Лекции по "Экономике организации"

Методы исследования операций и область их применения для решения  задач управления социально-экономическими системами. Характеристика основных задач  исследования операций, связанных с  теорией массового обслуживания, теорией очередей и управлением  запасами.

Исследование операций (ИО) (англ. Operations Research, OR) — дисциплина, занимающаяся разработкой и применением методов нахождения оптимальных решений на основе математического моделирования, статистического моделирования и различных эвристических подходов в различных областях человеческой деятельности. Иногда используется название математические методы исследования операций.

Исследование операций — применение математических, количественных методов  для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Исследование операций начинается тогда, когда для обоснования  решений применяется тот или  другой математический аппарат. Операция — всякое мероприятие (система действий), объединённое единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели (напр., мероприятия  задач 1-8, указанных ниже, будут операциями). Операция всегда является управляемым  мероприятием, то есть зависит от человека, каким способом выбрать параметры, характеризующие её организацию (в  широком смысле, включая набор  технических средств, применяемых  в операции). Решение (удачное, неудачное, разумное, неразумное) — всякий определённый набор зависящих от человека параметров. Оптимальное — решение, которое  по тем или другим признакам предпочтительнее других. Цель исследования операций —  предварительное количественное обоснование  оптимальных решений с опорой на показатель эффективности. Само принятие решения выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции  ответственного лица (лиц). Элементы решения — параметры, совокупность которых образует решение: числа, векторы, функции, физические признаки и т. д. Если элементами решения можно распоряжаться в определённых пределах, то заданные («дисциплинирующие») условия (ограничения) фиксированы сразу и нарушены быть не могут (грузоподъёмность, размеры, вес). К таким условиям относятся средства (материальные, технические, людские), которыми человек вправе распоряжаться, и иные ограничения, налагаемые на решение. Их совокупность формирует множество возможных решений.[1]

 

Примеры: Составляется план перевозок  грузов из пунктов отправления А1, А2, …, Аm в пункты назначения В1, В2, …, Вn. Элементы решения — числа xij, показывающие, какое количество груза будет отправлено из i-го пункта отправления Аi в j-й пункт назначения Вj. Решение — совокупность чисел x11, x12, …, xm1, xm2, …, xmn

 

Характерная особенность исследования операций — системный подход к  поставленной проблеме и анализ. Системный  подход является главным методологическим принципом исследования операций. Он заключается в следующем. Любая  задача, которая решается, должна рассматриваться  с точки зрения влияния на критерии функционирования системы в целом. Для исследования операций характерно то, что при решении каждой проблемы могут возникать новые задачи. Важной особенностью исследования операций есть стремление найти оптимальное  решение поставленной задачи (принцип  «оптимальности»). Однако на практике такое решение найти невозможно по таким причинам:

отсутствие методов, дающих возможность  найти глобально оптимальное  решение задачи

ограниченность существующих ресурсов (к примеру, ограниченность машинного  времени ЭВМ), что делает невозможным  реализацию точных методов оптимизации.

В таких случаях ограничиваются поиском не оптимальных, а достаточно хороших, с точки зрения практики, решений. Приходится искать компромисс между эффективностью решений и  затратами на их поиск. Исследование операций дает инструмент для поиска таких компромиссов.

 Постановка задач  математического программирования. Оптимизационный подход к проблемам  управления социально-экономическими  системами. Допустимое множество  и целевая функция. Формы записи  задач математического программирования. Классификация задач математического  программирования.

Переход от административных к экономическим  методам управления производством, развитие рыночных отношений, распространение  договорных цен – все это нацеливает экономические службы на поиск наилучших  хозяйственных решений, обеспечивающих максимум результатов или минимум  затрат. Необходимость поиска таких решений обуславливается, прежде всего, существованием ограничений на факторы производства, в пределах которых предприятия (отдельные производители) постоянно функционируют. Если бы эти ограничения отсутствовали, то нечего было бы выбирать, не было бы и вариантов решений.

Известно, что определенный вид  продукции можно произвести, используя  различные технологические способы; в некоторых производствах возможна взаимозаменяемость материалов; один и тот же тип оборудования может  быть использован для производства различных видов продукции и т.п.

Как лучше организовать производство, по каким ценам выгодно производить  продукцию, как лучше всего использовать производственные ресурсы, которые  высвобождаются и т.п.?

На все эти вопросы позволяет  получить ответ математическое программирование, являющееся действенным инструментом принятия решений.

Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся изучением  экстремальных задач и разработкой  методов их решения.

В общем виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в  определении наибольшего или  наименьшего значения целевой функции  f(x1, х2,.........., xn) при условиях gi(x1, х2,.........., xn) ≤ bi, где f и gi — заданные функции, a bi — некоторые действительные числа.

В зависимости от свойств функций  f и gi математическое программирование можно рассматривать как ряд самостоятельных дисциплин, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

Прежде всего задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. При этом если все функции f и gi линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если же хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования. Наиболее изученным разделом математического программирования является линейное программирование. Для решения задач линейного программирования разработан целый ряд эффективных методов, алгоритмов и программ. Среди задач нелинейного программирования наиболее глубоко изучены задачи выпуклого программирования. Это задачи, в результате решения которых определяется минимум выпуклой (или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве.

В свою очередь, среди задач выпуклого  программирования более подробно исследованы  задачи квадратичного программирования. В результате решения таких задач  требуется в общем случае найти  максимум (или минимум) квадратичной функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой системе  линейных неравенств или линейных уравнений  либо некоторой системе, содержащей как линейные неравенства, так и  линейные уравнения.

В задачах целочисленного программирования неизвестные могут принимать  только целочисленные значения.

Задача, процесс нахождения решения  которой является многоэтапным, относится  к задаче динамического программирования.

1. Понятие математического программирования

Математическое программирование – это математическая дисциплина, в которой разрабатываются методы отыскания экстремальных значений целевой функции среди множества  ее возможных значений, определяемых ограничениями.

Наличие ограничений делает задачи математического программирования принципиально отличными от классических задач математического анализа  по отысканию экстремальных значений функции. Методы математического анализа  для поиска экстремума функции в  задачах математического программирования оказываются непригодными.

Для решения задач математического  программирования разработаны и  разрабатываются специальные методы и теории. Так как при решении  этих задач приходится выполнять  значительный объем вычислений, то при сравнительной оценке методов  большое значение придается эффективности  и удобству их реализации на ЭВМ.

Математическое программирование можно рассматривать как совокупность самостоятельных разделов, занимающихся изучением и разработкой методов  решения определенных классов задач.

В зависимости от свойств целевой  функции и функции ограничений  все задачи математического программирования делятся на два основных класса:

задачи линейного программирования,

задачи нелинейного программирования;

задачи динамического программирования.

Если целевая функция и функции  ограничений – линейные функции, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций  нелинейна, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей нелинейного программирования.

В широком смысле целевая  функция есть математическое выражение  некоторого критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.д.) в  сравнении с другим. Примером критерия в теории статистических решений  является среднеквадратический критерий точности аппроксимации. Цель – найти  такие оценки, при которых целевая  функция достигает минимума.

Важно, что критерий всегда привносится  извне, и только после этого ищется правило решения, минимизирующее или максимизирующее целевую функцию.

Составляющие  математической модели

Основой для решения экономических задач  являются математические модели.

Математической моделью задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих суть задачи.

Составление математической модели включает:

• выбор переменных задачи
• составление системы ограничений
• выбор целевой функции

Переменными задачи называются величины Х1, Х2, Хn, которые полностью характеризуют экономический процесс. Обычно их записывают в виде вектора: X=(X₁, X₂,...,X_n).

Системой ограничений задачи называют совокупность уравнений и неравенств, описывающих ограниченность ресурсов в рассматриваемой задаче.

Целевой функцией задачи называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти.

В общем случае задача линейного программирования может быть записана в таком виде:

 

Данная запись означает следующее: найти экстремум  целевой функции (1) и соответствующие  ему переменные X=(X₁, X₂,...,X_n) при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений (2) и условиям неотрицательности (3).

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой n-мерный вектор X=(X₁, X₂,...,X_n), удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.

Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений (ОДР).

Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.

Пример составления математической модели

Задача  использования ресурсов (сырья)

Условие: Для изготовления n видов продукции используется m видов ресурсов. Составить математическую модель.

Известны:

• b_i ( i = 1,2,3,...,m) — запасы каждого i-го вида ресурса;
• a_ij ( i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) — затраты каждого i-го вида ресурса на производство единицы объема j-го вида продукции;
• c_j ( j = 1,2,3,...,n) — прибыль от реализации единицы объема j-го вида продукции.

Требуется составить  план производства продукции, который  обеспечивает максимум прибыли при  заданных ограничениях на ресурсы (сырье).

Решение:

Введем вектор переменных X=(X₁, X₂,...,X_n), где x_j ( j = 1,2,...,n) — объем производства j-го вида продукции.

Затраты i-го вида ресурса на изготовление данного  объема x_j продукции равны a_ijx_j, поэтому ограничение на использование ресурсов на производство всех видов продукции имеет вид:  
Прибыль от реализации j-го вида продукции равна c_jx_j , поэтому целевая функция равна:

Ответ - Математическая модель имеет вид:

Каноническая  форма задачи линейного программирования

В общем  случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями  являются как уравнения, так и  неравенства, а переменные могут  быть как неотрицательными, так и  произвольно изменяющимися.

В том случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической.

Она может  быть представлена в координатной, векторной и матричной записи.

Каноническая  задача линейного программирования в координатной записи имеет вид:

Каноническая  задача линейного программирования в матричной записи имеет вид:

Здесь:

• А — матрица коэффициентов системы уравнений
• Х — матрица-столбец переменных задачи
• Ао — матрица-столбец правых частей системы ограничений

Нередко используются задачи линейного программирования, называемые симметричными, которые  в матричной записи имеют вид: