Контрольная работа по « Экономико-математическое моделирование»

Министерство сельского хозяйства РФ

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Алтайский государственный аграрный университет»

 

 

Кафедра информационных технологий

 

Контрольная работа дисциплине

« Экономико-математическое моделирование»

 

 

 

 

 

 

Выполнил (а):  Арчакова О.А.

студент(ка) экономического

факультета направления

"Менеджмент"

заочной формы обучения

№ з/к - 121520

Проверила:

Тумбаева Н.В.

 

 

 

 

 

Барнаул - 2014

 

Содержание

Задание 1………………………………………………………2

Вопрос 1………………………………………………………..2

Вопрос 16………………………………………………………4

Вопрос 21………………………………………………………6

Задание 2...................................................................................8

Задание 3………………………………………………………15

Задание 4………………………………………………………19

Задание 5……………………………………………………….25

Список литературы…………………………………………..27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос 1

Роль и место экономико-математических методов и моделирования в решении экономических проблем в условиях проведения экономической реформы.

 

Ответ

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Экономико-математическое моделирование является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Бурное развитие математического анализа, исследования операций, теории вероятностей и математической статистики способствовало формированию различного рода моделей экономики.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Почему можно говорить об эффективности применения методов моделирования в этой области? Во-первых, экономические объекты различного уровня (начиная с уровня простого предприятия и кончая макроуровнем - экономикой страны или даже мировой экономикой) можно рассматривать с позиций системного подхода. Во-вторых, такие характеристики поведения экономических систем как:

- изменчивость (динамичность);

- противоречивость поведения;

- тенденция к ухудшению характеристик;

- подверженность воздействию окружающей среды

предопределяют выбор метода их исследования.

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

 

Вопрос 16

Решение задач линейного программирования симплексным методом с естественным базисом

Ответ

Для применения этого метода задача линейного программирования должна быть сформулирована в канонической форме, причем матрица системы уравнений должна содержать единичную подматрицу размерностью . В этом случае очевиден начальный опорный план (неотрицательное базисное решение).

Для определенности предположим, что первые Т Векторов матрицы системы составляют единичную матрицу. Тогда очевиден первоначальный опорный план: .

Проверка на оптимальность опорного плана проходит с помощью критерия оптимальности, переход к другому опорному плану — с помощью преобразований Жордана-Гаусса и с использованием критерия оптимальности.

Полученный опорный план снова проверяется на оптимальность и т. д. Процесс заканчивается за конечное число шагов, причем на последнем шаге либо выявляется неразрешимость задачи (конечного оптимума нет), либо получаются оптимальный опорный план и соответствующее ему оптимальное значение целевой функции.

Признак оптимальности заключается в следующих двух теоремах.

Теорема 1. Если для некоторого вектора, не входящего в базис, выполняется условие:

, где  ,

То можно получить новый опорный план, для которого значение целевой функции будет больше исходного; при этом могут быть два случая:

1. Если все координаты вектора, подлежащего вводу в базис, неположительны, то задача линейного программирования не имеет решения;

2. Если имеется хотя бы одна  положительная координата у вектора, подлежащего вводу в базис, то  можно получить новый опорный  план.

Теорема 2. Если для всех векторов выполняется условие , то полученный план является оптимальным.

На основании признака оптимальности в базис вводится вектор , давший минимальную отрицательную величину симплекс-разности: .

Чтобы выполнялось условие неотрицательности значений опорного плана, выводится из базиса вектор Г, Который дает минимальное положительное отношение:

; , .

Строка Называется Направляющей, Столбец и элемент  
— Направляющими (последний называют также Разрешающим Элементом).

Элементы вводимой строки, соответствующей направляющей строке, в новой симплекс-таблице вычисляются по формулам:

,

А элементы любой другой -й Строки пересчитываются по формулам:

, ,

Значения базисных переменных нового опорного плана (показатели графы «план») рассчитываются по формулам:

для ; , для .

Если наименьшее значение достигается для нескольких базисных векторов, то чтобы исключить возможность зацикливания (повторения базиса), можно применить следующий способ.

Вычисляются частные, полученные от деления всех элементов строк, давших одинаковое минимальное значение на свои направляющие элементы. Полученные частные сопоставляются по столбцам слева направо, при этом учитываются и нулевые, и отрицательные значения. В процессе просмотра отбрасываются строки, в которых имеются большие отношения, и из базиса выводится вектор, соответствующий строке, в которой раньше обнаружится меньшее частное.

Для использования приведенной выше процедуры симплекс-метода к минимизации линейной формы f(X) следует искать максимум функции f1(X)=f(X), затем полученный максимум взять с противоположным знаком. Это и будет искомый минимум исходной задачи линейного программирования.

 

Вопрос 21

Экономико-математическая модель оптимизации кормового рациона.

 

Ответ

Данная задача получила название «задача о диете», или задача о рационе. Суть задачи состоит в определении рациона, который удовлетворял бы потребности человека или животного в питательных веществах при минимальных затратах денежных средств.

Простейшую модель можно записать так:

Найти минимум суточных затрат на продукты питания или корма

 

  , (1)

где cj – цена;

xj – количество продукта под номером j.

При условиях:

  (2)

  (3)

Первое условие: в рационе должно содержаться не менее bi питательного вещества с номером i, где aij количество i - го вещества в единице j - го продукта.

Второе условие – не отрицательность переменных.

Это простейшая модель задачи по оптимизации кормового рациона.

Но эта простейшая модель лежит в основе всех других, более сложных моделей оптимизации кормовых рационов.

В настоящее время степень изученности вопроса позволяет разрабатывать детализированные рационы и для поднятия продуктивности животных и для профилактики заболеваний – лечебные рационы.

За критерий оптимальности чаще всего принимаются показатели, характеризующие экономичность рациона, обычно это минимальная стоимость рациона. Иногда критерием оптимальности может быть минимальный вес рациона, минимальный расход земли на производство кормов, реже – наиболее благоприятное соотношение питательных компонентов, например, кормовых единиц и перевариваемого протеина и т.д.

Для составления модели оптимального рациона кормления скота (птицы) необходимо изучить и установить следующее:

- вид или половозрастную  группу скота (птицы), для которой  рассчитывается рацион (кормовая  смесь); период (сутки. Неделя. Декада, месяц); живую массу одной головы; планируемую продуктивность;

- содержание питательных  веществ в рационе в зависимости  от продуктивности животных, живой  массы, физиологического состояния  (устанавливается специалистом хозяйства с учетом фактического состояния дел; в плановых расчетах можно использовать нормативно-справочные сведения);

- предельные нормы скармливания  отдельных кормов данному виду  скота (птицы) или допустимые зоотехнические  нормы потребления кормов (из  справочной литературы);

- виды кормов и кормовых  добавок, из которых могут быть  составлены кормовые рационы (смеси);

- содержание всех видов  питательных веществ в единице  корма или кормовой добавки (определяют  путем анализа кормов в агрохимлаборатории или из справочных таблиц по питательности);

- цену единицы кормов  и кормовых добавок.

 

Задание 2

0. Х1 + Х2 ≥ 3

2Х1 + 3Х2 ≤ 15

2Х1 – 2,5Х2 ≤ 10

0 ≤ Х2 ≤ 4

Х1 ≥ 0

Z (х) = 2Х1 + Х2

 

- Задача на максимум

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом). 
Построим уравнение x1+x2 = 3 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 3. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 3. Соединяем точку (0;3) с (3;0) прямой линией. 
Построим уравнение 2x1+3x2 = 15 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 5. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 7.5. Соединяем точку (0;5) с (7.5;0) прямой линией. 
Построим уравнение 2x1-2.5x2 = 10 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = -4. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 5. Соединяем точку (0;-4) с (5;0) прямой линией. 
Построим уравнение x2 = 4. Эта прямая проходит через точку x2 = 4 параллельно оси OX1.

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x1+x2 → max.  
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x1+x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке F. Так как точка F получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: 
2x1+3x2=15 
2x1-2.5x2=10 
Решив систему уравнений, получим: x1 = 6.1364, x2 = 0.9091 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
F(X) = 2*6.1364 + 1*0.9091 = 13.1818

- Задача на минимум:

 

Построим уравнение x1+x2 = 3 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 3. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 3. Соединяем точку (0;3) с (3;0) прямой линией. 
Построим уравнение 2x1+3x2 = 15 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 5. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 7.5. Соединяем точку (0;5) с (7.5;0) прямой линией. 
Построим уравнение 2x1-2.5x2 = 10 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = -4. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 5. Соединяем точку (0;-4) с (5;0) прямой линией. 
Построим уравнение x2 = 4. Эта прямая проходит через точку x2 = 4 параллельно оси OX1.