Задачи по экономико-математическому моделированию

fy"> - линейная трендовая модель 

4) Оценить адекватность построенной моделей

1. Свойство независимости остаточной компоненты. Применяем критерий Дарбина – Уотсона.

При сравнении d_расч могут возникнуть 4 ситуации:

1. 0 < d_расч < d₁ – свойство не выполняется, остатки зависимы;
2. d₁ < d_расч < d₂ – критерий ответа не дает, необходимо применение другого коэффициента (например, 1-ого коэффициента автокорреляции);
3. d₂ < d_расч < 2 – свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция в ряду остатков отсутствует;
4. 2 < d_расч < 4 – находим d’ = 4-d_расч.

Для n = 9, α = 0,05, d₁ = 0.82, d₂ = 1.32.

Поскольку, 2 < d_расч < 4 – находим d¢ = 4 – d_расч = 4 – 2,281 = 1,719

Теперь  d¢ сравниваем с табличными значениями

d₂ = 1,32 < d¢ = 1,719 < 2, следовательно свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция отсутствует; 

 
 
 
 
 
 
 

2. Свойство  случайности остатков. Применяем критерий поворотных точек (критерий пиков).

График  остатков

Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или  меньше).

По графику  видно, что m = 5.

Число поворотных точек должно быть больше, чем

Квадратные  скобки означают, что берется целая часть числа

m = 5 > 2. Неравенство выполняется, значит, свойство выполняется, остатки имеют случайный характер. 

3. Свойство  соответствия нормальному  закону распределения. Применяем R/S-критерий.

Расчетное значение R/S – критерия находим по формуле:

           

Критическими  значениями R/S – критерия являются 2,7 и 3,7.

2,7 < R/S = 2,807 < 3,7. Расчетное значение попадает внутрь табличного интервала, значит свойство выполняется, распределение остаточной компоненты соответствует нормальному закону распределения. 

Вывод: т.к. рядом остатков выполняются все свойства, то линейная трендовая модель считается адекватной. 

5. Оценим  точность модели с  помощью средней  относительной ошибки аппроксимации:

     S <  7%, модель считается точной. Расчетные значения спроса отличаются от фактических у(t) на 2,5%.

      Линейная  трендовая модель является адекватной и точной, следовательно она качественная и ее можно использовать для дальнейшего прогнозирования. 

6. Осуществить прогноз спроса на следующие две недели

Точечный  прогноз

Интервальный  прогноз

, где 

- ширина доверительного интервала.

S_прогн – средняя квадратическая ошибка прогноза

t_α – критерий Стьюдента

       

= 60

     

Критерий Стьюдента на уровне значимости α = 0,3 с числом степеней свободы n – 2 = 9 – 2 = 7 составит 1,119.

(10) = 1,119 ∙ 0,424 = 0,474    (11) = 1,119 ∙ 0,449 = 0,502

28,274 ± 0,474 – интервальный прогноз при к=1

27,800 – нижняя граница

28,748 – верхняя граница

30,907 ± 0,502 – интервальный прогноз при к=2

30,405 – нижняя граница

31,409 – верхняя граница

С вероятностью 70 % можно утверждать, что спрос  на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю окажется в пределах от 27,8 млн.руб. до 28,748 млн.руб., а на 11-ую неделю – от 30,405 до 31,409 млн.руб.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение 1

Представим  исходный рабочий лист Excel:

В ячейку Е4 занесем целевую функцию. Для  этого воспользуемся встроенной математической функцией СУММПРОИЗВ.

     В аргумент Массив 1 заносим ячейки, содержащие значение переменных Х₁, Х₂, Х₃ (В3:D3). Нажимаем клавишу <F4>, чтобы этот аргумент остался постоянным. В Массив 2 заносим значения с ценами на изделия (ячейки В4:D4). Нажимаем ОК.

     Копируем  ячейку с целевой функцией в ячейки с левыми частями ограничений. Получаем:

 

Теперь  используем надстройку Поиск решения:

     В Параметрах делаем отметки: Линейная модель и Неотрицательные значения, нажимаем ОК.

В окне Поиска решения нажимаем клавишу  Выполнить. Получаем:

Ответ: f(x) = 4000, при х₁ = 40, х₂ = 40, х₃ = 0.