Контрольная работа по "Эконометрике"

Таким образом, цена квартиры Y с вероятностью 90 % будет находиться в интервале от 110,788 до 207,828 тыс. долл.

Как было указано выше, лучшая парная модель регрессии всегда соответствует наиболее тесно связанному с результативным признаком Y фактору. Поэтому на поле корреляции, построенное при выполнении пункта 2 (см. прил. 3), дополнительно поместим линию регрессии вместе с уравнением регрессии и коэффициентом детерминации R² (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда…» ® «Линейная») (рис. 8). Точечный и интервальный прогнозы наносим на график вручную.

 

 

 

рис. 8. Построение линии регрессии

 

6. Анализ парных коэффициентов  корреляции между факторными  переменными X₄, X₅, X₆ (см. табл. 4) свидетельствует об отсутствии коллинеарных факторов (ни один из межфакторных коэффициентов корреляции не превышает по абсолютной величине 0,8). Поэтому вначале можно попробовать построить модель регрессии с полным перечнем факторов — Y(X₄, X₅, X₆) (рис. 9), и при необходимости скорректировать ее методом исключения.

 

рис. 9. Построение уравнения регрессии Y( X₄, X₅, X₆)

 

Результаты регрессионного анализа  приведены в прил. 5 и перенесены в табл. 5.

 

Таблица 5

Результаты регрессионного анализа модели Y(X₄, X₅, X₆)

 

Регрессионная статистика
Множественный R						0,833688577
R-квадрат						0,695036644
Нормированный R-квадрат						0,669623031
Стандартная ошибка						29,59690587
Наблюдения						40
Дисперсионный анализ
	df		SS		MS		F	Значимость F
Регрессия	3		71871,24496		23957,08		27,34899	2,14E-09
Остаток	36		31535,16614		875,9768
Итого	39		103406,4111
Уравнение регрессии
		Коэффициенты		Стандартная ошибка			t-статистика		P-Значение
Y-пересечение		-12,07202168		21,22643886			-0,56873		0,573073
X4		2,375993622		0,278419328			8,533867		3,59E-10
X5		1,371439013		1,307196819			1,049145		0,301104
X6		0,191218232		2,27673958			0,083988		0,933531

 

Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» в табл. 5):

.

Уравнение признается статистически  значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено (наблюдаемый уровень значимости), составляет 2,14×10^-9 (см. «Значимость F» в табл. 5), что существенно ниже принятого уровня значимости a=0,05.

Вероятность случайного формирования коэффициента при факторе Х₄ ниже a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 5), что свидетельствует о его статистической значимости.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторах Х₅ и Х₆ превышает a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 5), поэтому данные коэффициенты не являются статистически значимыми.

Согласно методу исключения, из модели исключается тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшую по абсолютной величине t-статистику. После этого строится новое уравнение регрессии, и процедура повторяется до тех пор, пока все коэффициенты регрессии при факторах не окажутся статистически значимыми.

В нашем случае из незначимых коэффициентов  при факторах наименьший модуль имеет t-статистика коэффициента при факторе Х₆, который и исключается из модели. Для построения уравнения регрессии Y(X₄, X₅) скопируем на чистый рабочий лист значения переменных Y, X₄, X₅ (прил. 6) и проведем регрессионный анализ (рис. 10). Его результаты приведены в прил. 7 и перенесены в табл. 6.

 

рис. 10. Панель регрессионного анализа модели Y(X₁, X₃)

 

Таблица 6

Результаты регрессионного анализа модели Y(X₄, X₅)

 

Регрессионная статистика
Множественный R						0,833652739
R-квадрат						0,694976889
Нормированный R-квадрат						0,678489153
Стандартная ошибка						29,19706817
Наблюдения						40
Дисперсионный анализ
	df		SS		MS		F	Значимость F
Регрессия	2		71865,07		35932,53		42,15114	2,89E-10
Остаток	37		31541,35		852,4688
Итого	39		103406,4
Уравнение регрессии
		Коэффициенты		Стандартная ошибка			t-статистика		P-Значение
Y-пересечение		-10,73260503		13,81899			-0,77666		0,442299
X4		2,382565457		0,263588			9,038973		6,69E-11
X5		1,417243691		1,171946			1,209308		0,234215

Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» в табл. 6):

.

Уравнение регрессии признается статистически  значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено, составляет 2,89×10^-10 (см. «Значимость F» в табл. 6), что существенно ниже принятого уровня значимости a=0,05.

Вероятность случайного формирования коэффициента при факторе Х₄ ниже a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 6), что свидетельствует о его статистической значимости.

Вероятность случайного формирования коэффициента при факторе Х₅ превышает a=0,05 (см. «P-Значение» в табл. 6), поэтому данный коэффициент не является статистически значимыми.

Согласно методу исключения фактор Х₅ должен быть исключен из модели, но в этом случае мы придем к парной модели Y(X₄). Однако фактор Х₅ все же можно считать информативным, так как модуль t-статистики коэффициента при нем превышает единицу. Другими словами, абсолютная величина коэффициента — «закономерность», больше его стандартной ошибки — «случайности». Поэтому фактор Х₅ можно оставить в модели, хотя к дальнейшим выводам относительно него следует относиться с некоторой долей осторожности.

Таким образом, в качестве рабочей модели принимаем уравнение регрессии Y(X₄, X₅). Дадим экономическую интерпретацию его коэффициентов.

Коэффициент при фиктивной переменной Х₅ (этаж квартиры) показывает, что при прочих равных условиях цена квартиры на первом этаже на 1,42 тыс. долл. ниже, чем на втором этаже. Однако из-за статистической незначимости коэффициента при факторе Х₅ нельзя уверенно утверждать, что разница в ценах квартир на разных этажах является существенной.

Коэффициент при факторе Х₄ (жилая площадь) является статистически значимым. Это означает, что жилая площадь квартиры существенно влияет на ее цену. При увеличении площади на 1 кв. м. цена квартиры при прочих равных условиях возрастает в среднем на 2,38 тыс. долл.

 

7. Оценим качество модели (см. «Регрессионную статистику» в табл. 6):

• множественный коэффициент детерминации

показывает, что регрессионная  модель объясняет 64,3 % вариации цены квартиры Y, причем эта вариация обусловлена вариацией включенных в модель факторов X₁ и X₃;

• стандартная ошибка регрессии

 тыс. долл.

показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения цены квартиры Y отличаются от фактических значений в среднем на29,2 тыс. долл.

Средняя относительная ошибка аппроксимации

%

показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения цены квартиры отличаются от фактических значений в среднем на 24,9 %. Точность модели — неудовлетворительная.

Таким образом, качество множественной модели регрессии Y(X₄, X₅) несколько улучшилось по сравнению с лучшей однофакторной моделью Y(X₄).

Оценим влияние факторов на цену квартиры в модели множественной  регрессии Y(X₄, X₅). Для удобства сведем в таблицу средние значения и стандартные отклонения переменных в исходных данных (табл. 7). Средние значения были определены с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ», стандартные отклонения — с помощью функции «СТАНДОТКЛОН» (см. прил. 1).

 

Таблица 7

Средние значения и стандартные  отклонения используемых переменных

 

Переменная	Y	X4	X5
Среднее	93,65	39,618	7,05
Стандартное отклонение	51,49	17,755	3,99

 

1) Фактор X₅ (этаж квартиры)

Фактор X₅ является фиктивной переменной. Средний коэффициент эластичности для фиктивных переменных лишен смысла.

 

2) Фактор X₄ (жилая площадь квартиры)

Средний коэффициент эластичности фактора X₄ имеет значение

.

Он показывает, что при увеличении общей площади на 1 % цена квартиры возрастает в среднем на 1,007 %.

Сравним между собой силу влияния на цену квартиры включенных в регрессионную модель факторов, для чего определим их бета–коэффициенты:

;

.

Сравнивая по абсолютной величине бета–коэффициенты, можно сделать вывод о том, что на изменение цены квартиры Y сильнее всего влияет изменение жилой площади Х₄, и далее по степени влияния следует этаж квартиры X₅.

Определим дельта–коэффициенты факторов:

;

;

где r_y,x4=(0,82); r_y,x5=0,146 — коэффициенты корреляции между парами переменных Y–X₄, Y–X₅ соответственно (см. табл. 4); R²=0,69 — множественный коэффициент детерминации (см. табл. 6).

Сумма дельта–коэффициентов факторов, включенных в модель, должна быть равна единице. Небольшое неравенство может быть вызвано погрешностями промежуточных округлений.

Таким образом, в суммарном влиянии  на цену квартиры Y всех факторов, включенных в модель, доля влияния этажа квартиры X₅ составляет 2,3 %, жилой площади Х₄ — 97%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ:

 

Задача 1			Приложение 1
Исходные данные
№ квартиры	Y	X4	X5	X6
1	115	51,4	9	7
2	85	46	5	10
3	69	34	6	10
4	57	31	1	9
5	184,6	65	1	9
6	56	17,9	2	7
7	85	39	12	8,3
8	265	80	10	16,5
9	60,65	37,8	11	12,1
10	130	57	6	6
11	46	20	2	10
12	115	40	2	7
13	70,96	36,9	5	12,5
14	39,5	20	7	11
15	78,9	16,9	14	13,6
16	60	32	11	12
17	100	58	1	9
18	51	36	6	12
19	157	68	2	11
20	123,5	67,5	12	12,3
21	55,2	15,3	9	12
22	95,5	50	6	12,5
23	57,6	31,5	5	11,4
24	64,5	34,8	10	10,6
25	92	46	9	6,5
26	100	52,3	2	7
27	81	27,8	3	6,3
28	65	17,3	5	6,6
29	110	44,5	10	9,6
30	42,1	19,1	13	10,8
31	135	35	12	10
32	39,6	18	5	8,6
33	57	34	8	10
34	80	17,4	4	8,5
35	61	34,8	10	10,6
36	69,6	53	4	12
37	250	84	15	13,3
38	64,5	30,5	12	8,6
39	125	30	8	9
40	152,3	55	7	13
Среднее	93,65	39,618	7,05	10,06
Стандартное отклонение	51,49	17,755	3,99	2,38
Наибольшее значение	265	84	15	16,5
Наименьшее значение	39,5	15,3	1	6