Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

 

4.1 Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.

Тип сырья I является недефицитным (y₁ = 0). Ресурсы II и III являются дефицитными, причем ресурс III более дефицитный, чем ресурс II (y₃ = 2,25; y₂ = 1,5; y₃ > y₂).

Найдем норму заменяемости для  дефицитных ресурсов:

y₃ : y₂ = 2,25 : 1,5 = 1,5

Следовательно, ресурс III в 1,5 раза более эффективен, чем ресурс II с точки зрения влияния на максимум продукции.

 

4.2 Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида.

Будем считать, что данные изменения объемов ресурсов находятся  в пределах устойчивости оптимального решения (в пределах устойчивости двойственных оценок), тогда по третьей теореме двойственности (теореме об оценках) имеем:

 

Δf(x) = Δb_i y_i

Δf(x) = (+120) ∙ 1,5 + (+160) ∙ 2,25 + (-60) ∙ 0 = 540

 

Решая эту ЗЛП симплекс-методом  при помощи настройки Excel, получим следующее:

 

 

Полученное решение  означает, что максимальные доход, увеличившийся с 2115 ед. до 2655 ед. предприятие может получить при выпуске 75 ед. первой продукции, 330 ед. второй продукции, 0 ед. третьей продукции и 0 ед. четвертой продукции. Третий и четвертый вид продукции не выгодно выпускать, т.к. затраты превышают цену.

Отчет по результатам.

 

В отчете по результатам  содержатся оптимальные значения переменных х₁, х₂, х₃ и х₄, которые соответственно равны 75; 330; 0; 0, значение целевой функции – 2655, а так же левые части ограничений.

 

Отчет по устойчивости.

В отчете по устойчивости мы видим, что нормированная стоимость  для производства продукций В и Г видов равна, соответственно, -0,5 и -5 – это означает, что если несмотря на оптимальный план (75, 330, 0, 0), попробуем включить в план выпуска продукцию В и Г вида, то новый план выпуска принесет нам доход 2649,5 ед., что на 5,5 ед. меньше, чем прежнее оптимальное решение.

Предельные значения приращения целевых коэффициентов, при которых сохраняется первоначальное оптимальное решение. Допустимое увеличение цены продукции В и Г видов равно, соответственно, 0,5 ед. и 5 ед.,  а допустимое уменьшение практически неограниченно 1E+30. Это означает, что если цена продукции В и Г видов возрастет более чем на 0,5 ед. и 5 ед., то оптимальное решение изменится: станет целесообразным производить продукцию видов В и Г. А если их цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (75, 330, 0, 0) останется прежним.

В рассматриваемой задаче являются дефицитные типы сырья (II и III типы). Чтобы обеспечить увеличение производства продукции необходимо увеличить II тип сырья, самое большое, на 90, а III тип сырья – на 300.

 

Решим эту же задачу «вручную». Запишем исходную и двойственную ЗЛП с измененными объемами ресурсов.

Исходная:   max f(x) = 9x1 + 6x2 + 4x3 + 7x4 x1 + 0x2 + 2x3 + x4 ≤ 120 0x1 + x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 330 4x1 + 2x2 + 0x3 + 4x4 ≤ 960 x1, 2, 3, 4 ≥ 0

Двойственная:   min g(y) = 120y1 + 330y2 + 960y3 y1 + 0y2 + 4y3 ≥ 9 0y1 + y2 + 2y3 ≥ 6 2y1 + 3y2 + 0y3 ≥ 4 y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 7 y 1, 2, 3 ≥ 0

 

Воспользуемся соотношением второй теоремой двойственности (теорема о дополняющей нежестокости):

Рассмотрим первые соотношения (их два):

y₁ + 0y₂ + 4y₃ = 9

0 + 4 ∙ 2,25 = 9

Следовательно, про x₁ ничего сказать нельзя.

0y₁ + y₂ + 2y₃ = 6

1,5 + 2,25 ∙ 2 = 6

Следовательно, про x₂ тоже ничего сказать нельзя.

2y₁ + 3y₂ + 0y₃ = 4

2 ∙  0 + 3 ∙ 1,5 ≠ 4, →  х₃ = 0 (затраты больше цены)

y₁ + 2y₂ + 4y₃ = 7

0 ∙  2 + 1,5 + 4 ∙ 2,25 ≠ 7, → х₄ = 0 (затраты больше цены)

 

Рассмотрим вторые соотношения:

y₁ = 0, ничего сказать нельзя

y₂ = 1,5 - второе ограничение обращается в равенство

х₂ + 3х₃ + 2х₄ = 330

y₃ = 2,25 – третье ограничение обращается в равенство

4х₁ + 2х₂ + 4х₄ = 960

 

Запишем систему уравнений  и решим ее:

х₂ + 3х₃ + 2х₄ = 330                    х₁ = 75

4х₁ + 2х₂ + 4х₄ = 960                  х₂ = 330

х₃ = 0                                          х₃ = 0

х₄ = 0                                        х₄ = 0

 

f(x) = 9 ∙ 75 + 6 ∙ 330 + 4 ∙ 0 + 7 ∙ 0 = 2655

Это совпадает с выводом, сделанным ранее на основании «теоремы об оценках».

 

4.3 Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Это задание выполняется  на основе третьего свойства двойственных оценок, т.е. оценки как определение  эффективности.

Δf(x) = Δb_i y_i

Δ₄ = 2 ∙ 0 + 2 ∙ 1,5 + 2 ∙ 2,25 – 12 = -4,5 < 0

Следовательно, данную продукцию  выпускать целесообразно (затраты  меньше цены).

 

Задача №3

 

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию  трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции одного вида, второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистам управляющей компании получены экономические оценки a_ij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (a_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Решение.

Технологическая матрица А.

Отрасли	Коэффициенты  прямых поставок, aij			Конечный продукт, Yi
	1	2	3
1	0,0	0,1	0,2	180
2	0,1	0,2	0,1	200
3	0,2	0,1	0,2	200

 

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (a_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

 

 

Неотрицательная матрица А будет называться продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор Х ≥ 0, что Х >АХ. Очевидно, что это условие означает существование положительного вектора конечной продукции Y > 0 для межотраслевого баланса.

 

Найдем B = (E - A)^-1, где В – матрица коэффициентов полных материальных затрат.

 

|E –  A| = 1 ∙ 0,8 ∙ 0,8 + (-0,1) ∙ (-0,1) ∙ (-0,2) + (-0,1) ∙ (-0,1) ∙ (-0,2) - (-0,2) ∙ 0,8 ∙ (-0,2) - (-0,1) ∙ (-0,1) ∙ 1 - (-0,1) ∙ (-0,1) ∙ 0,8 = 0,586

Т.к |E – A| ≠ 0, то существует обратная к ней матрица.

 

а₁₁ = (-1)² ∙ 0,63 = 0,63              а₂₃ = (-1)⁵ ∙ (-0,12) = 0,12

а₁₂ = (-1)³ ∙ (-0,1) = 0,1              а₃₁ = (-1)⁴ ∙ 0,17 = 0,17

а₁₃ = (-1)⁴ ∙ 0,17 = 0,17              а₃₂ = (-1)⁵ ∙ (-0,12) = 0,12

а₂₁ = (-1)³ ∙ (-0,1) = 0,1              а₃₃ = (-1)⁶ ∙ 0,79 = 0,79

а₂₂ = (-1)⁴ ∙ 0,76 = 0,76

 

т.о.

Все элементы матрицы  коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А – продуктивна.

 

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

 

Определим межотраслевые  поставки и найдем величины валовой продукции каждого предприятия.

x_ij = a_ij ∙ X_j

X = B ∙ Y_i

 - величина валовой продукции каждого предприятия.

Находим матрицу межотраслевых  поставов продукции:

 

Итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:

            

Z₁ = 286 – (0 + 28,6 + 57,2) = 200

Z₂ = 331 – (33,1 + 66,2 + 33,1) = 199

Z₃ = 362 – (72,4 + 36,2 + 72,4) = 181

Валовая продукция той  или иной отрасли равна сумме  материальных затрат, потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции  данной отрасли:

Х1 = (0 + 33,1 + 72,4) + 180 = 286

Х2 = (28,6 + 66,2 + 36,2) +200 = 331

Х3 = (57,2 + 33,1 + 72,4) + 200 = 362

Заполняем схему МОБ (модели межотраслевого баланса).

 

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты  прямых затрат, aij			Конечный продукт, Yi	Валовый продукт, Хi
	1	2	3
1	0	33,1	72,4	180	286
2	28,6	66,2	36,2	200	331
3	57,2	33,1	72,4	200	362
Условно чистая продукция, Zj	200	199	181	580
Валовый продукт, Хj	286	331	362		979

 

Необходимо, чтобы выполнялись  следующие условия:

- что мы и видим из выше представленной таблицы.

 

Задача №4

В течение десяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице.

Номер варианта	Номер наблюдения (t = 1, 2, …, 9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	43	47	50	48	54	57	61	59	65

Требуется:

3. Проверить наличие аномальных наблюдений.
4. Построить линейную модель Ŷ(t) = a₀ + a₁t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
5. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
6. Оценить остаточность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
7. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).
8. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
9. Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточный результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

Решение:

Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные  критерии, например метод Ирвина. Вычислим для всех наблюдений величину λt.

, где  ,

t	y(t)	(yt - ý)2	λt
1	43	116,16049	-
2	47	45,938272	0,548437
3	50	14,271605	0,411328
4	48	33,382716	0,27422
5	54	0,0493827	0,822656
6	57	10,382716	0,411328
7	61	52,160494	0,548437
8	59	27,271605	0,27422
9	65	125,93827	0,822656
5	484	425,55556
ср знач	сумма	сумма