следующую нелинейную модель- модель с квадратным корнем

Для нахождения параметров регрессии делаем замену и составляем вспомогательную таблицу 2. 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2. 2

Расчетная таблица для модели с квадратным корнем

Найдем уравнение регрессии:

Получили следующее уравнение регрессии:

.

Индекс корреляции находим по формуле:

 

Индекс детерминации который показывает, что 51,5% вариации результативного признака объясняется вариацией признака- фактора, а 48,5% приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации:

, показывает, что линия регрессии хорошо приближает исходные данные.

F-критерий Фишера:

 
значительно превышает табличное .