Расчетно–графическая работа по дисциплине «Эконометрика»

 

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии;
2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции, проанализировать их;
3. Найти коэффициенты множественной детерминации;
4. С помощью критерия Фишера и коэффициента R2 оценить статистическую надежность уравнения регрессии;
5. Найти интервальные оценки параметров а1 и а2 и показать значимость уравнения регрессии;
6. Оценить качество модели уравнения через ср. ошибку аппроксимации;
7. Определить частные коэффициенты эластичности, коэффициенты Δ и β;
8. Определить доверительный интервал прогноза;
9. Проверить результаты с помощью инструментов анализа данных, регрессия и корреляция.

 

1. Для последующих расчетов, построим вспомогательную таблицу

 

Так как в нашем примере есть 2 фактора, то уравнение  линейной модели примет вид:  Y= a0 + a1 X1 + a2 X2

 Теперь требуется найти коэффициенты a0, a1, a2. Для этого составим систему уравнений и вычислим коэффициенты с помощью метода обратной матрицы.

При методе обратной матрицы: А* X=B → X=A-1*B Для таких вычислений необходимо использовать функции МОБР и МУМНОЖ в Excel.

 

 

2. Для того, чтобы проверить адекватность модели и провести её анализ, необходимо вычислить парные, частные и множественные коэффициенты корреляции.

Вычислим ср. квадратические отклонения, так как эти значения понадобятся для дальнейших вычислений:

 

 

Парные коэффициенты корреляции: Они необходимы для оценки мультиколлиниарности факторов x1 и х2, то есть их тесной связанности. Это показатель характера взаимного влияния изменения двух случайных величин. Коэффициент корреляции обозначается латинской буквой r  и может принимать значения от −1 до +1.

Так как все три коэффициента больше чем 0,7, то связь между коэффициентами сильная.

Частные коэффициенты корреляции : Они характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором, при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

 

 

Так как наибольшее значение принимает первый частный коэффициент корреляции, то можно сделать вывод о том, что первый фактор влияет больше на результат Y.

Множественный коэффициенты корреляции: Он характеризует совместное влияние всех факторов на результат. Чем ближе он к 1, тем более тесная связь между факторами и результатом, тем более удачна регрессионная модель.

Получим R2= 84,14%

 

3. Зная коэффициент корреляции, можно вычислить коэффициент детерминации – R2. В нашем примере мы получили 0,8414. Этот коэффициент оценивает качество построения модели; определяет степень точности полученного регрессионного уравнения. Так как в нашем примере он больше 0,80, то это говорит о высокой точности аппроксимации.

 

4. Необходимо проверить адекватность модели на основе расчета F критерия Фишера. Табличное значение этого параметра находим в Приложении 1, методического пособия. Количество факторов (k1) равно 2м, поэтому k2=10-2-1=7. Fтабл=4,74. Вычислим расчетное значение F.

так как Fрасч.>Fтабл., то уравнение регрессии можно признать адекватным.

 

5. Проверим значимость коэфф. а1 и а2  на основе критерия Стьюдента. После нахождения коэффициентов, необходимо сравнить их значение с табличным значением данного коэффициента. В нашем примере мы получили, что значим является коэффициент а1.

6. Оценим качество модели уравнения через ср. ошибку аппроксимации. Значение данного показателя не должна превышать 12 – 15%.

 

 

7. Определим частные коэффициенты эластичности, коэффициенты Δ и β.

Коэффициент эластичности: Он показывает, на сколько % измениться результативный признак с изменением факторного признака на 1%.

 

 

Коэффициент β: Показывает величину изменения результативного фактора в значениях ср. квадратической ошибки при изменении факторного признака Х на 1 ср. квадратическую ошибку. 

 

Коэффициент Δ: Показывает долю вклада анализируемого фактора Х в суммарное влияние всех отобранных факторов.

 

8. Для того чтобы определить доверительный интервал, необходимо подставить необходимые вычисленные значения в неравенство:

9. Проверим результаты с помощью инструментов анализа данных, регрессия и корреляция. Для этого необходимо воспользоваться соответствующими функциями Microsoft Excel.

 Корреляционный анализ: Служит для выявления взаимосвязи между выборками. Составляется матрица парных коэффициентов корреляции, измеряющих тесноту связи каждого из факторных признаков с результативным признаками и между собой. Это таблица, в которой на пересечении соответствующих строк и столбцов находятся коэффициенты корреляции между соответствующими параметрами. Для нахождения значений, необходимо использовать функцию «Корреляция».

Регрессионный анализ: Используется для анализа воздействия для на определенную зависимую переменную значения одной или более независимой переменной. Для получения расчетов, используется функция «Регрессия» из пакета анализа данных. Также могут быть использованы функции «линейн» и «тенденция».

Результат размещается в 3х таблицах. Первая – регрессионная статистика; вторая – дисперсионный анализ; третья – таблица параметров модели и статистических оценок.

 
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Тема: «Временные ряды»

 

В целях прогнозирования объемов продаж компании на будущие периоды были собраны данные за 9 месяцев по следующим показателям. ( Y – объем продаж; X – индекс потребительских цен)

 

Y(t)	228	332	36	440	338	443	545	448	50
X(t)	82	77	78	72	69	770	67	664	62

 

Требуется:

1. Проверить наличие тренда для Y(t) используя метод Фостера – Стюарта;
2. Построить для временного ряда модель линейной кривой роста Y(t)=a0+a1t и линейную однофакторную модель регрессии Y(t)=a0+a1X(t);
3. Оценить качество построенных моделей, проведя их исследование на адекватность и точность. Адекватность модели определить на основе проверки случайности остаточных суммы (метод «Пик»), наличие нормального закона распределения (критерий размаха), независимости уравнений ряда остатков (метод Дарбина – Уотсона);
4. Для модели регрессии дополнительно рассчитать парный коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, коэффициент эластичности и β коэффициент. Раскрыть их экономический смысл;
5. Построить точечный и доверительный прогноз на 2 года вперед (t=10,11) для Y(t) по адекватным моделям;
6. Построить графики моделей;
7. Дать сравнительную характеристику моделей, выбрать лучшую.

 

Выполнение работы:

1. Проверим наличие тренда для Y(t) используя метод Фостера – Стюарта.

1-α	t1-α,N-2
0,95	2,37
0,9	1,89
0,8	1,42
0,6	0,89

 Для построения модели тренда необходимо убедиться, что тренд существует. В данном методе рассматривается гипотеза Н – состоящая в том. Что тренд в модели отсутствует. Сначала вычисляют начальное значение K, L. Для этих чисел затем находим 2 важные характеристики – математическое ожидание и ср.квадратич. отклонение. Значения этих параметров следующие: M(k)=3,703 Q(k)=1,242 M(l)=0 Q(l)=1,927. На основе величин K, L рассчитаем 2 другие величины: t(k) , t(l).Затем эти числа сравниваем с табличными значениями (По таблице, в зависимости от N-2 – числа степеней свободы; 1-α – надежности). Если расчетные значения t(k) , t(l) больше табличного значения, то можно сказать об отклонении гипотезы Н. То есть тренд присутствует. Если же наоборот – то не имеет смысл строить модель и делать прогнозы.

В нашем примере, расчетные значения этих параметров больше, чем табличные значения. Поэтому мы отвергаем гипотезу об отсутствии тренда в модели. Значит, имеет смысл строить модель и делать прогнозы по этой модели.

 

ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ

 

2. Составим вспомогательную таблицу, на основе которой будем делать следующие расчеты. Перед тем как заполнить таблицу, необходимо рассчитать такие параметры как: а0 , а1, tср., Yср.

На основе данных параметров, составим уравнение линейной модели: Y(t)=84,111-2,4*t.

E(t)  - разница между наблюдаемой и расчетной значениями, содержит в себе как положительные так и отрицательные значения. Это говорит о том, что модель верна и не содержит ошибок.

3. Необходимо оценить адекватность данной модели. Так как построенная модель может быть применима для прогноза, если она адекватна. Существуют 3 признака адекватности модели:

• E(t) - случайная величина:

• E(t) - подчинена нормальному закону распределения;
• Уровни ряда остатков не должны быть связанны между собой, т.е. должна отсутствовать их автокорреляция.

Проверка этих условий выполняется с помощью метода «ПИК», критерия размаха, критерия Дарбина – Уотсона.

МЕТОД «ПИК» - Служит для проверки случайности ряда остатков исследуемого критерия. Этот метод основывается на поворотных точках графика, которые затем сравниваются с расчетным значением.

Мы получили, что фактическое значение p больше, чем расчетное. Это говорит о том. Что условие выполняется.

КРИТЕРИЙ РАЗМАХА – Служит для проверки второго условия адекватности модели.

В линейной модели – условие выполняется. Это значит, что E(t) подчинена нормальному закону распределения, с вероятностью p=0,95.

КРИТЕРИЙ ДАРБИНА – УОТСОНА – Применяют при проверке отсутствия автокорреляции. Вычисляем значение величины d, которая затем сравнивается с критическим значением.  Критические значения d1, d2 зависят от числа уровней N и уровня значимости α. (Их значения возьмем из таблицы Уотсона). Для выполнения данного условия необходимо, чтобы d>d2.

 

В нашем примере данное условие выполняется. Все 3 условия выполняются, следовательно модель адекватна, можно делать прогнозы по данной модели.

4. Необходимо оценить точность модели тренда с помощью средней относительной ошибки по формуле

 

 

В данной модели ошибка меньше 8%, значит модель удовлетворительна.

5. Рассчитаем значение прогнозных значений тренда на год и 2 года вперед. Используем точечный и доверительный прогнозы.

 

 

 

 

РЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ

 

2. Составим вспомогательную таблицу, на основе которой будем делать следующие расчеты. Перед тем как заполнить таблицу, необходимо рассчитать такие параметры как: а0 , а1, tср., Yср.

На основе данных параметров, составим уравнение регрессионной модели: Y(t)=108,9086-0,9024*x(t).

 

3. Необходимо оценить адекватность данной модели. Так как построенная модель может быть применима для прогноза, если она адекватна. Существуют 3 признака адекватности модели:

• E(t) - случайная величина:

• E(t) - подчинена нормальному закону распределения;
• Уровни ряда остатков не должны быть связанны между собой, т.е. должна отсутствовать их автокорреляция.

Проверка этих условий выполняется с помощью метода «ПИК», критерия размаха, критерия Дарбина – Уотсона.