Моделирование социально - экономических процессов с применением теории игр

 

 

Раздел 2. Теория игр: определение, предмет, цели и задачи, применение.

1. Предмет и задачи теории игр.

В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают  ситуации, в которых интересы отдельных  лиц (участников, групп, сторон) либо прямо  противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные  споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных  отношениях- отстаивание интересов  своего государства и т.п. Здесь  каждый из участников сознательно стремится  добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.                                                                                                                                                    
          Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этих случаях может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными. 
          Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой – стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции. 
        Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр. Таким образом, теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т.е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д. 
         Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл. 
Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта. 
         Игра – это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры. Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший исход.                  Исход игры – это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться либо аналитически выражением, либо таблично (матрицей). Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроком. 
Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтных ситуаций, которые являются играми в буквальном смысле слова. Примерами могут служить шашки, шахматы, карточные игры и т.д. Все эти игры носят характер соревнования, протекающего по известным правилам и заканчивающего «победой» (выигрышем) того или иного игрока. 
Такие формально регламентированные, искусственно организованные игры представляют собой наиболее подходящий материал для иллюстрации и усвоения основных понятий теории игр. 

2. Классификация игр.

Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру  выигрыша, количеству ходов, состоянию  информации и т.д.

В зависимости от количества игроков различают игры двух и игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трёх и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения. Чем больше игроков – тем больше проблем.

По  количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, игра называется бесконечной.

По  характеру взаимодействия игры делятся на:

-бескоалиционные: игроки не  имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;

- коалиционные (кооперативные) могут вступать в коалиции.

В кооперативных играх  коалиции наперёд  определены.

По  характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.

По  виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др.

Матричная игра это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).

Для матричных игр  доказано, что любая  из них имеет решение, и оно может  быть легко найдено  путём сведения игры к задаче линейного  программирования.

Биматричная игра это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице выигрыш игрока 2.)

Для биматричных игр  также разработана  теория оптимального поведения игроков, однако решать такие  игры сложнее, чем  обычные матричные.

Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.

Если  функция выигрышей  является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.

Если  функция выигрышей  является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.

 

Раздел 3. Практическое применение теории игр.

3.1. Практическое применение теории игр в моделировании экономических процессах.

Пример №1. На базе торговой фирмы имеется n типов товара ассортиментного минимума. В магазин фирмы должен быть завезен только один из этих типов товара. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль . Если же этот товар не будет пользоваться спросом, то издержки на его хранение принесут магазину убыток .Требуется выбрать тип товара, который целесообразно завезти в магазин.

В условиях неопределенного  покупательского спроса конфликтная  ситуация товароснабжения формализуется  матричной игрой. Пусть первый игрок  — магазин, второй игрок — покупательский спрос. Каждый из игроков имеет по n стратегий. Завоз i-го товара — i-я. стратегия  первого игрока, спрос на j-й товар  — j-я стратегия второго игрока. Тогда матрица выигрышей первого  игрока имеет вид квадратной матрицы n-го порядка:

Пример №2. Матрица игры имеет вид: Минимальный элемент первой строки (первой стратегии первого игрока) равен 2, второй — 5, третьей — 4; максимальное значение из этих величин равно 5. Максимальный элемент первого столбца (первой стратегии второго игрока) равен 10, второго — 10; третьего — 5, четвертого — 14, пятого — 12; минимальное значение из них равно 5. Следовательно, данная игра имеет седловую точку (2, 3) и задача разрешима в чистых стратегиях. Придерживаясь чисто второй стратегии, первый игрок обеспечивает себе выигрыш, не меньший 5; второй игрок, применяя чистую третью стратегию, проигрывает не более 5. Обе стратегии j = 2 и j = 3 являются оптимальными для первого и второго игроков, при этом цена игры V = 5.

Пример №3. Диспетчер автобусного парка (ЛПР) в месяцы в конце каждой недели должен принять решение о целесообразности выделения дополнительных автобусов на загородный маршрут. ЛПР имеет три варианта решений: увеличить количество автобусов на 10 (стратегия ) увеличить это количество на 5 (стратегия Р₂) или оставить без изменения обычное число автобусов на линии (стратегия Р₃). Возможны два состояния погоды: —Q₁ плохая погода,Q₂ - хорошая погода, причем в момент принятия решения нет возможности определить ожидаемое состояние погоды. Если в выходные дни будет хорошая погода и много желающих выехать за город, а выделено мало автобусов, то парк понесет убытки, связанные с недополученной прибылью. Если же выделены дополнительные автобусы, а погода окажется плохой, то возникнут потери вследствие эксплуатации незаполненных автобусов.

Пусть, на основе анализа  статистических данных за определенный период установлена функция потерь для возможных комбинаций состояний  природы и решений ЛПР в  виде матрицы игры А (Р_i,Q_i), в которой отрицательные значения показывают дополнительную прибыль, а положительные – потери:

Q₁ Q₂

Если нет сведений о  вероятностях различных состояний  погоды, то по критерию Вальда и по критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия  Р₂. По критерию Гурвица при “коэффициенте пессимизма” q=1 оптимальной окажется стратегия Р₂, а при q=0 — стратегия Р₁.

Пример №4. Швейное предприятие, выпускающее детские платья и костюмы, реализует свою продукцию через фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. Но данным прошлых наблюдений предприятие в течении апреля — мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде 1000 костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 27 руб., для платьев 8 руб., а цена реализации равна соответственно 48 руб. и 16 руб. (цифры условные).

Задача заключается в  максимизации средней величины прибыли  от реализации выпущенной продукции  с учетом неопределенности погоды в  рассматриваемые месяцы. Таким образом, служба маркетинга предприятия должна в этих условиях определить оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде определенный средний доход. Решим эту задачу методами теории игр, игра в этом случае будет относиться к типу игр с природой.

Предприятие располагает  в этих условиях двумя чистыми  стратегиями: стратегия А — в  расчете на теплую погоду и стратегия  Б — в расчете на холодную погоду. Природу будим рассматривать  как второго игрока также с  двумя стратегиями: прохладная погода (стратегия В) и теплая погода (стратегия  Г). Если предприятие выберет стратегию  А, то в случае прохладной погоды (стратегия  природы В) доход составит 600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1975 - 625)8 = 6 800 руб., а в случае теплой погоды (стратегия природы Г) доход равен 600(48 - 27) + 1 975(16 - 8) = 28 400 руб.

Если предприятие выберет  стратегию Б, то реализация продукции  в условиях прохладной погоды даст доход 1 000(48 - 27) + 625(16 - 8) = 26 000 руб., а в условиях теплой погоды 600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1 000 - 600)27 = 6 800

Следовательно, матрица данной игры (платежная матица) имеет вид:

Первая и вторая строки этой матрицы соответствуют стратегиям А и Б предприятия, а первый и второй стратегиям В и Г природы.

По платежной матрице  видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получит доход меньше 6800. Но если погодные условия совпадают  с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) составит 26 000 или 28 400.  Отсюда можно сделать вывод, что в условиях неопределенности погоды наибольший гарантированный доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то А, то стратегию Б. Такая стратегия называется смешанной. Оптимизация смешанной стратегии позволит первому игроку всегда получать выигрыша независимо от стратегии второго игрока.

Пусть х означает частоту применения первым игроком стратегии А, тогда частота применения им стратегии Б равна (1 - х). В случае оптимальной смешанной стратегии первый игрок (предприятие) получит и при стратегии В (холодная погода), и при стратегии Г (теплая погода) второго игрока одинаковый средний доход:

6800х + 26 000(1 - х) = 28 400х + 6800(1 - х).

Отсюда можно найти, что х — 8/17; 1 - х = 9/17.

Следовательно, первый игрок, применяя чистые стратеги А и Б  в соотношении 8:9, будет иметь  оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме

6800-8/17 + 26000-9/17  16965 руб.; эта величина и будет в данном случае ценой игры.

Легко рассчитать, какое  количество костюмов и платьев должно выпускать предприятие при оптимальной  стратегии:

(600 костюмов + 1975 платьев)*8/17 + (1000 костюмов + 625 платьев)*9/17 = 812 костюмов + 1260 платьев.

Следовательно, оптимальная  стратегия предприятия заключи  в выпуске 812 костюмов и 1260 платьев, что обеспечит три любой погоде средний доход в сумме 16 965 руб.

3.2. Парные игры с нулевой суммой. Решение в чистых стратегиях.

Рассмотрим парную конечную игру.

Пусть игрок А располагает m личными стратегиями: A₁, A₂, …, A_m. Пусть у игрока B имеется n личных стратегий. Обозначим их B₁, B₂, …, B_n. В этом случае игра имеет размерность mxn. В результате выбора игроками любой пары стратегий A_i,B_j (     ) однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш a_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш ( - a_ij) игрока В.

Предположим, что значения a_ij известны для любой пары стратегий (A_i,B_j).

Матрица А = (a_ij),    , элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям A_i и B_j, называется платежной матрицей или матрицей игры.

Общий вид платежной матрицы  приведен ниже:

A =

a11   a12    ...     a1n  a21   a22    ...     a2n       ... am1  am2   ...     amn

.

Платежную матрицу также  часто представляют в виде таблицы (см. таблицу 1).

Таблица 1 - Общий вид платежной матрицы

	B1	B2	...	Bn
A1	a11	a12	...	A1n
A2	a21	a22	...	A2n
...	...	...	...	...
Am	am1	am2	...	Amn