Практическая работа по дисциплине "Экономико-математическое моделирование"

Задача 1.1.

Фирма выпускает три вида изделий. В процессе производства используются три технологические операции. На рис. 1.1. показана технологическая схема производства изделий

Фонд рабочего времени ограничен следующими предельными значениями: для первой операции – 430 мин; для второй операции – 460 мин; для третьей операции – 420 мин. Изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1,2 и 3 составляет 3, 2 и 5 рублей соответственно.

 

Решение     

Пусть х1, х2 и х3 – объем выпуска продукции соответственно первого, второго и третьего видов.    

Фонд  времени (ресурсы) имеет ограничение:    

Общая длительность первой операции не может  превышать 430 минут и составляет 1 минута на изделие 1, 2 минуты на изделие 2 и 1 минута на изделие 3. Значит, первое ограничение задачи будет выглядеть следующим образом: х1 + 2х2 + х3 ? 430.  
    Аналогичным образом составляются ограничения  и по остальным операциям: 3х1 + 2х3 ? 460 (для операции 2) и х1 + 4х2 ? 420 (для операции 3). 
      Общая прибыль от реализации изделий составит: 3х1 + 2х2 + 5х3. Данная функция является целью задачи и должна стремиться к максимуму. Кроме того, необходимо учитывать неотрицательность переменных задачи, так как объем не может быть отрицательным.    

Таким образом, математическая модель имеет вид:    

Z (x) = 3х1 + 2х2 + 5х3 > max,   

Решим задачу симплексным методом.

Для этого приведем задачу к каноническому  виду, водя неотрицательные переменные х4, х5 и х6 так, чтобы неравенства стали равенствами. В целевую функцию данные переменные войдут с нулевым значением, чтобы значение целевой функции не изменилось.  

Z (x) = 3х1 + 2х2 + 5х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6> max, 

Составляем  симплексную таблицу.  

Поскольку среди переменных х1, х2, х3, х4, х5, х6 имеются три единичных, базисных вектора, для данной задачи можно непосредственно записать опорный план. Выразим х4, х5 и х6 через х1, х2 и х3.

Полагая, что переменные х1, х2 и х3 равны нулю, получим базовый план:  
    Х* = (0; 0; 0; 430; 460; 420), определяемый системой трехмерных единичными переменными х3, х4, х5, которые образуют базис трехмерного векторного пространства. 
    Все описные ниже вычисления  приведены  в таблице. Записываем опорное решение  в симплексную таблицу и вычисляем оценки разложений векторов условий по базису этого решения. Данное решение не является оптимальным. Вводим в базис переменную х2 вместо х4.    

Таблица 1.1

№ с/т	Б	З	х1	х2	х3	х4	х5	х6	?
I	х4	430	1	2	1	1	0	0	430
	< х5	460	3	0	2	0	1	0	230
	х6	420	1	4	0	0	0	1	–
	Z?I	0	-3	-2	-5	0	0	0	v х3
	< х4	200	-0,5	2	0	1	-0,5	0	100
II	х3	230	1,5	0	1	0	0,5	0	–
	х6	420	1	4	0	0	0	1	105
	Z?II	1150	4,5	-2	0	0	2,5	0	v х2
	х2	100	-0,25	1	0	0,5	-0,25	0	–
III	х3	230	1,5	0	1	0	0,5	0	–
	х6	20	2	0	0	-2	1	1	–
	Z?III	1350	4	0	0	1	2	0

 

     В последней симплексной таблице в Z – строке нет отрицательных чисел. Это означает, что найденный опорный план является оптимальным и функция примет значение, равное Z = 1350 руб.  

Следовательно, план выпуска продукции, включающий изготовление 100 изделий вида II и 230 изделий вида III, является оптимальным. При данном плане выпуска изделий полностью используется фонд рабочего времени на проведение операций 1 и 3 и остается неиспользованным 20 минут на операции 2 типа.  

 

Задача 1.2.

При изготовления изделий И1 и И2 используется сталь и цветные металлы., а также токарные и фрезерные станки. По технологическим нормам на производство единицы изделий И1 требуется 300 и 200 станков – часов соответственно токарного и фрезерного оборудования, а также 10 и 20 кг соответственно стали и цветных металлов. Для производства единицы изделия И2 требуются 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов.

Цех располагает 12400 и 6800 станок – часами  соответственно токарного и фрезерного оборудования и 640 и 840 кг соответственно стали и цветных металлов. Прибыль от реализации единицы изделий И1 составляет 6 руб. и от единицы изделий И2 – 16 руб.

 Постройте  математическую модель задачи, используя  в качестве показателя эффективности  прибыль и учитывая, что время  работы фрезерных станков должны быть использовано полностью.

Решение

 

Решение

Построим прямые ограничения, для чего  вычислим координаты точек пересечение  этих прямых с осями координата.

 

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рассмотрим целевую функцию задачи L = 4x1-3x2 → max. Построим прямую, отвечающую значению функции L = 0: F = 4x1-3x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации L(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (4; -3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая L(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

5x1-2x2=20

x1+2x2=10

Решив систему уравнений, получим: x1 = 5, x2 = 2.5. Откуда найдем максимальное значение целевой функции:L(X) = 4*5 - 3*2.5 = 12.5

 

 

Решение

Построим прямые ограничения, для чего  вычислим координаты точек пересечение  этих прямых с осями координата.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рассмотрим целевую функцию задачи Z = 2x1+5x2 → max. Построим прямую, отвечающую значению функции Z = 0: Z = 2x1+5x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации Z(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 5). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Задача не имеет допустимых решений. ОДР представляет собой бесконечное множество (не ограничена) (рис. в).

 

 

Задача 3.1

Проанализируйте случаи, когда цена на краску первого вида:

1. Превысила 4 тыс. руб../т;
2. Равна 1 тыс. руб./т;
3. Равна 4 тыс. руб../т.

Какая точка станет оптимальной, какими будут объемы производства красок, как изменится дефицитность и объем потребления ресурсов задачи?

Задача 3.2

Определите допустимый  диапазон изменения цены на краску 2 – го виды при неизменном значении цены на краску первого вида 3 тыс. руб. проанализируйте влияние изменения цены на краску 2 – го вида на объемы производства и дефицитность ресурсов в исходной задаче

Задача4.1

Постройте  транспортную модель  для  исходных  данных  задачи №  4.01 при условии, что квартальный спрос в пункте распределения D упал до 1900 автомобилей, а выпуск на заводе B увеличился до 1500 автомобилей за квартал.

Задача 4.2.

Постройте математическую модель задачи № 4.01 при условии, что за каждый недопоставленный автомобиль в распределительные центры D и E введены штрафы 200 и 300 руб.  соответственно. Кроме того, поставки с завода А в распределительный центр Е не планируется изначально.

Задача 5.1.

Найти тремя методами опорного плана транспортной задачи, в которой запасы на трех складах равны 160, 140, 170 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 120, 50, 200,100 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие

Решите задачу для следующих случаев:

Фиксированные тарифы нулевые;

Фиксированные тарифы одинаковые по величине и превышают максимальный из реальных тарифов;

Сравнить полученные результаты опорного плана, соответствующие ЦФ и объяснить причину их различия.

Решение

Проверка сбалансированности задачи показывает, что суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей, т.е. веденные фиктивных столбцов или строк не потребуется.

Запасы                 потребности

160+140+170   =  120+50+200+100

470 ед. товара       470 ед. товара

Результаты нахождения опорного плана различными методами представлены в табл.5.1, 5.2 и 5.3.

Таблица 5.1

Транспортная таблица с опорным планом северо-западного угла

Пункты отправления,	Пункты потребления,				Запасы, ед. продукции
	120 7	40 8	1	2	160/40/0
	4	10 5	130 9	8	140/130/0
	9	2	70 3	100 6	170/100/0
Потребность, ед. продукции	120/0	50/10/0	200/70/0	100/0

Опорный план  , найденный методом северо-западного угла

 [ед.товара].

Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку)

L(XСЗУ)=120*7+40*8+10*5+130*9+70*3+100*6=840+320+50+1170+210+600=3190 руб.

Таблица 5.2

Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента

Пункты отправления,	Пункты потребления,				Запасы, ед. продукции
	7	8	160 1	2	160/0
	4	5	40 9	100 8	140/100/0
	120 9	50 2	3	6	170/50/0
Потребность, ед. продукции	120/0	50/0	200/40/0	100/0