Метод прогнозирования на основе многофакторной модели

    Проверка гипотезы Н0 о равенстве нулю генерального коэффициента парной корреляции двумерной нормально распределенной случайной величины осуществляется в следующей последовательности:

вычисляется значение статистики t;

при уровне значимости  для двусторонней области определяется критическая точка распределения Стьюдента tкр(n–2; ).

Сравнивается значение статистики t с критическим значением tкр(n–2;  ). Если t < tкр (п–2; ), то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, иначе гипотеза Н0 отвергается (коэффициент корреляции значим).

     Когда модуль величины ik близок к единице, распределение ik отличается от распределения Стьюдента, так как значение  ik  ограничено справа единицей. В этом случае применяют преобразование yik=0,5ln[(1+| ik |)/(1–|ik |)]. Величина yik не имеет указанного ограничения, она при п > 10 распределена приблизительно нормально с центром  1( ik)=0,5ln[(1+| ik|)/(1–|ik|)]+0,5| ik|/(n–1) и дисперсией  2(ik)= 2(ik)=1/(п–3). Если значение центрированной и нормированной величины (yik – 1( ik))/ (ik) превышает значение квантили уровня 1– /2 нормального распределения стандартизованной величины, то нулевая гипотеза отвергается.

     Таким образом, постановка задачи линейного корреляционного анализа формулируется в следующем виде.

    Необходимо определить  оценки коэффициентов корреляции  для всех или только для  заданных пар параметров и  оценить их значимость. Незначимые  оценки приравниваются к нулю.

Допущения:

выборка имеет достаточный объем. Понятие достаточного объема зависит от целей анализа, требуемой точности и надежности оценки коэффициентов корреляции, от количества факторов. Минимально допустимым считается объем, когда количество наблюдений не менее чем в 5–6 раз превосходит количество факторов;

выборки по каждому фактору являются однородными. Это допущение обеспечивает несмещенную оценку средних величин;

матрица наблюдений не содержит пропусков.

    Если необходима проверка  значимости оценки коэффициента  корреляции, то требуется соблюдение  дополнительного условия – распределение вариант должно подчиняться нормальному закону.

Задача анализа решается в несколько этапов:

проводится стандартизация исходной матрицы;

вычисляются парные оценки коэффициентов корреляции;

проверяется значимость оценок коэффициентов корреляции, незначимые оценки приравниваются к нулю. По результатам проверки делается вывод о наличии связей между вариантами (факторами).

III Практическая часть

3. Метод прогнозирования на основе многофакторной модели

Уравнение регрессии для моделируемого показателя с изменяющимися во времени коэффициентами представляются в следующем виде:

yt = b0t + Ʃ bit ˣ xit , (3.1)

где: yt – значение моделируемого показателя в момент времени t;

       xit – значение i-го фактора в момент времени t;

       bit – текущее значение i-го коэффициента регрессии ( i = 0,m).

       По справедливому мнению авторов этого метода, анализ динамики коэффициентов регрессии совместно с анализом динамики самих факторов расширяет возможности перспективного анализа, позволяющего определить влияние факторов на моделируемый показатель. Причем степень влияния каждого фактора на значение моделируемого показателя авторы условно разделяют на две составляющие:

   - кволитивную (качественную, интенсивную), показывающую изменение величины  моделируемого показателя за счет изменений самих факторов;

   - квонтативную (количественную, экстенсивную), показывающую изменение величины моделируемого показателя за счет изменения факторов во времени.

   Возможность применения  предлагаемой адаптивной регрессии были проиллюстрированы мною на примере организации, предоставляющей туристические услуги. Исходные данные для проведения соответствующего анализа представлены в таблице 3.1.

Динамика показателей деятельности организации

                                                                                                               Таблица 3.1.

Год	Месяц	Число клиентов	Затраты на ПО	Прибыль
2011	Янв	1707	3200	10500
	Фев	1801	3460	12128
	Мар	1864	3500	12160
	Апр	1925	3750	13890
	Май	1980	4260	13445
	Июн	2039	4870	12123
	Июл	2089	4880	13675
	Авг	2139	5680	13823
	Сен	2189	5720	14464
1	2	3	4	5
	Окт	2238	5830	15123
	Ноя	2287	5940	14780
	Дек	2331	6890	14865
2012	Янв	2389	7550	15092
	Фев	3414	8340	25764
	Мар	5189	10120	40623
	Апр	5964	12230	46798
	Май	6164	12470	45846
	Июн	6373	14890	48124
	Июл	6852	16240	49383
	Авг	6912	16710	50920
	Сен	7016	17560	51220
	Окт	7123	18430	52087
	Ноя	7206	18500	53070
	Дек	7200	19500	56700

Из этой таблицы следует:                                                                                                                        

                                                                                                                Таблица 3.2

 

	Коэф-ты	А2	А1	А0
		-0,41395863	8,881829444	-2670,819924
	Ошибка коэф.	0,213229778	0,532096064	517,1232432
Коэф.детерм.	Ошибка У	0,995764668	1230,810587
Статистика	Степ.св.	2468,644666	21
Регр.сум.кв.откл.	Ост.сум.кв.откл.	7479473446	31812788,71

 

Затем убираем столбец затраты и анализируем как изменятся показатели А1, А0.

                                                                                                          Таблица 3.3.

Год	Месяц	Число клиентов	Прибыль
2011	Янв	1707	10500
	Фев	1801	12128
	Мар	1864	12160
	Апр	1925	13890
	Май	1980	13445
	Июн	2039	12123
	Июл	2089	13675
	Авг	2139	13823
	Сен	2189	14464
	Окт	2238	15123
1	2	3	4
	Ноя	2287	14780
	Дек	2331	14865
2012	Янв	2389	15092
	Фев	3414	25764
	Мар	5189	40623
	Апр	5964	46798
	Май	6164	45846
	Июн	6373	48124
	Июл	6852	49383
	Авг	6912	50920
	Сен	7016	51220
	Окт	7123	52087
	Ноя	7206	53070
	Дек	7200	56700

 

 

                                                                                                        Таблица 3.4.

	Коэф-ты	А1	А0
		7,872006318	-2591,148375
	Ошибка коэф.	0,118918456	546,9711733
Коэф.детерм.	Ошибка У	0,995004541	1305,970941
Статистика	Степ.св.	4381,999742	22
Регр.сум.кв.откл.	Ост.сум.кв.откл.	7473763912	37522322,17

 

Из данной таблицы видно, что показатель А1 уменьшился, а показатель А0 увеличился.

Затем убираем столбец число клиентов а анализируем показатели А1, А0.

                                                                                                          Таблица 3.5.

Год	Месяц	Затраты на ПО	Прибыль
2011	Янв	3200	10500
	Фев	3460	12128
	Мар	3500	12160
	Апр	3750	13890
	Май	4260	13445
	Июн	4870	12123
	Июл	4880	13675
	Авг	5680	13823
	Сен	5720	14464
	Окт	5830	15123
	Ноя	5940	14780
	Дек	6890	14865
1	2	3	4
2012	Янв	7550	15092
	Фев	8340	25764
	Мар	10120	40623
	Апр	12230	46798
	Май	12470	45846
	Июн	14890	48124
	Июл	16240	49383
	Авг	16710	50920
	Сен	17560	51220
	Окт	18430	52087
	Ноя	18500	53070
	Дек	19500	56700

 

                                                                                                         Таблица 2.6.

		А1	А0
	Коэф-ты	3,065457841	-418,5975648
	Ошибка коэф.	0,165746604	1842,313766
Коэф.детерм.	Ошибка У	0,939570286	4542,250529
Статистика	Степ.св.	342,0593117	22
Регр.сум.кв.откл.	Ост.сум.кв.откл.	7057381357	453904877,2

 

Из данной таблицы видно, показатель А1 уменьшился, а показатель А0 увеличился.

 

3.1. Множественная корреляция  на примере 2-х факторов

 

Строим график по исходным данным ( на примере линейной функции П ):

                                                                                                                Таблица 3.1.

№	x1	x2	y
1	1707,00	3200,00	10500,00
2	1801,00	3460,00	12128,00
3	1864,00	3500,00	12160,00
4	1925,00	3750,00	13890,00
5	1980,00	4260,00	13445,00
6	2039,00	4870,00	12123,00
7	2089,00	4880,00	13675,00
8	2139,00	5680,00	13823,00
9	2189,00	5720,00	14464,00
10	2238,00	5830,00	15123,00
11	2287,00	5940,00	14780,00
1	2	3	4
12	2331,00	6890,00	14865,00
13	2389,00	7550,00	15092,00
14	3414,00	8340,00	25764,00
15	5189,00	10120,00	40623,00
16	5964,00	12230,00	46798,00
17	6164,00	12470,00	45846,00
18	6373,00	14890,00	48124,00
19	6852,00	16240,00	49383,00
20	6912,00	16710,00	50920,00
21	7016,00	17560,00	51220,00
22	7123,00	18430,00	52087,00
23	7206,00	18500,00	53070,00
24	7200,00	19500,00	56700,00