Построение и анализ надежности моделей

4. СБОР  ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ 

      Задача  этапа - собрать исходную отчетную информацию по всем отобранным на предыдущем этапе факторам  X,  а также по выбранному на втором этапе  функции - Y,  например, в помесячном разрезе. Минимальное число используемых при этом наблюдений определяется ориентировочной формулой математической статистики:  20-30 (N + 1), где N – количество факторов, включаемых в правую часть будущей модели. При этом следует «нейтрализовать» инфляцию для приведения некоторых стоимостных показателей разных временных периодов в сопоставимый вид. Кроме того, желательно с помощью манипулирования размерностью факторов исходную информацию по всем факторам формировать как информацию приблизительно одного порядка. С учетом учебных целей построения модели число наблюдений может быть существенно уменьшено (например, до 20-25).

      В табл.3 приведен пример [2] заполнения электронных таблиц EXCEL исходной информацией для построения модели коэффициента отнесения затрат на электроэнергию (К_Э). 

Исходная  информация для построения модели 

 
 
 

   

    

        

5. ПОСТРОЕНИЕ  МОДЕЛИ 

       Следует обработать подготовленный массив исходной информации с помощью компьютерной программы (например, EXCEL) [3, 4]:

• EXCEL;
• внести в рабочий лист исходную информацию: столбец с рядом наблюдений  Y  и столбцы рядов наблюдений всех  X;
• Сервис/ Анализ данных/ Регрессия; ОК/;
• выделить «входной интервал Y», т.е. интервал наблюдений текущих затрат и «входной интервал X₁, X₂,….», т.е. интервал наблюдений факторов правой части модели;
• отметить «константа – ноль» (если для модели необходимо уравнение без свободного члена). В большинстве случаев это не требуется;
• отметить «уровень надежности», например 95%;
• предусмотреть показ программой «остатков»;
• предусмотреть показ «стандартных остатков»; ОК;
• выходная информация: 1) числовые параметры модели-зависимости затрат  (Y)  от отобранных факторов  X; 2) критерии, позволяющие оценить надежность полученной модели;

      В результате получаем «Вывод итогов»: параметры модели и целый ряд критериев, позволяющих оценить ее надежность с разных сторон. Для рассматриваемого примера этот «Вывод итогов» приведен в табл.4. Параметры модели, т.е. числовой материал правой части модели (в «чисто» математической литературе они обычно называются «коэффициентами»), для рассматриваемого примера для наглядности затенены. В табл.4 фактор (или переменная)  Х₁ – это крайний левый столбец исходных данных табл.3, т.е. фактор  Э_В. Фактор  Х₂ - следующий, второй слева столбец исходных данных, т.е. фактор  Q и т.д. Далее: Y – пересечение - это свободный член модели. Таким образом, для нашего примера получена модель: 

К_Э = - 0,50485 + 0,127873Э_В + 0,000787Q + 0,003297Q_ОТ -

           - 0,00638Т_Т  - 0,00004Т_К + 0,005994К_ПД  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Модель  и критерии ее надежности

 
 
 
 
 
 
 

6. АНАЛИЗ  НАДЕЖНОСТИ МОДЕЛИ 

       Анализ полученной предварительной модели проводится на предмет соответствия ее параметров ряду статистических критериев. Этот анализ, как правило, приводит к выбрасыванию из правой части модели ряда слабо влияющих на величину затрат факторов. После этого модель следует построить заново. Основные шаги такого анализа:

• первый критерий – коэффициент множественной корреляции («Множественный R»). Коэффициент оценивает силу совокупного влияния всех факторов правой части модели на прогнозируемый показатель (в нашем примере -  К_Э).

В дальнейшем прогнозируемый показатель для общности будем обозначать как  Y. Факторы правой части модели - как  X₁,  X₂, ….

Возможные пределы изменения коэффициента множественной корреляции (от  0  до  +1)  делятся «плавающей»  границей на две области: несущественного  (от  0  до приблизительно  +0,75) и существенного (от  приблизительно +0,75  до +1) влияния факторов правой части модели на  Y. Местоположение этой границы зависит как от числа факторов, включаемых в модель, так и от количества используемых наблюдений факторов. Более точно эта граница может быть определена с помощью специальных критериев математической статистики. В моем примере коэффициент множественной корреляции достаточно высок (0.99192938), поэтому нет необходимости использовать данные критерии.

Если  значение коэффициента множественной  корреляции соответствует, напротив, несущественной области – это означает, что факторы, включенные исследователем в правую часть модели, в совокупности слабо влияют на  Y. Практические следствия: в такой ситуации надо продолжить работу по выявлению факторов, которые действительно оказывают влияние на  Y  путем углубления теоретических поисков, проведения дополнительного экспертного опроса, проведения специальных экспериментов и т.д.;

• второй критерий – «R –квадрат» или «коэффициент детерминации», который позволяет ответить на вопрос: сколько процентов изменчивости  Y  объясняется изменчивостью всех  X₁,  X₂, ….? Критерий является модификацией первого критерия. Считается, что минимальный процент объясненной изменчивости  Y – 60, т. е. коэффициент детерминации должен быть больше хотя бы  0,6. Если его значение меньше – следует предпринять те же действия, что и в случае не существенности коэффициента множественной корреляции;
• Проведя анализ полученного коэффициента, можно сделать вывод о том, что почти 99% изменчивости прогнозируемого показателя Кэ объясняется изменчивостью используемых факторов правой части модели.

                          R –квадрат 0,983923894

• третий критерий – «Нормированный  R –квадрат». Этот критерий отвечает на вопрос: достаточна ли выборка (число выбранных наблюдений факторов)? Критерий сопоставляет число факторов правой части модели и число наблюдений. Если значение данного критерия меньше приблизительно 0,5, то следует соответственно увеличить число наблюдений. Смысл нормированного  R – квадрата  (R²_НОРМ) ясен из формулы его расчета:

 

 

                где  n – число наблюдений;

                      N – число факторов правой части модели;

                      R – коэффициент множественной корреляции. 

                           В моём примере значение этого коэффициента  велико, что   вполне достаточно выбранных наблюдений факторов (достаточно выборка).

                           Нормированный R-квадрат 0,981731698

•       четвертый критерий – («критерий  SS»). Критерий соотносит объясненную регрессию-(зависимость  Y  от  Х₁, Х₂,…) с необъясненной. На примере соотношение цифр объясненной регрессии (0,485547706) и остатка (0,007933252) свидетельствует: необъясненная регрессия (остаток) – крайне незначительна. Она составляет менее одного процента (0,90%).  Если бы остаток составлял существенную величину, тогда следовало бы или вернуться к поиску новых факторов, действительно влияющих на  Y, или в соответствии с полученным соотношением объясненной регрессии и остатка в дальнейшем в такой же пропорции доверять результатам прогноза  Y;
• пятый критерий – «критерий F», или критерий Фишера. Этот критерий представляет собой отношение двух дисперсий (мер разброса исходных данных ряда  Y : в числителе - разброс их вокруг среднего по выборке значения, а в знаменателе – разброс их относительно рассчитываемых по модели значений. Критерий Фишера должен быть больше хотя бы  2,5. Иными словами, согласно этому критерию модель должна уменьшать разброс данных хотя бы в 2,5 раза по сравнению с ситуацией, когда плановый работник пользовался бы не прогнозными, а просто средними по выборке значениями  Y. В нашем примере критерий  F имеет достаточно высокое значение (448,830207). Критерий Фишера может подсказать необходимость перехода от линейной модели (все факторы-«иксы» в первой степени и нет произведений факторов) к более сложной модели, например, параболе второго порядка. При этом значение критерия Фишера, как правило, увеличивается;
•    шестой критерий – «Стандартная ошибка» каждого из коэффициентов модели. Стандартная ошибка коэффициентов оценивает надежность полученных коэффициентов модели и измеряется в тех же единицах измерения, что и переменные (факторы) модели. Для такой оценки следует попарно сопоставить цифры столбца «Стандартная ошибка» со значениями самих коэффициентов, т.е. с цифрами соседнего слева столбца (по их абсолютному значению). Стандартная ошибка, конечно же, не должна превышать значения соответствующего коэффициента. Соотношение ошибки и коэффициента говорит о надежности или ненадежности коэффициента. Если это соотношение составляет, например, 30 и 70% - это, очевидно, крайний предел. Понятно, что чем меньше стандартная ошибка в сравнении со значением коэффициента, тем надежнее модель. Надежность модели в целом определяется совокупностью подобных соотношений. Если в некоторой модели с двумя факторами в правой части одно такое соотношение 1 и 99%, а другое – 45 и 65%, то такая модель, видимо, менее надежна, чем модель с соотношениями 5 - 95% и 10 и 90%;