Контрольная работа по "Эконометрика"

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с тремя знаками в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

Решение.

1. Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномалий данных. Аномальные наблюдения легче всего обнаружить визуально, используя графическое представление временного ряда. График временного ряда представлен на рисунке _. Исходя из построенного графика, можно сделать вывод о том, что аномальных наблюдений нет.

Рисунок 3 - Y спрос на кредитные ресурсы.

 

2. Расчет параметров линейной парной регрессии , произведем с использованием программы MS Excel. Полученные данные представлены в таблицах 25 - 27.

Таблица 25 – Регрессионная статистика.

Множественный R	0,987
R-квадрат	0,974
Нормированный R-квадрат	0,970
Стандартная ошибка	2,530
Наблюдения	9

 

Таблица 26 – Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1,000	1 685,400	1 685,400	263,213	0,000
Остаток	7,000	44,822	6,403
Итого	8,000	1 730,222

 

Таблица 27 – Анализ линейной парной регрессии

	Коэффи-циенты	Стан-дартная ошибка	t-стати-стика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	4,944	1,838	2,690	0,031	0,597	9,291	0,597	9,291
Переменная X 1	5,300	0,327	16,224	0,000	4,528	6,072	4,528	6,072

 

 

В соответствии с полученными расчетными данными модель регрессии в линейной форме будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, в течение недели спрос на кредитные ресурсы увеличится на 5,3 млн.руб.

В соответствии с полученными результатами оценим качество линейной парной регрессии через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерия Фишера.

Коэффициент детерминации в соответствии с расчетом равен . Вариация спроса на кредитные ресурсы (Y) на 97,4% объясняется изменением времени (t). Значение близко к единице, поэтому качество модели можно признать удовлетворительным.

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера. В результате расчетов .

Определим табличное значение F-критерия с помощью функции MS Excel FPACПOБP (для , k1=1, k2=7). .

, следовательно, уравнение регрессии  признается статистически значимым.

3. Произведем оценку адекватности  построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

3.1 Оценка адекватности построенной  модели по свойству случайности  производится исходя из неравенства

где р – количество поворотных точек определяемых из графика остаточной компоненты, N – длина временного ряда; квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять целую часть.

Для определения числа поворотных точек необходимо построить график остаточной компоненты. Построим с использованием имеющихся результатов расчета график остаточной компоненты (рисунок 4)

Рисунок 4 - График остаточной компоненты

 

Исходя из построенного графика, определяем количество поворотных точек: р=4. При выполнении расчетов по приведенной выше формуле получаем, что 4>2, следовательно, неравенство соблюдается, ряд остатков можно считать случайным, а значит, свойство случайности возникновения отдельных отклонений от тренда выполняется.

3.2. Оценка адекватности построенной модели по свойству независимости остаточной компоненты определяется по d-критерию Дарбина-Уотсона (проверяется наличие/отсутствие автокорреляции).

Результаты расчета представлены в таблице 28.

Таблица 28 – Оценка адекватности модели

t (номер наблюдения)	Y (спрос, млн. руб.)	Предсказанное Y (спрос, млн. р)	E(t)	E(t)-E(t-1)	(E(t)-E(t-1))2	E2(t)
1	10	10,244	-0,244	–	–	0,06
2	14	15,544	-1,544	-1,30	1,69	2,39
3	21	20,844	0,156	1,70	2,89	0,02
4	24	26,144	-2,144	-2,30	5,29	4,60
5	33	31,444	1,556	3,70	13,69	2,42
6	41	36,744	4,256	2,70	7,29	18,11
Продолжение таблицы 28
t (номер наблюдения)	Y (спрос, млн. руб.)	Предсказанное Y (спрос, млн. р)	E(t)	E(t)-E(t-1)	(E(t)-E(t-1))2	E2(t)
7	44	42,044	1,956	-2,30	5,29	3,82
8	47	47,344	-0,344	-2,30	5,29	0,12
9	49	52,644	-3,644	-3,30	10,89	13,28
Сумма					52,32	44,82
d						2,17

 

При отсутствии автокорреляции d~2, при полной автокорреляции равно 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d2) и нижние (d1) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. Значения этих границ для уровня значимости α=0,05: d1=l,08, d2=l,36. Так как d>d2 принимается нулевая гипотеза о равенстве нулю серийных корреляций и делается вывод об адекватности построенной модели. Свойство независимости выполняется.

3.3. Оценка адекватности построенной  модели по соответствию нормальному закону распределения осуществляется по RS-критерию:

,

где , в соответствии с результатами имеем S=2,530.

В соответствии с расчетом Еmах= 4,256, Еmin = –3,644. Тогда . Расчетное значение RS-критерия попадает в табличный интервал [2,7; 3,7], следовательно, по данному критерию модель адекватна.

4. Для оценки точности модели  определим среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

.

Результаты расчета представлены в таблице 29.

Таблица 29 - Расчет средней ошибки аппроксимации

Наблюдение	Y (спрос, млн. руб.)	E(t)	ABS(E(t))	ABS(E(t)/Y)
1	10	-0,244	0,244	0,024
2	14	-1,544	1,544	0,110
3	21	0,156	0,156	0,007
4	24	-2,144	2,144	0,089
5	33	1,556	1,556	0,047
6	41	4,256	4,256	0,104
7	44	1,956	1,956	0,044
8	47	-0,344	0,344	0,007
9	49	-3,644	3,644	0,074
Сумма				0,509
Eотн				2,5

 

Средняя относительная ошибка построенной модели равна 2,5%, следовательно, модель имеет удовлетворительный уровень точности.

5. Осуществим точечный прогноз  спроса на следующие две недели.

В течение первой недели (k=1, t=10) спрос будет равен Y(10)=57,944. В течение второй недели (k=2, t=11) спрос будет равен Y(11)=63,244.

На базе точечных прогнозов разрабатываем интервальные прогнозы. С этой целью рассчитывается ширина доверительного интервала:

.

В соответствии с результатами имеем S = 2,530 . Произведем расчет интервального прогноза для первой недели, для этого определим ширину доверительного интервала. При расчете используем Кр=1,08, n=9, m=l, k=l. Результаты расчета представлены в таблице 30.

 

 

 

Таблица 30 – Расчет интервального прогноза для первой недели

t (номер наблюдения)
1		–4	16
2		–3	9
3		–2	4
4		–1	1
5		0	0
6		1	1
7		2	4
8		3	9
9		4	16
Сумма	45		60
	5
U(k)			3,38

 

В результате расчета имеем U(k) = 3,38.

Таким образом, прогнозное значение Y(10)=57,944, будет находиться между верхней границей, равной 57,944+3,38=61,324, и нижней границей, равной 57,944-3,38=54,564.

Произведем расчет интервального прогноза для второй недели, для этого определим ширину доверительного интервала. При расчете используем Кр=1,08, n=9, m=l, k=2. Результаты расчета представлены в таблице 31.

Таблица 31 - Расчет интервального прогноза для второй недели

t (номер наблюдения)
1		–4	16
2		–3	9
3		–2	4
4		–1	1
5		0	0
6		1	1
7		2	4
8		3	9
9		4	16
Сумма	45		60
	5
U(k)			3,57

 

В результате расчета имеем U(k) = 3,57.

Таким образом, прогнозное значение Y(ll)= 63,244, будет находиться между верхней границей, равной 63,244+3,57=66,814, и нижней границей, равной 63,244-3,57=59,674.

Таблица 32 - Прогнозы

Неделя наблюдения	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
10	57,944	54,564	61,324
11	63,244	59,674	66,814

 

6. На графике (рисунок 5) представлены графически фактические значения показателя, результаты моделирования, результаты прогнозирования.

Рисунок 5 - Результаты моделирования и прогнозирования.

 

Так как построенная модель является адекватной, то можно гарантировать, что прогнозируемое значение показателя Y (спрос) в последующие две недели попадает в построенный доверительный интервал.