Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

ФГОБУ ВПО

«Финансовый университет  при Правительстве Российской Федерации»

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

По дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Вариант №2

 

 

 

 

 

 

Исполнитель: Попова Марина Александровна

Курс: 3

Направление подготовки: бакалавр менеджмента

Группа: день

№ личного дела: 11МЛД12152

Проверил: Степович Михаил Адольфович

 

 

 

 

 

 

Калуга – 2012

Содержание 

 

Задача №1……………………………………………………………………………..3

Задача №2……………………………………………………………………………..5

Задача №3……………………………………………………………………………19

Задача №4……………………………………………………………………………23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №1.

Совхоз для кормления  животных использует два вида корма. В дневном рационе животного  должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.

Питательное вещество	Количество  питательных веществ в 1 кг корма
	1	2
А	2	1
В	2	4
Цена 1 кг корма, тыс. руб.	0,2	0,3

 

 

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

 

Решение.

ЭММ задачи.

Пусть:  х₁ (кг) – количество корма типа 1, которое следует включить в дневной рацион животного.

х₂ (кг) - количество корма типа 2, которое следует включить в дневной рацион животного.

Таким образом дневной  рацион животного формально представляет собой вектор     Х = (х₁; х₂).

Математическая задача по критерию минимальных затрат на дневной рацион животного записывается следующим образом:

                min f(x) = 0.2x₁ + 0.3x₂

2x₁ + x₂ ≥ 6 → ограничение по содержание питательного вещества А

  2x₁ + 4x₂ ≥ 12 → ограничение по содержанию питательного вещества В

                       x_1,2 ≥ 0

 

Построим ОДР этой задачи.

Прямые ограничений  означают, что ОДР задачи будет  лежать в I четверти прямоугольной системе координат. Функциональные ограничения неравенства определяющие область, являются пересечением полуплоскостей с граничными прямыми.

 I.  2x₁ + x₂ = 6

II.  2x₁ + 4x₂ = 12

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Пересечение указанных  полуплоскостей в I четверти представляет собой неограниченную многоугольную область с вершинами АВС (ОДР).

Для определения направления движения к оптимуму, построим вектор-градиент, соединив его вершину    (0,2;0,3) с началом координат О (0;0).

Построим некоторую  линию уровня перпендикулярно вектору  градиенту. Этой линией уровня отвечает прямая ОХ.

При минимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня противоположно направлению вектора-градиента. Придельными точками при таком движении линии уровня ОХ является, соответственно, точка В, далее она выходит из ОДР.

Координаты точки В определим, решив систему уравнений:

  

    2x₁ + x₂ = 6              x₁ = 2

                           →

   2x₁ + 4x₂ = 12           x₂ = 2

 

Решением этой системы  уравнений являются сведущие значения переменных:

x₁ = 2, x₂ = 2.

Минимальное значение ЦФ равно:

min f(x) = 0.2*2 + 0.3*2 = 1

 

ВЫВОД:

Таким образом в рассматриваемой задаче Савхозу следует рекомендовать включать в дневной рацион одного животного ежедневно 2 кг корма типа 1 и 2 кг корма типа 2. В этом случае ожидаются минимальные затраты в сумме 1 тыс. руб.

При решении на максимум задача не будет иметь решений поскольку не существует конечного максимума на неограниченном множестве допустимых решений.

 

Задача №2.

Для изготовления четырех  видов продукции используют три  вида сырья. Запасы сырья, нормы его  расхода и цены реализации единицы  каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Тип сырья	Нормы расхода  сырья на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	1	0	2	1	180
II	0	1	3	2	210
III	4	2	0	4	800
Цена изделия	9	6	4	7

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
5. Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
6. Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
7. Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

Решение.

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

 

Пусть x₁, x₂, x₃ и х₄ – объемы производства продукции каждого вида.

Целевая функция имеет вид: max f(x) = 9x₁ + 6x₂ + 4x₃ + 7x₄,

а ограничения по ресурсам:      x₁ + 2x₃ + x₄ ≤ 180

                                                 x₂ + 3x₃ + 2x₄ ≤ 210

                                                 4x₁ + 2x₂ + 4x₄ ≤ 800

                                                 x_{1, 2, 3, 4}  ≤ 0

 

Поиск оптимально плана выпуска продукции.

Решим задачу при помощи настройки Excel.

Введем исходные данные.

 

 

Опишем ЦФ с помощью функции  – «СУММПРОИЗВ».

 

Введем данные для  левых частей ограничений. В «Поиске решений» введем направления ЦФ, адреса искомых переменных, добавим ограничения.

 

 

Введем параметры для решения  ЗЛП.

После ввода параметров следует  нажать кнопку «Выполнить».

 

 

Полученное решение означает, что максимальные доход 2115 ед. предприятие может получить при выпуске 95 ед. первой продукции, 210 ед. второй продукции, 0 ед. третьей продукции и 0 ед. четвертой продукции. Третий и четвертый вид продукции не выгодно выпускать, т.к. затраты превышают цену.

 

Отчет по устойчивости.

 

В отчете по устойчивости мы видим, что  нормированная стоимость для  производства продукций В и Г видов равна, соответственно, -0,5 и -5 – это означает, что если несмотря на оптимальный план (95, 210, 0, 0), попробуем включить в план выпуска продукцию В и Г вида, то новый план выпуска принесет нам доход 2109,5 ед., что на 5,5 ед. меньше, чем прежнее оптимальное решение.

Предельные значения приращения целевых  коэффициентов, при которых сохраняется  первоначальное оптимальное решение. Допустимое увеличение цены продукции В и Г видов равно, соответственно, 0,5 ед. и 5 ед.,  а допустимое уменьшение практически неограниченно 1E+30. Это означает, что если цена продукции В и Г видов возрастет более чем на 0,5 ед. и 5 ед., то оптимальное решение изменится: станет целесообразным производить продукцию видов В и Г. А если их цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (95, 210, 0, 0) останется прежним.

В рассматриваемой задаче являются дефицитные типы сырья (II и III типы). Чтобы обеспечить увеличение производства продукции необходимо увеличить II тип сырья, самое большое, на 190, а III тип сырья – на 340.

 

Отчет по результатам.

 

 

В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных х₁, х₂, х₃ и х₄, которые соответственно равны 95; 210; 0; 0, значение целевой функции – 2115, а так же левые части ограничений.

 

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Пусть y₁, y₂, y₃ – двойственные оценки типов ресурсов соответственно.

Целевая функция имеет вид: min g(y) = 180y₁ + 210y₂ + 800y₃

 

 

Функциональные ограничения:     y₁ +0y₂ + 4y₃ ≥ 9

                                                     0y₁ + y₂ + 2y₃ ≥ 6

                                                     2y₁ + 3y₂ + 0y₃ ≥ 4

                                                      y₁ + 2y₂ + 4y₃ ≥ 7

                                                         y_{1, 2, 3} ≥ 0

 

Найдем оптимальный  план этой задачи, используя основную теорему двойственности:

max f(x) = 95 ∙ 9 + 210 ∙ 6 + 0 ∙ 4 + 0 ∙ 7 = 2115

 

Проверим, является ли указанный в условии задачи план допустимым решением:

По типу сырья I: 1 ∙ 95 + 0 ∙ 210 + 2 ∙ 0 + 1 ∙ 0 ≤ 180

По типу сырья II: 0 ∙ 95 + 1 ∙ 210 + 3 ∙ 0 + 2 ∙ 0 = 210

По типу сырья  III: 4 ∙ 95 + 2 ∙ 210 + 0 ∙ 0 + 4 ∙ 0 = 800

 

Так же получим: y₁ (95 – 180) = 0, т.к. 95 < 180, то y₁ = 0

y₂ (210 – 210) = 0

y₃ (800 - 800) = 0

Следовательно, план оптимальный. Ресурс I остается в избытке, а ресурсы II и III расходуются полностью.

Воспользуемся соотношением второй теоремой двойственности:

т.к. х₁ = 95 > 0 и х₂ = 210 > 0, то первое и второе ограничения двойственной задачи обращаются в равенства:

y₁ + 4y₃ = 9              y₁ = 0

y₂ + 2y₃ = 6              y₂ = 1,5

y₁ = 0                      y₃ = 2,25

 

Вычислим значения целевой функции  двойственной задачи:

g(y) = 180 ∙ 0 + 210 ∙ 1,5 + 800 ∙ 2,25 = 2115

 

Таким образом, приведенный в условии  план является оптимальным.

 

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Если изготовление продукции определенного  вида вошло в план (х_j > 0), то в двойственных оценках оно не убыточное, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции, равна его цене. Такая продукция эффективна, выгодна с точки зрения принятого критерия оптимальности. В этой задаче – это продукция видов В и Г.

Если стоимость ресурсов, затраченных  на производство одного вида продукции, больше его цены, то этот вид продукции  не войдет в оптимальный план из-за его убыточности.

В данной задаче в план производства не вошли продукция видов В и Г, потому что затраты по ним превышают цену на 0,5 ед. и 5 ед. соответственно. Это можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y:

                                                       y₁ +0y₂ + 4y₃ ≥ 9

                                                     0y₁ + y₂ + 2y₃ ≥ 6

                                                     2y₁ + 3y₂ + 0y₃ ≥ 4

                                                      y₁ + 2y₂ + 4y₃ ≥ 7

                                                         y_{1, 2, 3} ≥ 0

 

 

1 ∙  0 + 0 ∙ 1,5 + 4 ∙ 2,25 = 9

0 ∙  0 + 1 ∙ 1,5 + 2 ∙ 2,25 = 6

2 ∙ 0 + 3 ∙ 1,5 + 0 ∙ 2,25 = 4,5 > 4

1 ∙ 0 + 2 ∙ 1,5 + 4 ∙ 2,25 = 12 > 7

 

 

Разницу между правыми и левыми частями ограничений двойственной задачи видно в «Отчете по устойчивости» в столбце «Нормируемая стоимость».