Влияние особенностей производственных процессов на макроэкономическую устойчивость

Переход от многосекторных моделей к агрегированным малосекторным (когда рассматривается совместное функционирование нескольких секторов) – задача не тривиальная. В частности, как определить вид производственной функции для агрегированного сектора, если мы знаем вид производственных функций для каждого из входящих в него секторов?

Рассмотрим данную задачу применительно к модели (15) – (21) и объединим сектора 1 и 2 в единый производственный сектор (то есть перейдем от трехсекторной к двухсекторной модели).

Схематично двухсекторная модель выглядит следующим образом.

 

Рисунок 5 - Простейшая когнитивная модель двухсекторной экономики

 

Связи между секторами в трехсекторной модели отображены пунктирными линиями, связи в агрегированной двухсекторной модели - сплошными линиями. Видно, что количество связей в системе уменьшается, потому что часть из них становится внутренними.

Уменьшается и количество переменных:  в трехсекторной модели было пять переменных ( ), в двухсекторной модели их стало три ( ).

Соответственно, упрощается система уравнений, но при этом приходится делать ряд допущений, в частности:

поскольку мы объединяем сектора 1 и 2 в единый сектор, то целесообразно считать, что , поскольку это обусловлено потребностями производства. По той же логике можно не рассматривать цену , так как она стала внутренней для агрегированного производственного сектора (обоснованность этого допущения следует из теоремы Тихонова, поскольку является «быстрой» переменной);

целесообразно считать, что , тогда производственные затраты агрегированного сектора можно представить как:

 

;     (22)

 

вместо двух производственных функций остается одна F₁ – соответствующая выпуску конечной продукции, потребляемой населением, но эта функция должна зависеть уже не от U₁ (такой переменной уже нет), а от U_Σ: .

Будем считать, что денежная масса М постоянна, то есть:

.

 

В результате получаем систему:

 

Система уравнений становится проще, однако возникает проблема определения аналитического выражения для . Введем переменные u₁ и u₂, определяемые следующим образом:

 

      (26)

 

Поскольку выполняется  условие  , то используя (15) и (16) получаем:

    (27)

или

.      (28)

 

Рассмотрим «классический» случай (см. рисунок 3), когда во всех секторах экономики при расширении производства предельные издержки возрастают (с_i < 1). Пусть , тогда из (28) следует:

.      (28)

где .     (29)

Тогда .        (30)

  (31)

 

Из (31) видно, что функция имеет тот же вид (с точностью до постоянного коэффициента), что и функция .

Преобразуем систему (23)-(25), исключив из нее переменную U₃:

 

 

Исследуем равновесные  состояния системы. Приравнивая правые части к нулю, получаем алгебраические уравнения:

 

 

Откуда:

 

.      (36)

 

Из (33) определяем равновесное значение :

 

    (37)

где

.         (38)

 

Подставив полученное значение в уравнение (34), получим:

 

     (39)

 

На рисунке 6 графически представлено решение уравнения (39) относительно переменной 1/р₁. Левая часть уравнения (39) является прямой линией, проходящей через начало координат с коэффициентом наклона (линия 1 на рисунке). Правая часть уравнения представляет собой функцию , причем эта функция всюду вогнута (линия 2 на рисунке). Абсциссы точек пересечения линий, отображающих левую и правую части уравнения (39), являются действительными корнями этого уравнения. Корень 1/р₁= 0 соответствует точке неустойчивого равновесия, второй корень соответствует точке устойчивого равновесия. Устойчивое равновесие существует всегда.

 

Рисунок 6 – Графический способ нахождения корней уравнения (39)

 

Таким образом, можно сделать вывод, что если во всех секторах экономики при расширении производства предельные издержки возрастают (с_i < 1), то агрегированная производственная функция обладает этими же свойствами. При этом в системе существует устойчивое рыночное равновесие, которое является единственным. Это соответствует утверждению Адама Смита о «невидимой руке рынка».

 

Рассмотрим теперь неклассический случай (см. рисунок 4), когда в секторе 1 при расширении производства предельные издержки возрастают, а в секторе 2 – убывают (с₁ < 1, с₂ > 1). Пусть , тогда из (28) следует:

.    (40)

 

В результате для  u₂  получаем квадратное уравнение:

 

,        (41)

 

решением которого является выражение:

 

      (42)

 

Откуда получаем выражение  для агрегированной производственной функции  :

 

, (43)

 

которая в отличие  от (31) имеет сигмоидальный характер и не является всюду вогнутой.

Проведем анализ равновесных состояний системы. Повторяя преобразования (32)-(36), получаем, как и в предыдущем случае, равновесное значение и уравнение для определения равновесных значений р₁:

 

  (44)

 

На рисунке 7 графически представлены различные ситуации решения уравнения (44) относительно переменной 1/р₁. В этом случае левая часть уравнения (44) является прямой линией, проходящей через начало координат с коэффициентом наклона (см. линии 1, 2 и 3 на рисунке). Правая часть уравнения представляет собой функцию , которая имеет сигмоидальный характер (линия 4 на рисунке). Абсциссы точек пересечения линий, отображающих левую и правую части уравнения (44), являются действительными корнями этого уравнения.

 

Рисунок 7 – Графический способ нахождения корней уравнения (44)

 

Возможны три ситуации:

а) линии пересекаются один раз при 1/р₁ = 0 (см. линии 1 и 4 на рисунке). В этом случае устойчивых рыночных состояний при конечных значениях р₁  в системе нет. Система в рыночных условиях нестабильна: производство неуклонно падает, цены неограниченно растут;

б) линии пересекаются три раза (см. линии 3 и 4 на рисунке), соответственно, уравнение (44) имеет три действительных корня. Корень с большим значением 1/р₁ соответствует устойчивому рыночному состоянию, корень с меньшим значением 1/р₁ является границей существования рынка: справа от этого значения рынок возможен, слева – не возможен;

в) линии имеют две общих точки, причем одна из них является точкой касания (см. линии 2 и 4 на рисунке). Это граничное состояние между ситуациями, когда рынок возможен (см. ситуацию б)) и когда он не возможен (см. ситуацию а)).

Проведем анализ уравнения (44) и определим условия, при которых реализуются указанные ситуации.

Уравнение (44) может быть преобразовано к виду:

 

   (45)

 

где

,   ,  ,  (46)

 

причем x, s и w могут принимать только положительные значения.

Нас интересует выражение  в скобках, поскольку именно от него зависит количество действительных корней уравнения. Можно показать, что изменение количества действительных коней происходит при условии:

 

w = 4/27.          (47)

 

При w > 4/27 реализуется ситуация а), при w < 4/27 реализуется ситуация б), w = 4/27 реализуется ситуация в).

Из этого следует, что в рассматриваемых условиях устойчивое функционирование экономики, основанной на рыночных принципах, возможно далеко не всегда. Важным производственным показателем здесь является соотношение λ/(f₁·f₂): при низких его значениях рыночные отношения способствуют повышению экономической устойчивости, при высоких значениях – приводят к экономической дестабилизации.

Все вышесказанное было строго доказано для частного случая, когда с₁ = 2/3, а с₂ = 4/3. Однако полученные выводы сохраняются и в более общем случае с₁ < 1, с₂ > 1. Это обусловлено тем, что агрегированная производственная функция при с₁ < 1, с₂ > 1 всегда принимает сигмоидальный характер (в качестве иллюстрации на рис.8 приведены агрегированные производственные функции для случаев с₁ = 1/2, с₂ = 2 и с₁ = 2/3, с₂ = 8/3), что и определяет особый характер поведения экономической системы.

 

 

Рисунок 8 – Примеры агрегированных производственных функций при различных значениях с₁ и с₂ (по оси абсцисс – U_Σ/p₁, по оси ординат – F в относительных единицах)

 

Таким образом, из полученных результатов следует, что если для инфраструктурного сектора характерны уменьшающиеся предельные издержки, то рыночные механизмы не гарантируют устойчивость экономической системы: рыночная самоорганизация эффективна только когда производительность труда в экономике является достаточно высокой, а зависимость от инфраструктурного сектора не слишком большая. Если этого нет, то велика вероятность экономической нестабильности и необходимости перехода от рыночных к распределительным методам регулирования экономики.

 

 

Литература

 

1. Малков С.Ю., Кирилюк И.Л. Влияние особенностей производственных процессов на макроэкономическую устойчивость: базовая математическая модель // Стратегическая стабильность, 2009, №4(49), с.32-39. 

2. Кирдина С.Г., Малков С.Ю. Два механизма самоорганизации экономики: модельная и эмпирическая верификация (научный доклад) - М.: Институт экономики РАН, 2010.

¹ Предельные издержки – это дополнительные, добавочные издержки, которые вызваны выпуском дополнительной единицы продукта. Предельные издержки иногда называют дифференциальными издержками (т.е. разностными). Предельные издержки определяются как разность между последующими и предыдущими валовыми издержками.