Интегральная теорема Муавра - Лапласа

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА —  ЛАПЛАСА

Ранее решена задача о нахождении вероятности того, что в n независимых испытаниях событие состоится m раз. Но часто нужно знать вероятность наступления события не одно определенное число раз, а число раз, заключенное в некоторых границах.

Например, пусть  требуется найти вероятность  того, что из 1000 новорожденных мальчиков  будет от 455 до 545 включительно. Искомое событие состоит в том, что мальчиков будет или 455, или 456 и т. д. до 545. По теореме сложения вероятность искомого события равна сумме вероятностей указанных распределений детей по полу:

Каждое слагаемое нетрудно найти  по локальной формуле Муавра —  Лапласа при известной вероятности  рождения мальчика, и задача, кажется, будет решена. Но вычисление 91 слагаемого и последующее сложение их очень утомительно, а поэтому предложенный метод решения неприемлем.

Поэтому возникает необходимость  найти иной метод определения  вероятностей таких событий, который  обеспечивал бы получение достаточно точных значений искомых вероятностей посредством простых выкладок. Ответ на поставленную задачу дает интегральная теорема Муавра – Лапласа.

Интегральная  теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А состоится число раз, заключенное в границах от а до b включительно (а < b), приближенно равна:

где функция Ф (х) определяется равенством

Формула называется интегральной формулой Муавра— Лапласа. Получаемые по интегральной и локальной формулам Муавра — Лапласа вероятности достаточно точны, если произведение nр составляет несколько сотен. В задачах, не требующих большой точности ответа, можно пользоваться этими формулами и в случаях, когда произведение np имеет небольшое значение, однако не меньшее 20.

Функция Ф(х), которая определена равенством, указанным выше, табулирована. Чтобы успешно пользоваться этой таблицей, необходимо знать свойства функции Ф(х). Рассмотрим их.

1. Функция Ф(х) нечетная, т. е. Ф (—х) = — Ф(х).
2. Функция Ф(х) монотонно возрастающая.
3. Предел функции Ф(х) при равен единице.
4. Для всех значений х > 5 можно считать, что . Уже Ф (5) = 0,99999994, а тем более Ф (х) » 1, если х > 5, так как при увеличении х функция Ф (х) возрастает, но не может превосходить. Поэтому в таблицах функция дана для значений х > 5.

Пример. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных будет от 456 до 545 мальчиков, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

Решение. x₂ =1.898, x₁ =-3.797. P=0.5(Ф(1,898)+Ф(3,797))=0,9711.