Исследование зависимости между показателями общего дохода от связи и доходом от радиосвязи при помощи моделей парной линейной и нелинейн

Практическая  часть.

Постановка  задачи.

По данным таблицы просчитать и проанализировать линейные и нелинейные зависимости  дохода от услуг радиосвязи - у (млрд.руб.) от общего дохода от услуг связи- х (млрд.руб).  Составить итоговую таблицу, сделать выводы.

1. ŷ = a+b*x – линейная модель;
2. ŷ = a+b/x – гиперболическая модель;
3. ŷ = a+b*lnx -  полулогарифмическая модель;
4. ŷ = a+b*x^α – степенная модель.

α € [0,2; 1,2] 

Рассчитать  прогнозное значение при х = 1500 , в исследование включить следующие характеристики:

1. Коэффициент корреляции;
2. Коэффициент детерминации;
3. Скорректированный коэффициент детерминации;
4. t статистики Стьюдента;
5. Стандартные ошибки;
6. F критерий Фишера;
7. Уравнение регрессии;
8. Уравнение значимости;
9. Точечный и интервальный прогноз при х = 1500.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

x y 2003 395,6422 13,3157 2004 540,25 16,1055 2005 659,9095 22,2359 2006 536,6031 25,0713 2007 1035,9497 34,5229 2008 1221,4997 42,4365 2009 1274,2573 44,0824 2010 1355,5499 47,3477

 

 

Рис. 1 
 

   Проведенный визуальный анализ показал, что для  данного вида распределения целесообразно  рассмотрение модели парной линейной регрессии, а также нескольких видов  степенных моделей, гиперболическую  и полулогарифмическую модели. 

1. Для начала рассмотрим линейную модель

    ŷ = a + b*x

R= 0,97944183

R²= 0,95930631

Скорректированный коэффициент детерминации = 0,95252403

F(1,6)=141,44

   Данное  значение коэффициента детерминации показывает, что почти 98% доли дисперсии объясняется  полученным уравнением парной регрессии  и только 2% доли приходится за счет не учтенных случайных факторов.  

Таблица 2

Параметры модели (а, b) Стандартная ошибка отклонения (dа, db) t – критерий   Стъюдента Уровень значимости Constanta a 1,102875 2,684839 0,41078 0,695502 Переменная x 0,033662 0,002830 11,89298 0,000021

 

ŷ = 1,102875+ 0,033662*x

Модель является частично незначимой, т.к. уровень значимости = 0,695502› 0,05

Прогнозное  значение  = 51,59567

ŷ є (46,61387; 56,57748)

2. Рассмотрим гиперболическую модель: 

  ŷ = a + b\x

R= 0,94105437 

R²= 0,88558333 

Скорректированный коэффициент детерминации = 0,86651389 

F(1,6)=46,440

  Данное  значение коэффициента детерминации показывает, что 88% доли дисперсии объясняется  полученным уравнением парной регрессии  и 12% доли приходится за счет не учтенных случайных факторов.  
 

Таблица 3

Параметры модели (а, b) Стандартная ошибка отклонения (dа, db) t – критерий   Стъюдента Уровень значимости Constanta a 56,8 4,198 13,52186 0,000010 Переменная  х -18892,3 2772,288 -6,81468 0,000490

 

ŷ = 56,8 -18892,3/х

Прогнозное  значение  = 44,1664

ŷ є (37,7552; 50,5776)

  Полученное  значение коэффициента корреляции подтвердило  наличие тесной линейной взаимосвязи  между переменными х и у. Высокий  уровень коэффициента детерминации и значения критериев значимости свидетельствуют о том, что полученная модель является качественной, значимой и адекватной.

     

Рис. 3

3. Рассмотрим полулогарифмическую модель:

ŷ = a + b*lnx

R= 0,97007101 

R²= 0,94103777  

Скорректированный коэффициент детерминации = 0,93121073 

F(1,6)=95,760

Таблица 4

Параметры модели (а, b) Стандартная ошибка отклонения (dа, db) t – критерий   Стъюдента Уровень значимости Constanta a -149,622 18,46175 -8,10441 0,000189 Переменная  х 26,974 2,75644 9,78571 0,000066

 

ŷ = -149,622+ 26,974*lnx

Прогнозное значение = 47,643

ŷ є (42,437; 52,849)

  Полученное  значение коэффициента корреляции подтвердило  наличие тесной линейной взаимосвязи  между переменными Х и У. Высокий  уровень коэффициента детерминации и значения критериев значимости свидетельствуют о том, что полученная модель является качественной, значимой и адекватной.

  

Рис. 4

4. Рассмотрим степенную модель:

1. ŷ = a + b*x ^0.2

 

R= 0,97330492 

R²= 0,94732246 

Скорректированный коэффициент детерминации = 0,93854287 

F(1,6)=107,90

Таблица 5

Параметры модели (а, b) Стандартная ошибка отклонения (dа, db) t – критерий   Стъюдента Уровень значимости Constanta a -106,032 13,20836 -8,02763 0,000200 Переменная  х 35,768 3,44341 10,38752 0,000047

 

ŷ = -106,032 + 35,768*x^0.2

Прогнозное  значение = 48,393

ŷ є (43,338; 53,449)

  Полученное  значение коэффициента корреляции подтвердило  наличие тесной линейной взаимосвязи  между переменными Х и У. Высокий  уровень коэффициента детерминации и значения критериев значимости свидетельствуют о том, что полученная модель является качественной, значимой и адекватной.

  Рис. 5

2. ŷ = a + b*x^0.4

 

R= 0,97579720

R²= 0,95218018

Скорректированный коэффициент детерминации = 0,94421021

F(1,6)=119,47

Таблица 6

Параметры модели (а, b) Стандартная ошибка отклонения (dа, db) t – критерий   Стъюдента Уровень значимости Constanta a -38,7848 6,447094 -6,01585 0,000951 Переменная  х 4,7184 0,431678 10,93028 0,000035

 

ŷ = -38,7848+ 4,7184*x0.4

Прогнозное значение = 49,1636

ŷ є (44,2123; 54,1150)

  Полученное  значение коэффициента корреляции подтвердило  наличие тесной линейной взаимосвязи  между переменными х и у. Высокий  уровень коэффициента детерминации и значения критериев значимости свидетельствуют о том, что полученная модель является качественной, значимой и адекватной.

     

Рис. 6

3. ŷ = a + b*x^0.6

 

R= 0,97760949 

R²= 0,95572031 

Скорректированный коэффициент детерминации = 0,94834036 

F(1,6)=129,50

Таблица 7

Параметры модели (а, b) Стандартная ошибка отклонения (dа, db) t – критерий   Стъюдента Уровень значимости Constanta a -16,4970 4,276561 -3,85753 0,008386 Переменная  х 0,8257 0,072562 11,37991 0,000028

 

ŷ = -16,4970+ 0,8257*x^0.6

Прогнозное  значение = 49,9538

ŷ є (45,0523; 54,8553)

  Полученное  значение коэффициента корреляции подтвердило  наличие тесной линейной взаимосвязи  между переменными х и у. Высокий  уровень коэффициента детерминации и значения критериев значимости свидетельствуют о том, что полученная модель является качественной, значимой и адекватной.

     

Рис. 7 

4. ŷ = a + b*x^0.8

 

R= 0,97880412 

R²= 0,95805750 

Скорректированный коэффициент детерминации = 0,95106708