Авторегрессионная схема

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ 2

ВВЕДЕНИЕ 3

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МОДЕЛИ 4

2. ПОСТРОЕНИЕ  И АНАЛИЗ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 8

2.1 АНАЛИЗ  ИСХОДНОЙ МОДЕЛИ НА СООТВЕТСТВИЕ  ПРЕДПОСЫЛКАМ МНК 8

2.2 АНАЛИЗ  УЛУЧШЕННОЙ МОДЕЛИ 10

2.3 АВТОРЕГРЕССИОННАЯ  СХЕМА КАК МЕТОД УСТРАНЕНИЯ  АВТОКОРРЕЛЯЦИИ 11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 13

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 14

Приложение 1 Исходные данные 15

Приложение 2 Исходная модель и тесты 16

Приложение 3 Удаление незначимых переменных из модели 18

Приложение 4 Авторегрессионная схема как  метод устранения автокорреляции в  модели 20

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время можно  отметить сильное снижение роста  численности населения в большинстве экономически развитых стран мира. Эта проблема довольно остро стоит в ряде стран, где естественный прирост населения уже долгое время является стабильно отрицательным.

Нельзя оставить без внимания и тот факт, что большое, возможно и главное, влияние на естественный прирост населения оказывают  социально-экономические условия.

Актуальность этого исследования заключается в определении факторов, имеющих наибольшее влияние на изменение численности населения.

Целью работы является установление наличия значимого влияния социально-экономических условий жизни на изменение численности населения.

Для достижения цели в работе были поставлены следующие задачи:

1. изучение теоретических основ как социально-экономических условий населения, так и его численности, выделение факторов, их определяющих;
2. анализ имеющихся данных по Финляндии, построение эконометрической модели;
3. тестирование полученной модели;
4. внесение изменений при необходимости.

Объектом исследования является демографическая и экономическая ситуации в Финляндии.

Предметом исследования является нахождение взаимосвязи между изменениями численности населения и социально-экономической ситуации в промежутке времени с 1975 по 2011 год.

Методологическая основа работы:

1. выбор наиболее значимых показателей, отражающих социально-экономические условия в стране;
2. сбор информации;
3. построение регрессионной модели влияния выбранных факторов на численность населения.

 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И  СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МОДЕЛИ

Численность населения является одним из наиболее актуальных вопросов в современных развитых странах. Демографический кризис в Европе и СНГ заставляет ученых задуматься о причинах снижения рождаемости и его предпосылках.

Рост численности  населения страны зависит от характера его воспроизводства. Под воспроизводством (естественным движением) населения понимается совокупность процессов рождаемости, смертности и естественного прироста, которые обеспечивают возобновление и смену поколений. Рождаемость, смертность, естественный прирост населения – в основе своей процессы биологические, но, тем не менее, решающее воздействие на них оказывают социально-экономические условия жизни людей, а также взаимоотношения между ними в обществе и семье. Уровень рождаемости зависит от уровня жизни, влияющего на рождаемость посредством культурно-образовательного уровня семьи. Желание родителей продолжить свое обучение, обеспечить свой профессиональный рост и сделать карьеру резко снижает рождаемость. Родители, достигшие высокого уровня жизни, хотят обеспечить такой же уровень жизни своим детям. В связи с этим, в таких семьях растут семейные расходы на образование и воспитание детей, т.е. на их содержание. Чем выше уровень жизни – тем меньше детей, подобная закономерность существует с древних времен.

Для доказательства приведенных выше утверждений была построена модель множественной линейной регрессии, оценивающая влияние социально-экономических условий на численность населения.

В качестве эндогенной переменной (Y) был выбран уровень рождаемости как один из показателей, отражающий изменения в численности населения страны.

Экзогенными переменными  являются следующие показатели социально-экономического уровня: (Приложение 1):

• X₁ – полученные доходы долл. США;
• X₂ – безработица, % от рабочей силы;
• X₃ – инфляция, индекс цен, %;
• X₄ – расходы на образование, долл. США;
• X₅ –ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет.

Выборка бралась по Финляндии с 1975 по 2011 год.

Если исходить из экономической  теории, то взаимосвязь  таких экзогенных переменных, как полученные доходы, расходы на образование и ожидаемая  продолжительность жизни при  рождении, с эндогенной переменной должна быть обратно пропорциональной, т.к. при лучшем уровне жизни населения  в стране рождается меньше детей. А для безработицы и инфляции все наоборот – связь будет  прямо пропорциональной. То есть при  ухудшении уровня жизни (увеличение уровней безработицы и инфляции в стране) численность населения  растет.

Предварительный анализ рядов  указывает на отсутствие  стационарности как эндогенной, так и всех экзогенных переменных.

 

 

Корреляционный анализ экзогенных переменных свидетельствует о наличии  сильной корреляции переменных X4 и X5 с остальными:

 

	X1	X2	X3	X4	X5
X1	1.000000	0.104318	-0.493207	0.759549	0.870201
X2	0.104318	1.000000	-0.653130	0.603104	0.459648
X3	-0.493207	-0.653130	1.000000	-0.779260	-0.809745
X4	0.759549	0.603104	-0.779260	1.000000	0.940637
X5	0.870201	0.459648	-0.809745	0.940637	1.000000

 

Результаты предварительных  корреляционного анализа и анализа  рядов указывают на возможность  нарушения предпосылок МНК об отсутствии мультиколлинеарности и автокорреляции соответственно.

 

2. ПОСТРОЕНИЕ  И АНАЛИЗ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

2.1 АНАЛИЗ  ИСХОДНОЙ МОДЕЛИ НА СООТВЕТСТВИЕ  ПРЕДПОСЫЛКАМ МНК

В ходе работы была получена следующая эконометрическая модель:

Y = 41.6592 + 3.7253e-11*X1 + 0.0584*X2 + 0.0398*X3 - 6.3560e-11*X4 - 0.3933*X5

 (P)  (0,0167)     (0,3571)           (0,1533)          (0,4257)        (0,4896)            (0,0842)

R² = 0,8264   P (F) = 0,000   DW = 0,5217  (Приложение 2)

Несмотря на высокое значение коэффициента детерминации и нулевое  P-значение F-статистики, необходимо заметить, что P-значения всех переменных выходят не только за 5%-ный, но и большинства за 10%-ный уровень. Это говорит о статистической незначимости коэффициентов на приведенных уровнях. А модель, составленная из незначимых экзогенных переменных, не может быть адекватной.

Высокое значение коэффициента детерминации при низких t-статистиках экзогенных переменных есть формальный признак наличия в модели мультиколлинеарности. Это предположение подтверждается также предварительным корреляционным анализом, где высокие коэффициенты корреляции указывали на сильные связи между переменными.

Совокупность корреляционного  анализа и низких t-статистик свидетельствуют об отклонении от предпосылки МНК об отсутствии мультиколлинеарности в модели.

Следующей проверяемой предпосылкой будет отсутствие автокорреляции в  модели. Предварительный анализ стохастических свойств рядов переменных определил  нестационарность всех рядов: как эндогенной переменной «уровень рождаемости», так и всех экзогенных переменных. В большинстве случаев последствием этого является наличие автокорреляции в модели.

Кроме анализа стохастических свойств рядов, существует ряд тестов для определения наличия автокорреляции в модели, такие как статистика Дарбина-Уотсона, автокорреляционная функция, тест Бреуша-Годфри.

Статистика DW (DW = 0,5217), свидетельствует о наличии сильной положительной автокорреляции первого порядка, поскольку dl(5,37) = 1,19, что больше, чем в 2 раза, превышает полученные значения DW.

Приведем автокорреляционную функцию ACF (рисунок 2.1)

 

Рисунок 2.1автокорреляционная функция

На рисунке отчетливо заметна сильная автокорреляция первого и второго порядков, которые накладываются и на остальные порядки (P-значение во всех лагах равно 0,000).

В заключении приводится Тест Бреуша-Годфри, который только подтверждает вывод о наличии автокорреляции в модели:

BG=Obs*R-squared = 37*0.563014 = 20.83150; P (1) = 0,000;

Заключительной проверяемой  предпосылкой МНК является предпосылка  о наличии гомоскедастичности в  модели. Она проверяется с помощью теста Вайта:

Wh= Obs*R-squared = 37*0.752840=27.85509; P (19) = 0.0863

Полученные значения свидетельствуют  об отсутствии гетероскедастичности в модели на 8,63%-ном уровне.

Относительно знаков коэффициентов  можно сказать, что все, кроме  коэффициента при X1 (полученные доходы), соответствуют экономической теории. Данное несоответствие можно объяснить невыполнимостью предпосылки МНК об отсутствии мультиколлинеарности в модели.

Таким образом, в полученной модели нарушаются предпосылки метода наименьших квадратов об отсутствии мультиколлинеарности и автокорреляции, поэтому данная модель не является статистически значимой. Модель не пригодна для объяснения зависимости изменения численности населения от изменения социально-экономических условий в стране.

2.2 АНАЛИЗ  УЛУЧШЕННОЙ МОДЕЛИ

Первой предпосылкой, которая  исправляется в данной работе, является мультиколлинеарность. Существуют разные способы удаления ее из модели, но единственным подходящим для приведенных данных является исключение наиболее коррелирующих с остальными переменных (наиболее грубый из способов).

Чтобы все переменные стали  статистически значимыми из исходной модели пришлось исключить X2, X4, X5. Это было вынужденное действие, т.к. при сохранении одной из этих переменных модель резко ухудшалась. При этом необходимо вспомнить, что корреляционный анализ изначально указывал на то, что X4 и X5 наиболее сильно коррелируют с оставшимися переменными.

Таким образом, была получена новая модель (Приложение 3):

Y = 12.0497 - 7.0616e-11*X1 + 0.1362*X3

(P)      (0,000)        (0,000)              (0,000)  

R² = 0,7707     P (F) = 0,000    DW = 0,497849

 

После удаления незначимых переменных произошли существенные положительные изменения в модели:

1. отчетливо видно, что все переменные и даже свободный член статистически значимы (P-Значения равны нулю);
2. изменился знак при коэффициенте X1, что сделало модель полностью соответствующей теории;

 

Но также сохранились  или появились и отрицательные  стороны в модели:

1. Уменьшилось значение коэффициента детерминации, хоть и не существенно;
2. Статистика DW еще больше снизилась;
3. По тесту Бреуша-Годфри (BG=Obs*R-squared = 37*0.542709 = 20.08024; P (1) = 0,000) особых изменений не произошло;
4. Полученные значения в тест Вайта немного ухудшились (Wh=Obs*R-squared = 37*0,282830= 10,46470; P (5) = 0,0631)

 

В качестве вывода можно  сказать, что удаление незначимых переменных улучшило модель, но только относительно устранения мультиколлинеарности. Наличие автокорреляции сохраняется. Необходимо дальнейшее улучшение модели.

 

2.3 АВТОРЕГРЕССИОННАЯ  СХЕМА КАК МЕТОД УСТРАНЕНИЯ  АВТОКОРРЕЛЯЦИИ

Поскольку тема данной работы звучит как использование авторегрессионной схемы AR(k) для коррекции автокорреляции случайных отклонений, то данный метод и будет использоваться, а именно – авторегрессионная схема первого порядка.

В качестве коэффициента авторегрессии  берется оценка по статистике Дарбина-Уотсона из предыдущей модели: p=1-DW/2.

Была получена следующая  модель (Приложение 4):

 

Y-0.7510755*Y(-1) = 3.0514 - 5.58048e-11*(X1-0.7510755*X1(-1)) + 0.06102*(X3-0.7510755*X3(-1))

 

P (C) = 0,000;

P (X1-0.7510755*X1(-1)) = 0,0151;

P (X3-0.7510755*X3(-1)) = 0,0997.

R² = 0,198673     P (F) = 0,025874    DW = 1,441937.

 

Внесенные в модель изменения  можно трактовать по-разному. С одной  стороны, P–Значения экзогенных переменных выросли, по сравнению с исходным вариантом. Но все же на 10%-ном уровне все переменные являются значимыми.