Задачи по "Математическому моделированию в экономике"

1. В цехе имеются 3 группы взаимозаменяемого оборудования с мощностями до 400, 850 и 300 нормо-часов в месяц.  Цеху дан план выпуска 5 видов продукции соответственно в объемах: П1 – 600 единиц, П2 – 350, П3 – 450, П4 – 500 и П5 – 600.

Время изготовления единицы  каждого вида продукции на первом оборудовании составляет 0,3 , 0,6 , 0,4 , 0,8 и 0,5 часа, на втором 0,6 , 0,8 , 0,7 , 1,2 и 0,9 часа, на третьем: 1,4 , 0,5 , 0,9 , 0,6 и 1 часа.

Затраты на изготовление единицы  продукции на первом оборудовании равны 20, 10, 40, 50 и 80 руб., на втором – 50, 40, 40, 30 и 60, третьем – 65, 90, 30, 20 и 50.

Отпускная цена единицы каждого  вида продукции – 80, 100, 60, 50 и 85 руб. Составить  план размещения заказов, гарантирующий  выполнение задания и обеспечивающий выпуск максимального числа комплектов, каждый из которых включает три изделия  П1, одно изделие П2, два изделия П3, четыре изделия П4 и три изделия П5.

 

Решение.

Группы оборудования	Выпускаемая продукция					Объем ресурса в нормо-часах
	П1	П2	П3	П4	П5
1     2     3	20          0,3 Х11   50          0,6 Х21   65          1,4 Х31	10          0,6 Х12   40          0,8 Х22   90          0,5 Х32	40          0,4 Х13   40          0,7 Х23   30          0,9 Х33	50          0,8 Х14   30          1,2 Х24   20          0,6 Х34	80          0,5 Х15   60          0,9 Х25   50             1 Х35	400     850     300
Запланировано выпустить Отпускная цена Комплектность	600   80   3	350   100   1	450   60   2	500   50   4	600   85   3

 

Целевая функция – максимизация числа комплектов Х.

Модель задачи :  мах: Z = X

 

При ограничениях:

На ресурсы оборудования:

0,3х11  + 0,6 х12 + 0,4 х13 + 0,8 х14 + 0,5 х15 ≤ 400;

0,6х21 + 0,8х22 + 0,7х23 + 1,2х24 + 0,9х25 ≤ 850;

1,4х31 + 0,5х32 + 0,9х33 + 0,6х34 + 1х35 ≤ 300;

 

На комплектность выпуска:

х11+ х21 + х31 = 3х;

х12+ х22 + х32 =x;

х13+ х23 + х33 =2x;

х14+ х24 + х34 =4x;

х15+ х25 + х35 =3x;

хij≥0, x≥0.

 

2. Решить задачу графически

2х1 - 3х2 → max

5х1 + 2х2 ≥10

х1+ 3х2 ≤12

х1≥0

х2≥0

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему  неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости  обозначены штрихом).

 

или

 

Границы области допустимых решений.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию  неравенствам системы ограничений  задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений. 

Рассмотрим целевую функцию  задачи F = 2x₁-3x₂ → max.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x₁-3x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Равный масштаб.

Область допустимых решений  представляет собой одну точку.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (3) и (1), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 
x₂=0 
5x₁+2x₂≥10 
 
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 2, x₂ = 0 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
F(X) = 2*2 - 3*0 = 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.  Даны пункты производства и пункты потребления, объемы производимого и потребляемого в них продукта. Задана матрица транспортных издержек. Найти оптимальный план перевозок некоторого однородного продукта из пунктов производства в пункты потребления 

            2     4   1    3      30

            5    6    5    4      20

            3   7    9  7      50

            35 20 55 30

 

Решение.

 

Стоимость доставки единицы  груза из каждого пункта отправления  в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	Запасы
1	2	4	1	3	30
2	5	6	5	4	20
3	3	7	9	5	40
4	1	2	2	7	50
Потребности	35	20	55	30

 

Проверим необходимое  и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 30 + 20 + 40 + 50 = 140

∑b = 35 + 20 + 55 + 30 = 140

Занесем исходные данные в  распределительную таблицу.

	1	2	3	4	Запасы
1	2	4	1	3	30
2	5	6	5	4	20
3	3	7	9	5	40
4	1	2	2	7	50
Потребности	35	20	55	30

 

Этап I. Поиск первого  опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

	1	2	3	4	Запасы
1	2	4	1[30]	3	30
2	5	6	5	4[20]	20
3	3	7[5]	9[25]	5[10]	40
4	1[35]	2[15]	2	7	50
Потребности	35	20	55	30

 

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз  вывезены, потребность магазинов  удовлетворена, а план соответствует  системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых  клеток таблицы, их 7, а должно  быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный  план является невырожденным.

Значение целевой функции  для этого опорного плана равно:

Этап II. Улучшение  опорного плана.

Проверим оптимальность  опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=-2	v2=-1	v3=1	v4=-3
u1=0	2	4	1[30]	3
u2=7	5	6	5	4[20]
u3=8	3	7[5]	9[25]	5[10]
u4=3	1[35]	2[15]	2	7

 

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных  клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;4): 7

Для этого в перспективную  клетку (4;4) поставим знак «+», а в  остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	2	4	1[30]	3	30
2	5	6	5	4[20]	20
3	3	7[5][+]	9[25]	5[10][-]	40
4	1[35]	2[15][-]	2	7[+]	50
Потребности	35	20	55	30

 

Цикл приведен в таблице (4,4; 4,2; 3,2; 3,4; ).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 4) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	2	4	1[30]	3	30
2	5	6	5	4[20]	20
3	3	7[15]	9[25]	5	40
4	1[35]	2[5]	2	7[10]	50
Потребности	35	20	55	30

 

Проверим оптимальность  опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=-2	v2=-1	v3=1	v4=4
u1=0	2	4	1[30]	3
u2=0	5	6	5	4[20]
u3=8	3	7[15]	9[25]	5
u4=3	1[35]	2[5]	2	7[10]

 

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных  клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;1): 5

Для этого в перспективную  клетку (2;1) поставим знак «+», а в  остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	2	4	1[30]	3	30
2	5[+]	6	5	4[20][-]	20
3	3	7[15]	9[25]	5	40
4	1[35][-]	2[5]	2	7[10][+]	50
Потребности	35	20	55	30