Производственные функции

     1)     пропорционально возрастающую производственную функцию, когда

     α+ β=1 ( ).

     2)  непропорционально – возрастающую );

     3) убывающую .

     Рассмотрим  короткий период деятельности фирмы, в  котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. График производственной функции Кобба – Дугласа с одной переменной изображен на рис. 1 (кривая ТР_н).

       
 

     Рис. 1. Динамика и взаимосвязь общего среднего и предельного продуктов 
 
 

. Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции

  

  называется  средней производительностью i-го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика: А_i=f(x)/x_i.

  Напомним, что в случае двухфакторной ПФКД  для средних производительностей Y/K и Y/L основного капитала и труда были использованы соответственно термины капиталоотдача и производительность труда. Эти термины используют и применительно к любым двухфакторным ПФ, у которых х₁=К и x₂=L.

  

  называется  предельной (маржинальной) производительностью i-го ресурса (фактора производства) (ППФ) или предельным выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика: M_i=df(x)/dx_i.

  Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, на сколько  единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат х i-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

  Отношение предельной производительности M_i i-го ресурса к его средней производительности А_i называется (частной) эластичностью выпуска по i-му ресурсу (по фактору производства) (ЭВФ). Символика:

  

  Сумма Е₁ + Е₂ = Е_x называется эластичностью производства.

  Е (приближенно) показывает, на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса 1 увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

  Обратим внимание на то, что i - номер заменяемого ресурса, j -номер замещающего ресурса. Используется также термин: предельная технологическая норма замены (замещения) i-ого ресурса (фактора производства) j-м ресурсом (фактором производства). Приведем более краткий (но менее точный) термин: (предельная) норма замены (замещения) ресурсов.

Непосредственно проверяется, что  для двухфакторной  ПФ справедливо равенство

  

  т.е. (предельная) норма замены первого  ресурса вторым равна отношению  эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса. Если х₁ = К, х₂= L, то отношение x₁/x₂=K/L называется капиталовооруженностью труда. В этом случае (предельная) норма замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда.

  Пусть ПФ - двухфакторная. При постоянном выпуске у и малых приращениях Дх₁, и Дх₂, имеем приближенное равенство

  

  Предельная  норма замены ресурсов R₁₂ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличатся затраты второго ресурса (при неизменном выпуске у = а), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну (малую) единицу.

3. Пример

  Имеются статистические данные по производственному  объединению “Угледобыча": 

Условное  время t		Средн. годовая  списочн. численность Х1, тыс .чел	Балансовая  стоим. основных фондов Х2, млн.грн.	Валовая продукция Y, млн.грн
1	3,6		100	416
2	4,1		105	464
3	3,8		90	400
4	3,2		110	432
5	3,5		125	480

  Балансовая  стоимость основных фондов и валовая  продукция производственного объединения  даны с учетом пересчета по индексу  цен.

  Вычислить производственную функцию Кобба-Дугласа; определить коэффициенты эластичности валовой продукции по списочной численности и стоимости основных фондов, а также предельные производительности по этим факторам. По результатам расчетов сформулировать выводы.

  Решение:

  Производственная  функция Кобба-Дугласа имеет следующий вид

    

  где b₀ , b₁ , b₂ – параметры уравнения.

  Для оценки параметров прологарифмируем уравнение  и выполним замену переменных:

  ln y =ln b₀ + b₁ ln x₁ + b₂ ln x₂

  b’₀= ln b₀ , y’= ln y, x’₁= ln x₁, x’₂= ln x₂.

  В результате этих преобразований получим  линейную модель

  y’= b’₀+ b₁ x’₁+ b₂ x’₂. 

  Для определения значений коэффициентов  этой модели прологарифмируем исходные значения у и х₁, х₂, а затем используем метод наименьших квадратов.

  В результате вычислений с помощью  функции ЛИНЕЙН пакетаEXCEL получим 

  b₁ = 0,424, b₂ = 0,680,

  ln b₀ = 2,369 откуда b₀= 10,690.

  Следовательно, производственная функция Кобба-Дугласа  имеет следующий вид 

  Y=10,690X₁^0,424X₂^0,68.

  Коэффициент эластичности валовой продукции  по списочной численности (по х1) равен b₁ = 0,424.

  Коэффициент эластичности валовой продукции  по стоимости основных фондов (по х2) равен b₂ = 0,680.

  Следовательно, можно сделать вывод, что при увеличении списочной численности на 1% объём валовой продукции увеличится на 0,424% , а при увеличении стоимости основных фондов на 1% объём валовой продукции увеличится на 0,68%.

  Предельная  производительность по списочной численности  равна 

  M₁ = b₁* Y / X₁ = 0,424* Y / X₁= 0,424* 10,690X₁ ^–0,576 X₂^0,68 ,

  где Y / X₁- производительность труда.

  Предельная  производительность по стоимости основных фондов равна 

  M₂ = b₂* Y / X₂ = 0,680* Y / X₂ =0,680* 10,690X₁^0,424X₂ ^–0,32 ,

  где Y / X₂ -фондоотдача. 
 
 

Производственные функции в темповой записи

Наряду  со связями объемных показателей  выпуска и затрат ресурсов

могут быть рассмотрены связи между  темпами прироста этих

показателей. Будем здесь говорить о макроэкономических производственных

функциях, связывающих величину совокупного продукта

(дохода) 7 с затратами капитала К и труда Ьу но все это легко

обобщается  на любые другие производственные функции. Обозначим

темпы прироста величин У, К и L малыми буквами у , к и I соответственно.

Это могут  быть дискретные темпы прироста

>.-ь  Y,-

прироста

Yt-i , _ Kt~Kt-\

' Kt-y

К,'

lt=

Lt~Lt-\

угу, к,

Lt)

Lt-i

или непрерывные  темпы

Итак, ПФ в темповой записи

имеет вид: у = J[k, I ) .

Теперь  рассмотрим связь ПФ Кобба—Дугласа  в объемной и

темповой  записи. Пусть величины К и L являются непрерывными

дифференцируемыми функциями времени (Kt и L t ) . В таком случае

они представляют не объемы использованных ресурсов за определенный

период  времени, а «интенсивности», их использования  в

каждый  момент времени. От функции Yt = AKfLfe" можно после

ее логарифмирования взять полный дифференциал:

d 1пУ, = ad\nKt + р-dkiLt + у dt,

или dY1 = a.dKl + ^dLl + y.dt^

Yt Kt Lt

Yt Kt Lt

и после  деления обеих частей на dt получаем

99

Yt Kt Lt

Y' Kf Lf

Здесь y, = —, Ь =—-» // = — — непрерывные  темпы прироста

выпуска, капитала и труда.

Таким образом, ПФКД в объемных показателях  соответствует

линейная  зависимость темпов прироста:

у, = a kt + Н '+ У-

Эта зависимость  называется производственной функцией Кобба—

Дугласа в темповой записи.

Если  заменить дифференциалы dYb dKh dLt (главные линейные

части приращений) на сами приращения А У,, АК,9 ALh то получим

приближенную  формулу:

yt = akt + р/, + у,

где у,, /;,, /, — дискретные темпы прироста.

Таким образом, и в дискретном случае функции  Кобба—Дугласа в

объемных  показателях соответствует линейная формула связи темпов

прироста  уь kt и /,. Однако при ее анализе и оценивании надо иметь в

виду  следующее. Формулы Yt = AK?Lftn и yt = akt + р/ , + у эквивалентны

при непрерывном  рассмотрении времени. В то же время  статистические

данные, по которым оцениваются ПФ, всегда дискретны;

обычно  это погодовые данные. В этих условиях приведенные формулы

зависимостей  для объемов и темпов прироста — это разные ПФ. Иногда

оценки  параметров а, р и у, полученные для  объемной ПФКД, переносят

на темповую формулу, и наоборот. Так делать некорректно;

каждая  из этих формул должна быть оценена  в отдельности. Даже если

они оценены  по одним и тем же статистическим данным (т.е. по объемам

и темпам, соответствующим друг другу), результаты такой оценки

могут быть совершенно различными. Одна из формул, например,

может не дать статистически значимой оценки, в то время как по другой

получается  вполне приемлемый результат.

Из проделанных  выкладок вытекает, что показатель у (свободный

член  ПФКД в темповой записи) — темп нейтрального технологического

прогресса. Это та часть темпа прироста выпуска, которая

не связана  с приростом затрат капитала и  труда, а отражает интенсификацию

производства  на макроуровне.